ПОЧЕМУ НЕ НАДО БОЯТЬСЯ ЗАДАЧИ С6 И КАК ЕЁ НАДО

«С6 – это очень просто!»
ПОЧЕМУ НЕ
НАДО БОЯТЬСЯ
ЗАДАЧИ С6
И КАК ЕЁ НАДО
РЕШАТЬ.
Задача ЕГЭ прошлых лет
Все члены конечной последовательности являются
натуральными числами. Каждый член
последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз
больше предыдущего, либо в 10 раз меньше
предыдущего. Сумма всех членов последовательности
равна 1860.
А) Может ли эта последовательность состоять из
двух членов?
Б) Может ли эта последовательность состоять из
трёх членов?
В) Какое наибольшее количество членов может
быть в этой последовательности.
Решение пункта А
Закройте глаза и вспомните условие!
Пункт А
Не бойтесь! Пункт А – это очень просто!
10a+a=1860.
a – не натуральное.
Не забудьте написать ответ!
Ответ: не может.
Приступаем к пункту Б
Пункт Б.
Спокойно! Один балл Вы уже заработали!
Как могут идти числа?
Может так: первое в 10 раз больше второго, а второе в 10 раз
больше третьего?
Тогда 100а+ 10a+a=1860. Но 1860 не делится на 111, и опять a –
не натуральное.
А если так: первое в 10 раз больше второго, а второе в 10 раз
меньше третьего?
Тогда 10a+a+10а =1860. Но и на 21 1860 тоже не делится. Опять
неудача!
Есть ещё варианты? Может быть, так: первое в 10 раз меньше
второго, а второе в 10 раз больше третьего?
Тогда а+10a+a=1860 и 12a=1860. Ура: а=155 !
Ответ: может. Например 155+1550+155=1860.
Не бойтесь перебирать случаи!
Задача «оценка + пример»
Имеется набор натуральных чисел, причем сумма
любых семи из них меньше 15, а сумма всех чисел из
набора равна 100. Какое наименьшее количество чисел
может быть в наборе?
Ответ: 50 чисел.
Пример: 50 двоек.
Оценка. Разбиваем числа на семёрки рядом стоящих.
Если мы набираем только семь семёрок или меньше,
то сумма будет 98 или меньше. Ведь числа
натуральные и «меньше 15» – это «14 или меньше».
Экономь силы: строй простые примеры!
Переходим к пункту В
Пункт В.
Что мы знаем про эту ситуацию? Например, из размышлений над
пунктом А нам известно, что сумма любых двух соседних чисел
делится на 11. А, значит, она никак не меньше одиннадцати. А
сумма всех чисел составляет 1860. Сколько же таких пар может
быть? 1860=11×169+1. Значит, 169 пар не хватит и чисел должно
быть не меньше 339. А 339 можно? Конечно, и это подсказывает
последнее равенство. Пример выглядит так: 10, 1, 10, 1, …, 10, 1, 1.
Мы сделали две вещи:
на примере показали, что 339 чисел
подобрать можно (пример);
объяснили, почему больше нельзя
(оценка).
Задача С6 – это миниатюрное исследование.
Добравшись до последнего пункта, не забудьте про то,
что вы поняли ранее!
Задача досрочного варианта ЕГЭ - 2013
Имеются каменные глыбы: 50 штук по 700 кг, 60 штук по
1000 кг и 80 штук по 1500 кг (раскалывать глыбы нельзя).
А) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 65
грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый,
предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
Б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 43
грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый,
предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
В) Какое наименьшее число грузовиков,
грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы
вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в
грузовик выбранные глыбы поместятся?
Так не надо!
Описываем ситуацию в целом: всего 190 глыб общим
весом 215 тонн.
А) Очень грубая ошибка!
На каждую из 64 машин можно погрузить по 5 тонн.
Значит, мы даже 320 тонн увезём, а тут всего 215.
Ошибочное рассуждение! Отсутствует алгоритм
распределения глыб по машинам.
Избегайте рассуждений типа «можно потому,
что…». Как правило, они не приводят к
решению. Корректны только рассуждения
«нельзя, потому что…». Положительный ответ
подразумевает пример.
Мы - грузчики
Ищем алгоритм погрузки. Представим себе, что
мы грузчики. Что нужно сделать прежде всего?
Может, погрузим самые тяжёлые глыбы? В одну
машину влезут три таких глыбы. Но это значит,
что любые три глыбы влезут в одну машину.
Значит, хватит даже 64 машин, причём в
последней машине будет всего одна глыба.
Ответ: можно. Для этого в каждую машину нужно
положить по три любые глыбы. Тогда хватит даже
64 машин.
Решаем пункт Б
Б) 43 – это намного меньше, чем 65. И, скорее всего, ничего
не выйдет. Попробуем это объяснить. Почему нас
спрашивают про 43? Ага, общий вес 215 тонн, а 215=43 5.
Значит, погрузить можно, но каждую машину надо грузить
впритык. Это, например, значит, что 3 самые тяжёлые
глыбы грузить вместе нельзя. А как же их грузить? Ну,
например, так: берём две самые тяжёлые глыбы и
дополняем их двумя средними. А одну тяжёлую глыбу
положить на машину можно? Да, и дополнять её придётся
пятью лёгкими. А других вариантов действительно нет. Но
средних глыб у нас всего 60, значит, и больших глыб
первым способом уложить удастся только 60. А маленьких
глыб вообще 50, значит, первым способом уложить удастся
только 10 тяжёлых глыб. Всего упаковали 70, но ведь их 80!
Из оставшихся 5 тонн не наберёшь, а надо!
Пункт В: алгоритм и таблица
В) Раз 43 нельзя, надо проверить случай с 44 машинами.
И сделать это будет совсем легко. Ведь мы поняли, как
грузить тяжёлые балки. У нас уйдут все остальные балки,
а тяжёлых останется 10 штук. При этом будут 4
свободные машины. В каждую влезет по 3 балки, а в
последнюю придётся положить только одну.
700 кг 1000 кг 1500 кг
Всего
50
60
80
1-я погрузка
50
0
10
2-я погрузка
Остаток
60
Машины
44
10
60
30
10
4
Задача про «не более» и « не менее»
Каждый из группы учащихся сходил в
кино или в театр, при этом возможно, что
кто-то из них мог сходить и в кино, и в
театр. Известно, что в театре мальчиков
было не более 2/11 от общего числа
учащихся группы, посетивших театр, а в
кино мальчиков было не более 2/5 от
общего числа учащихся группы,
посетивших кино.
Пункт А: решение
А) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего
в группе было 20 учащихся?
Как распределить мальчиков между кино и театром? Ясно, что мальчиков в театре не
больше трёх. Пусть их было двое (удобнее считать). Тогда в театре детей не меньше 11,
т.е. девочек не меньше 9. Тогда мальчиков в кино не меньше 7. Пусть их 7. Тогда детей в
кино не меньше 18, а девочек не меньше 11.
В театре
Мальчики
Девочки
В кино
2
7
≥9
≥ 11
Для «распределения девочек» много разных вариантов. Самый простой.
В театре
В кино
Мальчики
2
7
Девочки
11
11
Проверка напоследок:
2
13
2
7
2
< 11; 18 < 5.
И опять: экономь силы – строй простые примеры!
Пункт Б: решение
Б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в
группе, если дополнительно известно, что всего в группе
было 20 учащихся?
Мы уже понимаем, что 9 мальчиков быть могло. А десять
– могло? Но мы уже понимаем, что, раз детей всего было
20, то в кино было не более трёх мальчиков. Значит, если
мальчиков 10, в театре было не менее 7 мальчиков. Но
они составляют не более 2/5 от общего числа. Значит,
всего в театре было не менее 18 детей и не менее 11
девочек. Стоп: уже 21 ребёнок. Всё!
Грамотно используй волшебные математические
слова «не более» и «не менее»!
Пункт В: задача-прототип
В) Какую наименьшую долю могли составлять
девочки от общего числа учащихся в группе без
дополнительного условия пунктов а) и б)?
Задача-прототип
Школьники одного класса в сентябре ходили в два
туристических похода. В первом походе мальчиков
было меньше 2/5 общего числа участников этого
похода, во втором — тоже меньше 2/5. Докажите,
что в этом классе мальчики составляют меньше 4/7
общего числа учеников, если известно, что каждый
из учеников участвовал по крайней мере в одном
походе.
Задача-прототип: решение
Перепишем условия задачи алгебраически:
M1/D1≤2/3; M2/D2≤2/3; M≤M1+M2; D1≤ D; D2≤ D
M1≤2D/3; M2/ ≤2D/ 3; M≤4D/3
Главная идея: от соотношений между мальчиками и
всеми детьми переходим к соотношениям между
мальчиками и девочками.
Источник задачи-прототипа:
«Заочные математические олимпиады» Васильев Н.Б. и
др., М. 1987
Главы «Неравенства, экстремумы и оценки» и «Необычные
примеры и конструкции »
Задачи про «не более» и «не менее»
для самостоятельного решения
1.
2.
3.
4.
Винни-Пух, Сова, Кролик и Пятачок съели 70 бананов, причем
каждому досталось хотя бы по одному банану. Винни-Пух съел
больше, чем каждый из остальных; Сова и Кролик вместе съели 45
бананов. Сколько бананов съел Пятачок?
Коля, Леня и Миша сложились и купили футбольный мяч. Сумма
денег, вложенных каждым из них, не превосходит половины суммы,
вложенной остальными. Сколько денег вложил Миша, если мяч
стоил 6 рублей?
На поле брани встретились армии Толстых и Тонких по 1000
человек в каждой. Сначала каждый толстый солдат выстрелил в
одного из тонких; затем каждый уцелевший тонкий солдат
выстрелил в одного из толстых. А после этого каждый уцелевший
толстый еще раз выстрелил в одного из тонких. Докажите, что в
живых осталось не менее 500 солдат.
Можно ли сто гирь массой 1 г, 2 г, …, 100 г разложить на десять
кучек так, чтобы любые две кучки имели различные массы, причем
в любой более легкой кучке было больше гирь чем в более тяжелой?
Оценка+пример
1.
2.
3.
4.
5.
Найдите наименьшее возможное число членов
математического кружка, если известно, что девочек в нем
меньше 50%, но больше 40%.
Имеется набор натуральных чисел, причем сумма любых
семи из них меньше 15, а сумма всех чисел из набора равна
100. Какое наименьшее количество чисел может быть в
наборе?
Требуется расставить по кругу цифры от 0 до 9 так, чтобы
сумма любых трех рядом стоящих цифр не превосходила N.
При каком наименьшем N это возможно?
Какое наибольшее количество натуральных чисел, не
превосходящих 1000 можно выбрать, чтобы ни одно из этих
чисел не делилось на разность никаких двух других?
Для какого наибольшего числа n существует n
последовательных натуральных чисел, у каждого из которых
сумма цифр не делится на 8?
Не более и не менее (решения)
1.
2.
3.
Решение. Поскольку Сова и Кролик вместе съели 45 бананов, то
кто-то из них съел не менее 23 бананов, тогда Винни-Пух съел не
менее 24 бананов. Значит, Сова, Кролик и Винни-Пух съели вместе
не менее 69 бананов. Но так как Пятачку тоже что-то досталось, то
Сова, Кролик и Винни-Пух съели вместе ровно 69 бананов, а
Пятачок – 1 банан. Ответ: 1 банан.
Решение. Согласно условию удвоенная сумма денег, вложенных
каждым мальчиком, не превосходит суммы, вложенной двумя
остальными. Если бы один из мальчиков дал больше двух рублей, то
двое остальных дали бы не меньше четырех, то есть меньше
удвоенной суммы денег первого. Итак, каждый дал не больше двух
рублей. Так как мяч стоил 6 рублей, то каждый дал 2 рубля. Ответ:
2 рубля.
Решение. Пусть после двух первых выстрелов уцелело х тонких
солдат. Тогда они убили не больше х толстых. Значит, толстых
осталось не меньше 1000–х, а общее число оставшихся солдат не
меньше х+1000-х=1000. Итак, после первых двух залпов осталось в
живых не менее 1000 солдат. Но следующим залпом могло быть
убито не более половины оставшихся, значит, в конце останется не
менее 500 живых.
Не более и не менее (решения)
4. Решение. Предположим, что рассматриваемые сто гирь
можно разложить на десять кучек с соблюдением требований
задачи. Тогда масса самой тяжелой кучки должна быть больше
одной десятой от суммарной массы всех гирь, то есть больше, чем
Так как масса каждой гири не больше 10 г, то самая тяжелая
кучка должна содержать не менее 6 гирь. Следовательно,
следующая за ней (по массе) кучка должна содержать не менее 7
гирь (так как в любой более легкой кучке больше гирь, чем в
любой более тяжелой), следующая – не менее 9 гирь и так далее
(самая легкая – не менее 15 гирь). Но тогда общее количество
гирь не меньше, чем сумма всех натуральных чисел от 6 до 15, то
есть не меньше 105. Полученное противоречие доказывает, что
наше предположение неверно, следовательно, разложить гири с
соблюдением требуемых условий нельзя.
Оценка + пример (решения)
1.
2.
3.
4.
5.
Семь членов. Из них 3 девочки и 4 мальчика. Случаи кружков с
меньшим числом членов разбираются перебором.
Пятьдесят двоек. Если чисел 49 или меньше, разобьём все числа на
группы. Групп будет семь или меньше, и сумма в каждой группе
составляет 14 или меньше. Значит, всего сумма будет не больше 98,
но сумма должна составлять 100.
Ответ: 15. Несложно построить требуемые расстановки цифр.
Например (в строку перечисляем последовательные цифры,
двигаясь по кругу в каком-нибудь направлении): 0, 9, 5, 1, 8, 3, 4, 2,
7, 6; 0, 9, 4, 2, 7, 5, 3, 1, 8, 6.
Ответ: 500. Достаточно взять все нечётные числа. А если взять хотя
бы 501 число, то среди них найдутся два числа с разностью 1.
Ответ: 14. Решение. У восьми натуральных чисел, идущих подряд
в пределах одного десятка, суммы цифр — тоже подряд идущие
натуральные числа, и потому одна из них делится на 8. Поэтому
если сумма цифр каждого из нескольких подряд идущих
натуральных чисел не делится на 8, в каждом десятке должно быть
не больше семи этих чисел. Поскольку переход через десяток может
быть, очевидно, только один, всего чисел не больше 14. Пример,
когда чисел ровно 14: от 9999993 до 10000006.