Шар и сфера

Шар
• Определение шара
• Элементы шара
• Определение шара как тела
вращения
• Сечения шара плоскостями
• Симметрия шара
• Касательная плоскость к
шару
• Пересечение двух сфер
• Уравнение сферы
• Решение задач
Шар
Шаром называется
тело, которое состоит из
всех точек
пространства,
находящихся на
расстоянии, не
большем данного, от
данной точки. Эта точка
называется центром
шара.
R
О
Граница шара
называется шаровой
поверхностью, или
сферой.
Концы любого
диаметра называются
диаметрально
противоположными
точками шара.
На рисунке точки А и В
являются диаметрально
противоположными.
Сфера может
быть получена
вращением
полуокружности
вокруг ее
диаметра.
Сечение шара плоскостью
Теорема. Всякое сечение
шара плоскостью есть
круг. Центр этого круга
есть основание
перпендикуляра,
опущенного из центра
шара на секущую
плоскость.
Плоскость,
проходящая через
центр шара,
называется
диаметральной
плоскостью.
Сечение шара
диаметральной
плоскостью
называется
большим кругом,
а сечение сферы
– большой
окружностью.
Сечение шара
плоскостью
Симметрия шара
Теорема. Любая
диаметральная
плоскость шара
является его
плоскостью
симметрии. Центр
шара является его
центром симметрии.
Теорема о касательной
плоскости к сфере
Теорема
Касательная плоскость имеет с
шаром только одну общую точку –
точку касания.
Доказательство
Пусть α - плоскость, касательная к
шару, и A – точка касания. Возьмем
произвольную точку X плоскости α,
отличную от A. Так как OA –
перпендикуляр, а OX – наклонная, то
OX > OA = R.
Следовательно, точка X не
принадлежит шару. Теорема доказана.
Касательная плоскость к шару
Плоскость, проходящая
через точку А шаровой
поверхности и
перпендикулярная
радиусу, проведенному в
точку А, называется
касательной
плоскостью.
Точка А называется
точкой касания. Прямая
в касательной плоскости
шара, проходящая через
точку касания, называется
касательной к шару в
этой точке.
Пересечение двух сфер
Теорема. Линия
пересечения двух
сфер есть
окружность.
Уравнение сферы
В прямоугольной
системе координат
уравнение сферы
радиуса R с центром
в точке С(x0;y0;z0)
имеет вид:
z
R
C(x0;y0;z0;)
y
O
x
2
2
2
2
(x-x0)+(y-y0)+(z-z0)=R
M (x;y;z)
Площадь сферы
вычисляется
Дано:
Шар
пересечен
плоскостью,
ОМ=9дм,
R=42дм.
Найти: Sсеч
А
М
В
R
О
Решение:
1.Сечением является
круг радиуса МВ
А
2.По теореме Пифагора:
МВ = 1681-81 = 40дм
3.Sсеч = 1600п дм
2
Ответ: Sсеч = 1600п дм
2
М
В
R
О
Дано:
Сфера касается
граней двугранного
0
угла AQB=120
ОQ = а, ОМ
АQ,
ОN QB
Найти: OM, MN.
Q
M
A
N
B
Решение:
1.По свойству касательных отрезков к окружности
MQ=QN.
MQO= OQN=> MQO= 60
2. В тр-ке MQO: Q=60
QO= a
=> MO= asin60= a 3
2
M= 90
3. MON = 360-(90+90+120)=60, тогда в тр-ке MON: по
т.косинусов
2
MN=r 2+r-2 2 r rcos60= a 3
Q
2
Ответ: R= a 3
2
MN=a 3
M
2
A
N
B
Дано:
А, В, С лежат на
сфере,
R=13 см, АВ = 6 см,
ВС= 8 см, АС = 10
см.
Найти: расстояние от
О до (АВС).
О
С
А
Н
В
РЕШЕНИЕ:
1. АО=ОВ=ОС
ОН (АВС)=> Н- центр описанной около АВС
окружности.
2. ОН (АВС)
АВС- прямоуг. => Н – середина гипотенузыАС.
3.ОН- искомое расстояние. ОН= 169-25 =12
О
Ответ: ОН=12
С
А
Н
В
Вопросы для повторения
• Определение шара
• Элементы шара
• Определение шара как тела
вращения
• Сечения шара плоскостями