Документ 4944820

Содержание:
1.Введение. История процентов.
2. Основная часть
1.Основные задачи на проценты.
а) Нахождение процента от числа.
б) Нахождение числа по его проценту.
в) Нахождение процента одного числа от другого.
2.Простой и сложный процентный рост.
3.Проценты в математике.
4.Задачи на проценты в химии.
5.Основные проценты в физике.
3. Заключение
4. Список литературы
Введение.
Тема: Проценты в алгебре, химии, физике.
Основополагающий вопрос: Что общего в решении задач
на проценты по разным предметам (по алгебре, химии,
физике).
Цели и задачи: Рассмотреть случаи решения задач на
проценты, не изучаемые в школьном курсе математики,
но необходимые на ГИА и ЕГЭ.
.
Слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает «за
сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и
тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в
древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен
исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со
ста», а «с шестидесяти». Проценты были особенно распространены в
Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил
должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к
другим народам Европы.
Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или
убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и
денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты
встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и
технике. Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля
целого (принимаемого за единицу).
Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто),
которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда
путем
Нахождение процентов одного числа от другого.
Сколько процентов составляет, а от b.
𝒂
∙100%.
𝒃
𝒂
Ответ: ∙100%.
𝒃
Простой и сложный процентный рост.
Если при вычислении процентов на каждом следующем шаге
исходят от величины, полученной на предыдущем шаге, то
говорят о начислении сложных процентов. Если же суммы
процентов в течение всего срока хранения определяются
исходя только из первоначальной суммы независимо от срока
хранения и количества начисления процентов, то говорят о
начислении простых процентов. Простой процентный рост
вычисляется по формуле: b = а (1+0,01рn). Сложный
процентный рост вычисляется по формуле: b = а∙(1+ 0,01р)n,
где b - конечная цена товара, а - первоначальная цена товара,
р - число процентов, n - количество промежутков времени.
Проценты в математике.
В классе на уроках алгебры мы решаем задачи на
проценты не так часто. А в девятом классе на экзамене в
форме ГИА таких задач много. Особую трудность
вызывает решение задач на 4 и 6 баллов. Попробуем
разобраться с такими задачами.
Задача
На аукционе одна картина была продана с прибылью 20%, а
другая – с прибылью 50%. Общая прибыль от продажи двух
картин составила 30%. У какой картины первоначальная
цена была выше и во сколько раз?
Решение.
Пусть цена первой картины - а рублей, а второй картины –
b рублей. Т.к. цена первой картины повысилась на 20%, то
она стала 1,2а рублей (100%+20%=120%=1,2).
Т. к цена второй картины повысилась на 50%, то она стала
1,5b рублей (100%+50%=150%=1,5).
Общая прибыль стала (1,2а+1,5b) рублей.
a + b рублей - стоили картины раньше
Т.к. общая прибыль от продажи двух картин составила 30%,
то
1,3∙ (а + b) рублей стала стоимость картин. Составим
уравнение:
1,2а + 1,5b = 1,3∙ (а + b);
1,2а-1,3а=1,3b - 1,5b;
- 0,1а = - 0,2b;
a = 2b.
Значит, первая картина стоила дороже второй в 2 раза.
Ответ: первая, в 2 раза.
Решив эту систему, получим тот же результат.
Ответ: первый и второй растворы взяты в отношении 2 к 1.
Проценты в химии.
В химии очень часто используются задачи на проценты.
Например, задачи на примеси. Рассмотрим такой пример:
- Какую массу оксида кальция можно получить при
термическом разложении 600г известняка, содержащего 10%
примесей?
Дано:
m(CaCO3)-тех.= 600г
примеси- 10%
m(CaO)-?г
Решение:
1)массовая доля чистого вещества -100%,
массовая доля примесей - 100%-10%=90%
2)m чистого вещества (СаCО3)=(м.д. ч . вещества∙ m
тех(СаCO3))/100%;
m чистого вещества (СаCO3)=(90%∙600)/100%=5,4г
СаCO3=СаО+H2CO3
1)Определяем количество вещества известного по
условию.
n=m/M; n=5.4/100=0.054моль
2)Определяем количество вещества неизвестного
по условию.
По уравнению
реакции:1моль(СаСО3)=1моль(СаО);
По условию:0.054моль(СаСО3)=0.054моль(СаО);
n(СаСО3)=n(СаО)=0.054 моль.
3)m(СаО)= n* M=0.054*56=3г
Ответ: 3г
А теперь посмотрим где здесь химия. Из всего решения только
одна единственная строчка относится к химии - это уравнение
реакции. Все остальное - чистая математика.
Метод креста
Это один из видов химических задач, которые можно решить как с
точки зрения математики, так и химии. Рассмотрим одну из этих
задач.
В лаборатории имеются растворы с массовой долей хлорида
натрия 10% и 20%. Какую массу каждого раствора надо взять для
получения раствора с массовой долей соли 12% массой 300г.
Решение 1:
Вводим обозначения:ω1(NaCl)=0.1(10%); ω2(NaCl)=0,2(20%);
ω(NaCl)=0,12(12%);
Из определения массовой доли следует:
ω1(NaCl)=m1(NaCl): m1; 0,1= m1(NaCl): m1;
m1 (NaCl) = 0, 1 m1;
(а)
Аналогично получаем:
ω2(NaCl)= m2(NaCl): m2;
m2 (NaCl) =0, 2 m2;
(б)
Масса NaCl в растворе, который надо приготовить составляет:
m (NaCl)= m1(NaCl)+ m2(NaCl).
Учитывая равенства (а) и (б), получаем:
m(NaCl)= 0,1 m1 + 0,2 m2;
Для раствора с ω(NaCl)=0,12 записываем:
ω(NaCl)= m(NaCl): m; 0,12=(0,1 m1+0,2 m2):300;
Отсюда следует:
m1+2 m2=360;
(в)
где m2 и m1 – массы растворов с ω1(NaCl) и ω2(NaCl) соответственно,
которые необходимо взять.
Находим массу раствора, который надо приготовить:
m=m1+m2, или m1+m2=300;
(г)
Решая систему уравнений (в)и (г), получаем: m1=240г; m2=60г;
Решение 2.
Задачу такого типа можно решить используя правило смешения( метод
креста), которое поясним на примере.
Записываем друг под другом массовые доли исходных растворов, а
правее между ними - массовую долю раствора, который необходимо
приготовить.
0,2
0,12
0,1
Из большей массовой доли вычитаем заданную и записываем
результат справа снизу; из заданной массовой доли вычитаем меньшую
и записываем результат справа вверху:
0,2
0,02
0,12
0,1
0,08
Числа 0,02 и 0,08 показывают, в каком массовом отношении
надо взять растворы с ω2(NaCl)=0,2(20%) и ω1(NaCl)=0.1(10%)
соответственно. Таким образом, масса раствора с
ω2(NaCl)=0,2 составляет:
m2=(m∙0,02)/(0,08+0,02); m2=( 300∙0,02)/ (0,08+0,02)=60г
Определяем массу раствора с ω1(NaCl)=0.1
m1=(m∙0,08)/ (0,08+0,02); m1=( 300∙0,08)/ (0,08+0,02)=240г
Ответ: 240г и 60г.
Эту же задачу можно решить с помощью математической
модели.
Пусть х г масса первого раствора, тогда 0,1х масса соли в
первом растворе.
Т.к. общая масса 300г, то 300-х г масса второго раствора.
Тогда 0,2(300-х)г масса соли второго раствора. 0,12∙300г
масса соли получившегося раствора. Составим уравнение:
0,1х+0,2(300-х)= 0,12∙300.
0,1х+60-0,2х=36;
-0,1х=-24;
Х=240.
240г масса первого раствора, 300-240=60г масса
второго раствора.
В разделе математики задача №8.38 решена с
помощью составления уравнения. Попробуем решить
эту задачу методом креста.
Мы уже познакомились с самим методом решения,
поэтому будем применять его без пояснений.
0,2
0,2
0,3
0,5
0,1
1)0,5-0,3=0,2. Массовое отношение второго и
получившегося раствора
2)0,3-0,2=0,1. Массовое отношение получившегося и
первого растворов.
3)0,2/0,1=2/1. Отношение, в котором взяты первый и
второй растворы.
Ответ получился такой же как и в математическом
решении.