Раздел 1_1

Практические задания к разделу 1
ВЫСКАЗЫВАНИЯ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
1.1. Какие из следующих предложений являются высказываниями?
а) Москва  столица России.
б) Студент физико-математического факультета педагогического института.
в) Треугольник ABC подобен треугольнику А'В'С'.
г) Луна есть спутник Марса.
д) 2  3  3 5.
е) Кислород  газ.
ж) Каша  вкусное блюдо.
з) Математика  интересный предмет.
и) Картины Пикассо слишком абстрактны.
к) Железо тяжелее свинца.
л) Да здравствуют музы!
м) Треугольник называется равносторонним, если его стороны равны.
н) Если в треугольнике все углы равны, то он равносторонние.
о) Сегодня плохая погода.
п) В романе А. С. Пушкина «Евгений Онегин» 136 245 букв.
р) Река Ангара впадает в озеро Байкал.
Решение. б) Это предложение не является высказыванием, потому что оно ничего не утверждает о студенте.
в) Предложение не является высказыванием: мы не можем определить, истинно оно или ложно, потому что не знаем, о каких именно треугольниках идет речь.
ж) Предложение не является высказыванием, так как понятие «вкусное блюдо» слишком неопределенно.
п) Предложение  высказывание, но для выяснения его значения истинности нужно затратить
немало времени.
1.2. Укажите, какие из высказываний предыдущей задачи истинные, а какие  ложные.
1.3. Сформулируйте отрицания следующих высказываний; укажите значения истинности данных высказываний и их отрицаний:
а) Волга впадает в Каспийское море.
б) Число 28 не делится на число 7.
в) 6 > 3.
г) 4  5.
д) Все простые числа нечетны.
11
1.4. Установите, какие из высказываний в следующих парах являются отрицаниями друг друга и какие  нет (объясните почему):
а) 2 < 0, 2 > 0.
-
б) 6 < 9, 6  9.
в) «Треугольник ABC прямоугольный», «Треугольник ABC тупоугольный».
г) «Натуральное число n четно», «Натуральное число n нечетно».
д) «Функция f нечетна», «Функция f четна».
е) «Все простые числа нечетны», «Все простые числа четны».
ж) «Все простые числа нечетны», «Существует простое четное число».
з) «Человеку известны все виды животных, обитающих на Земле», «На Земле существует вид
животных, не известный человеку».
и) «Существуют иррациональные числа», «Все числа рациональные».
Решение. а) Высказывание «2 > 0» не является отрицанием 'высказывания «2 < 0», потому что
требование не быть меньше 0 оставляет две возможности: быть равным 0 и быть больше 0. Таким
образом, отрицанием высказывания «2 < 0» является высказывание «2  0».
1.5. Следующие высказывания запишите без знака отрицания:
а) a  b ;
в) a  b ;
б) a  b ;
г) a  b .
1.6. Определите значения истинности следующих высказываний:
а) Ленинград расположен на Неве и 2 + 3 = 5.
б) 7  простое число и 9  простое число.
в) 7  простое число или 9  простое число.
г) Число 2 четное или это число простое.
д) 2  3, 2  3, 2 • 2  4, 2 • 2  4.
е) 2 • 2 = 4 или белые медведи живут в Африке.
ж) 2 • 2 = 4, и 2 • 2  5, и 2 • 2  4.
Решение. а) Так как оба простых высказывания, к которым применяется операция конъюнкции, истинны, поэтому на основании определения этой операции и их конъюнкция есть истинное
высказывание.
1.7. Определите значения истинности высказываний А, В, С, D и Е, если:
a) A & (2  2  4)
  истинные высказывания, а
â) Ñ  (2  2  5) 
á ) B & (2  2  4)

ã) L  (2  2  5)   ложные.
ä) E & (2  2  5) 
12
Решение. в) Дизъюнкция высказываний есть истинное высказывание лишь в случае, когда по
меньшей мере одно из входящих в дизъюнкцию составляющих высказываний (членов дизъюнкции)
истинно. В нашем случае второе составляющее высказывание «2 • 2 = 5» ложно, а дизъюнкция двух
высказываний истинна. Поэтому первое составляющее высказывание С истинно.
1.8. Сформулируйте и запишите в виде конъюнкции или дизъюнкции условие истинности
каждого предложения (а и b — действительные числа):
a
0
b
a
0
b
а) a  b  0
г)
б) a  b  0
д) a  3
з) a 2  b 2  0
в) a 2  b 2  0
е) a  3
и) a  3
ж)
Решение. г) Дробь равна нулю лишь в случае, когда числитель равен нулю и знаменатель не
равен нулю, т. е. (а = 0) & (b  0).
1.9. Определите значения истинности следующих высказываний:
а) Если 12 делится на 6, то 12 делится на 3.
б) Если 11 делится на 6, то 11 делится на 3.
в) Если 15 делится на 6, то 15 делится на 3.
г)Если 15 делится на 3, то 15 Делится на 6.
д) Если Саратов расположен на Неве, то белые медведи обитают в Африке.
е) 12 делится на 6 тогда и только тогда, когда 12 делится на 3.
ж) 11 делится на 6 тогда и только тогда, когда 11 делится на 3.
з) 15 делится на 6 тогда и только тогда, когда 15 делится на 3.
и) 15 делится на 5 тогда и только тогда, когда 15 делится на 4.
к) Тело массой m обладает потенциальной энергией mgh тогда и только тогда, когда оно находится на высоте h над поверхностью земли.
Решение. а) Так как высказывание-посылка «12 делится на 6» истинно и, высказываниеследствие «12 делится на 3» истинно, то и составное высказывание на основании определения импликации также истинно.
ж) Из определения эквивалентности видим, что высказывание вида
P  Q истинно, если ло-
гические значения высказываний Р и Q совпадают, и ложно в противном случае. В
данном примере оба высказывания к которым применяется связка «тогда и только тогда», ложны.
Поэтому все составное высказывание истинно.
1.10. Пусть через А обозначено высказывание «9 делится на 3», а через В  высказывание «8
делится на 3». Определите значения истинности следующих высказываний:
а) A  B
г) B  A
ж) A  B
к) A  B
б) B  A
д) A  B
з) B  A
л) A  B
в) A  B
е) B  A
и) A  B
м) A  B
13
Решение. е) Имеем  ( A)  1 ,  ( B)  0 . Поэтому
 (B  A)   ( B)   ( A)  0  1  1  0  0 .
1.11. Определите значения истинности высказываний А, В, С и D в следующих предложениях,
из которых первые два истинны, а последние два ложны:
а) Если 4  четное число, то А.
б) Если В, то 4  нечетное число.
в) Если 4  четное число, то С.
г) Если D, то 4  нечетное число.
Решение. а) Импликация двух высказываний есть ложное высказывание лишь в единственном
случае, когда посылка истинна, а заключение ложно. В данном случае посылка «4  четное число»
истинна и по условию все высказывание также истинно. Поэтому заключение А ложным быть не
может, т. е. высказывание А истинно.
1.12. Определите значения истинности высказываний А, В, С и D в следующих предложениях,
из которых первые два истинны, а последние два ложны:
а) A  2  3 ;
б) B  2  3 ;
в) C  2  3;
г) D  2  3 .
1.13. Пусть через А обозначено высказывание «Этот треугольник равнобедренный», а через В
 высказывание «Этот треугольник равносторонний». Прочитайте следующие высказывания:
а) A & B
г)  A  B  A
б)  A  B
д)  A & B  B
в) A  B
е)  A & B  A
Решение. е) Если треугольник равнобедренный и неравносторонний, то неверно, что он
неравнобедренный.
1.14. Следующие составные высказывания расчлените на простые и запишите символически,
введя буквенные обозначения для простых их составляющих:
а) Если 18 делится на 2 и не делится на 3, то оно не делится на 6.
б) Произведение трех чисел равно нулю тогда и только тогда, когда одно из них равно нулю.
в) Если производная функция в точке равна нулю и вторая производная этой функции в той же
точке отрицательна, то данная точка есть точка максимума этой функции.
г) Если в треугольнике медиана не является высотой и биссектрисой, то этот треугольник не
равнобедренный и не равносторонний.
Решение. г) Выделим и следующим образом обозначим простейшие составляющие высказывания:
А: «В треугольнике медиана является высотой»;
В: «В треугольнике медиана является биссектрисой»;
14
С: «Этот треугольник равнобедренный»;
D: «Этот треугольник равносторонний».
Тогда данное высказывание символически записывается так:
A & B  C & D .
1.15. Из двух данных высказываний А и В постройте составное высказывание с помощью
операций отрицания, конъюнкции и дизъюнкции, которое было бы:
а) истинно тогда и только тогда, когда оба данных высказывания ложны;
б) ложно тогда и только тогда, когда оба данных высказывания истинны.
1.16. Из трех данных высказываний А, В, С постройте составное высказывание, которое истинно, когда истинно какое-либо одно из данных высказываний, и только в этом случае.
1.17. Пусть высказывание A  B истинно. Что можно сказать о логическом значении высказывания A & B  A  B ?
1.18. Если высказывание A  B истинно (ложно), то что можно сказать о логическом значении высказываний:
а) A  B ;
б) A  B ;
в) A  B ;
г) B  A ?
1.19. Если высказывание A  B истинно, а высказывание A  B ложно, то что можно сказать о логическом значении высказывания B  A ?
1.20. Существуют ли три таких высказывания А, В, С, чтобы одновременно высказывание
A & B было истинным, высказывание A & C  ложным и высказывание  A & B & C  ложным?
1.21. Для каждого из помещенных ниже высказываний определите, достаточно ли приведенных сведений, чтобы установить его логическое значение. Если достаточно, то укажите это значение. Если недостаточно, то покажите, что возможны и одно, и другое истинностные значения:
а)  A  B  C,  (C)  1; ;
г)  A  B  A & B,  ( A)  1;
б) A & B  C ,  ( B  C)  0;
д)  A  B  B  A,  ( B)  1;
в) A  B  C ,  ( B)  0;
е)  A & B   A  C ,  ( A)  0.
Решение. а) Поскольку заключение импликации истинно, то и вся импликация будет истинным высказыванием независимо от логического значения посылки.
НАХОЖДЕНИЕ СЛЕДСТВИЙ ИЗ ПОСЫЛОК
1.22. Найдите все неравносильные между собой и не тождественно истинные формулы алгебры высказываний, являющиеся логическими следствиями следующих формул (посылок):
а) X  (Y  Z ) и Z  Y ;
б) X  Y и Х;
в) X  Y и  Y ;
г) X  Y и X ;
15
д) X  Y , X и  Y ;
е) X  Y и Y  Z ;
ж) X  Y и Y  Z ;
з)  X & Y   Z и X  Y ;
и)  X & Y   Z и Y  X ;
к) X  Y , Y  Z и
X & Y   Z ;
л)  X & Y   Z , Y и Z.
Решение. а) Составляем конъюнкцию посылок и равносильными преобразованиями приводим ее к совершенной конъюнктивной нормальной форме:
X  Y  Z  & Z  Y   X  Y  Z  & Z  Y  
 X  Y  Z  &  X  Y  Z  & X  Y  Z  .
Логическими следствиями из данных посылок будут все совершенные дизъюнктивные одночлены, входящие в полученную СКНФ, а также всевозможные конъюнкции этих одночленов по
два, по три и т. д. Выписываем получающиеся формулы, придав им более удобную равносильную
форму:
1) X  Y  Z  X  Y  Z  (первая посылка);
2) X  Y  Z  Z   X  Y  ;
3) X  Y  Z  ( X & Z )  Y ;
4)
5)
6)
7)
X  Y  Z  & X  Y  Z   X  Z   Y ;
X  Y  Z  & X  Y  Z   X  Y  X  Y ;
X  Y  Z  & X  Y  Z   Y  Z  Z  Y (вторая посылка);
X  Y  Z  & X  Y  Z  & X  Y  Z   X  Y  Z  & Y  Z  
 Y  X  Z  & Z  Y  X & Z  ( X  Z )  Y .
1.23. Найдите формулу F (X, Y), зависящую только от переменных X и Y и являющуюся
логическим следствием указанных формул (посылок):
а) X  Z , Z  Y , Y  V и Z & V ;
б) X  Z и Y  Z ;
в) X  Z , Z & Y и Y  X ;
г) X  Z , Y  V и Z  V ;
д) X & Y & Z ,
X V,
Z  Y и X  Z ;
е) X  Z , Y  Z , V  Y & Z  и V  X .
Решение. а) Составляем таблицы истинности для формул, являющихся посылками:
16
X
Y
Z
V
X Z
Z  Y
Y V
Z & V
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
2
Далее, в правом столбце цифрами отмечаем те строки, в которых все четыре посылки принимают значение 1. Этому требованию удовлетворяет лишь вторая строка, в которой (Х)=0 и
(Y)=0. Следовательно, если мы найдем такую формулу F (X, Y), для которой F(0, 0) = 1, то такая
формула будет логическим следствием четырех данных посылок. Ищем такую формулу, используя
СДНФ и считая, что на всех других наборах значений переменных искомая формула обращается в
0:
F(0, 1)=F(1, 0)=F(1, 1)=0.
Получаем F  X , Y   X & Y .
1.24. Найдите следствие из посылок:
(X & Y )  Z , ( X & Y ) и Y  ( X  Z ),
содержащее только переменные:
а) X и Z;
б) Y и Z.
1.25. Найдите следствие из посылок X  Y ,
X  Z и Y  V , содержащее только пере-
менные:
а) X и V;
б) Y, Z и V.
17
1. 26. Найдите следствие из посылок задачи 1.23. а), содержащее только переменные X и V.
1.27. Найдите следствие из посылок:
X  Y  Z , V  Y ,
X & W   V ,
W  X,
зависящее только от переменных V, W и Z.
1.28. Найдите следствие из посылок:
X  Y , Z  V , V  Z , Y & V ,
содержащее только переменные:
а) X и Z;
б) X и V.
1.29. Докажите, что описанный в решении задачи 1.23 а) способ отыскания логического следствия из данных посылок, содержащего только заданные пропозициональные переменные, позволяет найти самое сильное из следствий, т. е. такое следствие, что все другие следствия, связывающие указанные переменные, сами из него следуют.
1.30. Найдите все следствия из посылок: «Если сумма цифр целого числа делится на 3, то
это число делится на 3 или на 9»; «Если целое число делится на 9, то оно делится на 3».
Найденным следствиям придайте содержательный смысл.
Решение. Введем обозначения для простых высказываний:
X: «Сумма цифр целого числа делится на 3»;
Y: «Целое число делится на 3»;
Z: «Целое число делится на 9».
Тогда первая посылка символически запишется в виде формулы X  (Y  Z ) , а вторая - в
виде формулы Z  Y . Задача сводится к тому, чтобы из этих формул (посылок) получить все
формулы, являющиеся их логическими следствиями. Для данных посылок эта задача решена
нами в задаче 1.22, а. Остается придать этим формулам содержательный смысл:
X  Y  Z  : «Если сумма цифр делится на 3, то число делится на 3 или на 9»;
Z   X  Y : «Если число делится на 9, то оно делится на 3 или сумма цифр делится на 3»;
( X & Z )  Y : «Если сумма цифр делится на 3 и число делится на 9, то оно делится на 3»;
 X  Z   Y : «Сумма цифр делится на 3 тогда и только тогда, когда число делится на 9 или
число делится на 3»;
X  Y : «Если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3»;
Z  Y : «Если число делится на 9, то оно делится на 3»;
(X  Z)  Y :
лится на 3».
18
«Если сумма цифр числа делится на 3 или число делится на 9, то число де-
1.31. Найдите все следствия из посылок и выразите их в содержательной форме: «Если последняя цифра целого числа четна, то число делится на 2 или на 4»; «Если целое число делится
на 4, то оно делится на 2».
Указание.
Запишите посылки в виде формул алгебры высказываний и сравните их с по-
сылками предыдущей задачи.
1.32. Найдите все следствия из посылок: «Если целое число делится на 2 и на 5, то оно
делится на 10»; «Целое число делится на 2 и не делится на 5». Выразите полученные следствия
в содержательной форме.
Указание. Выразите посылки в виде формул алгебры высказываний и обратитесь к задаче
1.22, и.
1.33. Найдите все следствия из посылок: «Если у четырехугольника две противоположные
стороны параллельны и они же равны, то этот четырехугольник -параллелограмм»; «У данного четырехугольника две противоположные стороны равны или параллельны».
Указание. См. задачу 1.22, з.
1.34. Какая связь между высказываниями «Данный четырехугольник  ромб» и «Данный
четырехугольник  квадрат» логически следует из следующих четырех посылок: «Если данный
четырехугольник  ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны»; «Если диагонали данного четырехугольника не взаимно перпендикулярны, то он не является квадратом»; «Если
данный четырехугольник  квадрат, то его можно вписать в окружность»; «Неверно, что данный четырехугольник имеет взаимно перпендикулярные диагонали или не может быть вписан в
окружность»?
Решение. Введем обозначения для простейших высказываний, входящих в посылки:
X: «Четырехугольник — ромб»;
Y: «Четырехугольник — квадрат»;
Z: «Диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны»;
V: «Четырехугольник можно вписать в окружность».
Тогда посылки можно записать символически следующим образом:
X  Z,
Z  Y ,
Y V,
( Z  V ).
Последняя посылка равносильна такой: Z & V , и поэтому задача сводится к тому, чтобы
из данных посылок получить следствие, зависящее лишь от переменных X и Y. Эта задача решена нами в задаче 1.23, а. Остается придать полученной формуле X & Y , содержательный
смысл: «Четырехугольник не является ни ромбом, ни квадратом».
1.35. Из посылок предыдущей задачи найдите правильное заключение о связи между высказываниями: «Данный четырехугольник  ромб» и «Данный
четырехугольник можно впи-
сать в окружность».
Указание. См. задачу 1.26.
19
1.36. Даны посылки: «Если целое число п больше 1, то оно простое либо составное»;
«Если целое число четное, то оно не простое»; «Если целое число больше 1 и не больше 2, то
оно четное»; «Если целое число 2, то оно больше 1». Из этих посылок найдите следствие, связывающее высказывания: «Целое число больше 2», «Целое число четное» и «Целое число составное».
Указание.
Выразите посылки в виде формул алгебры высказываний и обратитесь к
задаче 1.27.
1.37. Даны посылки: «Если данный четырехугольник  ромб, то его диагонали перпендикулярны»; «Если данный четырехугольник  квадрат, то его диагонали равны»; «Если диагонали данного четырехугольника не равны, то он не квадрат»; «Диагонали данного четырехугольника не перпендикулярны и равны». Найдите следствие из этих посылок, состоящее из высказываний:
а) «Данный четырехугольник  ромб» и «Данный четырехугольник  квадрат».
б) «Данный четырехугольник  ромб» и «Диагонали данного четырехугольника равны».
У к а з а н и е . Выразите посылки в виде формул алгебры высказываний и обратитесь к
задаче 1.28.
НАХОЖДЕНИЕ ПОСЫЛОК ДЛЯ ДАННЫХ СЛЕДСТВИЙ
1.38. Найдите все неравносильные между собой и не тождественно ложные формулы алгебры
высказываний,
для
которых
следующая
формула
является
логическим
следствием
(за исключением самой данной формулы):
а) X  Y ;
г) ( X  Y );
б) X  Y ;
д) ( X  Y )  ( X & Y ).
в) X  Y ;
Решение. а) Чтобы определить, логическим следствием каких посылок является данная формула F (Х1, Х2, ......, Хn), ее необходимо привести к совершенной конъюнктивной нормальной форме и затем составить конъюнкции формулы F с недостающими в ее СКН-форме совершенными
дизъюнктивными одночленами вида X 1*  X 2*  ....  X n* (где X i* есть либо Xi , либо Хi), взятыми
по одному, по два и т. д.
Приведем данную формулу к СКН-форме:
X  Y  ( X  Y ) & (Y  X )  (X  Y ) & ( X  Y ).
Недостающими в этой форме дизъюнктивными одночленами вида X *  Y * являются X  Y и
X  Y .
20
Поэтому
искомыми
посылками
для
данной
формулы
являются
формулы
( X  Y ) & ( X  Y ),
( X  Y ) & (X  Y ) и ( X  Y ) & ( X  Y ) & (X  Y ). Преобразуем
их равносильным образом к более простым формулам:
( X  Y ) & ( X  Y )  (X  Y ) & ( X  Y ) & ( X  Y )  (X  Y ) & X  X & Y ;
( X  Y ) & (X  Y )  (X  Y ) & ( X  Y ) & (X  Y )  (X  Y ) & Y  X & Y ;
( X  Y ) & ( X  Y ) & (X  Y )  (X  Y ) & ( X  Y ) & ( X  Y ) & (X  Y ) 
 (X  Y ) & X & (X  Y )  X & X  0
(т. е. эта последняя посылка представляет собой тождественно ложную формулу, из которой логически следует всякая формула алгебры высказываний, в том числе и данная X  Y ).
Итак, всякая формула, для которой формула X  Y является логическим следствием, равносильна либо формуле X&Y, либо формуле Х&Y, либо тождественно ложна. Поскольку из тождественно ложной формулы логически следует любая формула, то мы впредь не будем упоминать
тождественно ложную формулу в числе возможных посылок для данной формулы (за исключением случая, когда тождественно ложная формула является единственной посылкой для данной формулы).
1.39. Найдите недостающую посылку (формулу) F, зависящую лишь от указанных пропозициональных переменных так, чтобы была верна следующая выводимость:
а) X  Y  Z , Y & V ,
б) X  Z , Y  V ,
F ( Z , V ) ├ X & Y;
F ( Z , V ) ├ X  Y ;
в) X  Z , Y  ( X & Z ),
г) X  Z , Y  Z ,
F ( X , Y ) ├ Y  Z ;
Z  (Y  V ),
д) Y  Z , ( X  Z )  (V & Y ),
е) X & Y ,
F ( X , Y ) ├ X & V;
F ( X , Y ) ├ X  V ;
F ( X , Y , Z ) ├ Z;
Решение. а) Составим таблицы истинности для формул, являющихся посылками и заключением:
X
Y
Z
V
X Y  Z
Y & V
X &V
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
4
21
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
Далее, в правом столбце отметим цифрами те строки, в которых обе данные посылки принимают значение 1, а следствие принимает значение 0. Этому требованию отвечает лишь четвертая
строка, в которой (Z)=1 и (V)=1. Ясно, что при этих значениях Z и V искомая посылка F(Z, V)
должна принять значение 0, так как в противном случае формула X&V не будет логическим следствием формул X  Y  Z , Y & V и F (Z, V) (потому что на значениях (X)=0, (Y)=0, (Z)=1,
(V)=1 все посылки примут значение 1, а формула X&V примет значение 0). Будем считать, что на
других наборах значений переменных Z и V формула F(Z, V) принимает значение 1. Итак, для искомой посылки F(Z, V) получаем следующую таблицу истинности:
Z
V
F(Z, V)
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Находим СКН-форму для искомой формулы. Получаем: F(Z, V)=ZV=ZV.
1.40. Найдите все формулы, зависящие от переменных X и У и являющиеся посылками для
формул: а) X; б) Х.
Указание. Предварительно разложите данные формулы по переменным X и Y.
1.41. Найдите все посылки (формулы), зависящие от переменных X, Y и Z, для формул: а)
X  Z  & Z  X  & X ;
б)  X  Y  & Y ;
в) X&Y.
1.42. Докажите, что описанный в решении задачи 1.39 а) способ отыскания недостающей посылки дает наиболее слабую формулу, связывающую указанные переменные (т. е. такую формулу, которая сама может быть следствием других формул, содержащих те же переменные).
1.43. В следующем рассуждении найдите недостающую посылку, связывающую высказывания «Прямые а и b лежат в одной плоскости» и «Прямые а и b скрещиваются» так, чтобы рассуждение было правильным:
1) Прямые a и b либо параллельны, либо пересекаются, либо скрещиваются.
2) Прямые a и b лежат в одной плоскости и не пересекаются.
3) ???
22