Анализ траекторий для космической экспедиции к астероиду Апофис с возвращением к Земле

Анализ траекторий для космической
экспедиции к астероиду Апофис с
возвращением к Земле
Научный семинар, посвященный 100-летию
со дня рождения проф. П.Е. Эльясберга,
Таруса, Россия, 17-19 июня, 2014 г.
В.В. Ивашкин
ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, МГТУ им. Н.Э.Баумана
И.В. Крылов, А. Лан
МГТУ им. Н.Э.Баумана
Содержание










1. Введение………………… ……………………………………...…3
2. Случай экспедиции с комбинированной двигательной
установкой большой и малой тяги.…………………………… 7
2а. Схема полета………………………………………………..……7
2б. Постановка задачи………………………………..……..………8
2в. Геоцентрический разгон КА …………………….…….………9
2г. Гелиоцентрическое движение КА.
Математическая модель ………………………………………10
2д. Результаты анализа ………...………………………………….11
3. Случай экспедиции с двигательной установкой большой
тяги. …………………………………………………………………..17
4. Исследование движения КА вокруг астероида….…….……..21
5. Выводы……………..……………………………………………..28
2
I. ВВЕДЕНИЕ
Проблема астероидно-кометной опасности для Земли.
1. Ивашкин В.В., Крылов И.В. Оптимальные траектории
перелета КА с малой электро-реактивной тягой к
астероиду Апофис // Доклады Академии Наук, 2012. Т.
445, № 1. С. 32-36.
2. Ивашкин В.В., Крылов И.В., Лан А. Оптимальные
траектории для экспедиции КА к астероиду Апофис с
возвращением к Земле // Астрономический Вестник,
2013. Т. 47. № 4. С. 361-372.
3. Ивашкин В.В., Крылов И.В. Оптимизация траекторий
перелета космического аппарата с большой и малой
тягой к астероиду Апофис // Косм. Иссл., 2014. Т. 52.
№2. C.113–124.
3
I. ВВЕДЕНИЕ
4. Ивашкин В.В., Крылов И.В., Лан А. Анализ
оптимальных траекторий экспедиции КА к астероиду
Апофис с возвращением к Земле // Международный
научный журнал "Экологический вестник научных
центров Черноморского экономического сотрудничества".
Кубанский Государственный университет, 2013. № 4. T. 3.
C. 80-84.
5. Ivashkin V.V., and Lang A. Optimal Spacecraft Trajectories
for Flight to Asteroid Apophis with Return to Earth Using
Chemical High Thrust Engines // 2nd IAA Conference on
Dynamics and Control of Space Systems. Roma, Italy, March
24-26, 2014. Proceedings. Paper IAA-AAS-DyCoSS2-14-15-02.
15 p.
4
6. Ивашкин В.В., Крылов И.В., Лан А. Анализ
характеристик траекторий для полета космического
аппарата к астероиду Апофис с возвращением к Земле //
XII Забабахинские научные чтения ЗНЧ-2014, РФЯЦ –
ВНИИТФ, Снежинск, Россия, 2-6 июня, 2014. Тезисы
докладов. Доклад 1-40. С. 15-16.
5
I. ВВЕДЕНИЕ
В настоящей работе определяются и исследуются
энергетически оптимальные траектории полета КА для экспедиции
на астероид Апофис, включающей: полет к Апофису, пребывание у
астероида некоторое время и последующее возвращение к Земле.
Предполагается, что для выведения и разгона у Земли
используется РН типа «Союз» с разгонным блоком «Фрегат».
Исследованы две группы полетов:
- Oдна группа включает полеты КА с использованием химических
двигателей большой тяги для разгона от Земли и электро-ракетных
двигателей малой тяги для межпланетного полета;
- Другая группа включает полеты КА с использованием только
химических двигателей большой тяги.
- Рассмотрены полеты в 2019-2022 гг.
Основной вывод: экспедиция может быть осуществлена в обоих
случаях, хотя полезная масса заметно больше в первом случае.
6
2а. Случай комбинированной двигательной
установки большой и малой тяги
Основные этапы такой экспедиции к Апофису:
 Выведение КА на переходную орбиту ИСЗ; затем –
геоцентрический разгон КА двигателями большой тяги (ДБТ),
время t[t0, t1];
 Гелиоцентрический перелёт КА от Земли к Апофису с
двигателями малой тяги (ДМТ), t[t1, t2] (в момент t2
выравниваются координаты и скорости КА и астероида);
 Приастероидный этап, t[t2, t3]: выход КА на орбиту спутника
астероида, пребывание КА у астероида и на его поверхности,
отлёт КА от астероида, у Апофиса остается мини-спутник
 для наблюдений и измерений;
 Гелиоцентрический перелёт КА от Апофиса к Земле с ДМТ,
t[t3, t4] (в конечный момент выравниваются координаты КА
и Земли);
 Отделение СА, вход в атмосферу Земли, торможение, посадка
7
2б. Постановка задачи
При условии выполнения требований схемы перелёта и
полагая, что
 Начальное время t1 [25.06.2019; 27.09.2022];
 Общее время экспедиции t4 – t1 = 730 суток,
 Время пребывания у астероида t3 – t2 = 30 сут,
 ДМТ имеет мощность в струе N=3.75 квт, скорость
истечения we=25 км/с,
необходимо определить:
 Граничные времена экспедиции t1, t2 , t3, t4 ,
 величину и направление вектора скорости «на бесконечности» при геоцентрическом разгоне, а также
программы управления ДМТ на [t1, t2] и [t3, t4], чтобы
 масса КА в конечный момент mf была максимальной.
8
2в. Геоцентрический разгон КА с большой
тягой
Выведение KA на низкую околоземную орбиту
осуществляется ракетой «Союз – ФГ», которая
обеспечивает доставку массы 7130 кг на высоту
200 км.
 Для геоцентрического разгона КА до второй
космической скорости или до гиперболической
скорости используется разгонный блок «Фрегат»,
оснащенный двигателями с большой тяги.
Скорость истечения частиц в реактивной струе W
~ 3.2 км/с.
 После разгона КА движется к границе сферы
действия Земли. Далее – гелиоцентрический полет
к Астероиду.

9
2г. Гелиоцентрическое движение КА.
Математическая модель
Spacecraft trajectory :
(1)
r  v

r


v



u

3
r


m   
Boundary conditions :
1. Earth - Apophis
( 2)
r1  rE t1 , v1  v E t1   V l,

r2  rA t 2 , v 2  v A t 2 ,
2. Apophis - Earth
(3)
r3  rA t3 , v 3  v A t3 ,

r4  rE t 4 , v 4  var,
Functional for IT:
( 4 ) Ji 
ti 1
 u dt  min, i  1, 3.
2
ti
Functional for PCT:
( 5 ) J j  m( t j )  max, j  2,4.
Limitation for case of PCT:
2 N дв 

( 6 ) F  0 , Fmax 
,
W



F  F

where:  F  mu

W 2
 N дв 

2
10
2д. Результаты анализа



Задача решается в три этапа. Сначала - для случая
идеальной неограниченной по величине тяги при заданной
мощности ДУ, при нулевой скорости на бесконечности
после разгона от Земли. Затем находится оптимальная
скорость на бесконечности V∞. На заключительном, 3
этапе учитывается ограничение на тягу двигателя.
На 1 и 2 этапах для обоих гелиоцентрических участков
Земля-Апофис и Апофис-Земля при заданных граничных
временах участков находятся оптимальные траектории с
минимальными значениями функционала J. На третьем
зтапе максимизируется конечная масса КА.
Решение задач отыскивается на основе комбинированного
метода c применением на конечном этапе принципа
максимума с методом продолжения по параметру
[Ивашкин, Крылов. ДАН, 2012, т. 445. № 1, с. 32-36].
11
2д. Численные результаты - 1. Перелёт
Земля - Апофис
-4
-4.25
log(J1)[км2/сек 3]
185
-4.5
230
-4.75
275
-5
320
-5.25
-5.5
-5.75
-6
500
-6.25
-6.5
365
410
455 545
0
1
(t1 – 1.01.2020), годы
2
3
Рис.1. Зависимости функционала J1 (t1) для различных
времен продолжительности перелёта Земля - Апофис в
сутках – для идеальной тяги, нулевой скорости на
бесконечности после разгона от Земли.
12
2д. Численные результаты - 2. Перелёт
Апофис - Земля
-4
log(J3)[км2/сек3]
-4.5 3 ]
275
185
230
-5
320
365
-5.5
-6
-6.5
-7
410
-7.5
455
-8
500
545
-8.5
-9
(t3 – 1.01.2020), годы
-2
-1
0
1
2
3
Рис. 2. Зависимости функционала J3(t3) для различных
времен продолжительности перелёта Апофис - Земля в
сутках - для идеальной тяги, нулевой скорости на
бесконечности после разгона от Земли
13
2д. Численные результаты - 3.
Оптимальный функционал
-5.5
log(J1+ J3)[км2/сек3]
-5.6
-5.7
-5.8
-5.9
-6
TE
-6.1
-6.2
(t1 – 1.01.2020), годы
-0.5
0
0.5
1
Рис. 3. Суммарный оптимальный функционал J1 + J3 (t1) при
продолжительности экспедиции 2 года - для идеальной тяги,
нулевой скорости на бесконечности после разгона от Земли.
14
2д. Численные результаты-1. Характеристики
экспедиции с кусочно-постоянной тягой
Табл. 1. Характеристики траектории Земля-АпофисЗемля с ДМТ, суммарное время полета ∆t=730 сут.
t1 (opt), дата
22.04.2020
t3 (opt), дата
25.05.2021
∆t1 (opt), сут
368
∆t3 (opt), сут
332
m(t2), кг
1391
mf =m(t4), кг
1343
Полезная масса КА у Земли (без ДУ):
mP =mКА= m(t4) – m* – k(m(t1) – m(t4))=993 кг.
Оценка полезной массы с учетом коррекции - 980 кг.
15
2д. Численные результаты - 1.
Траектории КА
Y, a.u.
Y, a.u.
1
1
SC
Apophis
Earth
SC
0.5
0.5
X, a.u.
-1
-0.5
0
0.5
1
P2
X, a.u.
-1
-0.5
P4
-0.5
0
0.5
1
-0.5
P1
Apophis
-1
P3
-1
Earth
Рис. 4, Рис. 5. Орбиты Апофиса, Земли, а также оптимальные
траектории перелёта Земля-Апофис и Апофис-Земля с малой тягой
(точки P1, P2, P3, P4 соответствуют моментам t 1, t 2, t 3, t 4).
16
3. Случай экспедиции с двигательной
установкой большой тяги - a
Схема полета аналогична предыдущему случаю, но все маневры
делаются с помощью химических двигателей большой тяги
(ДБТ «Фрегата» у Земли и дополнительного ДБТ для дальнего
космоса, со скоростью истечения ~3 км/с). На гелиоцентрических участках полет – пассивный, есть только малые коррекции.
В данном случае при задании граничных времен экспедиции
гелиоцентрические орбиты для перелета от Земли к Апофису и
от Апофиса к Земле определялись двукратным решением
задачи Эйлера-Ламберта (с учетом возможности совершения
одного пассивного витка по орбите). При этом вычислялись
скорости: V1 - при отлете от Земли, V2 - при подлете к
Апофису, V3 - при отлете от Апофиса, V4 - при подлете к
Земле. Эти скорости определяют импульсы :
 ∆V1 для разгона от Земли, ∆V2 для торможения у Апофиса, ∆V3
для разгона от Апофиса, а также массы КА и оптимальные
траектории с максимальной полезной массой - для различных
времен экспедиции .
17
3. Случай экспедиции с двигательной
установкой большой тяги - b
ИД: (t4–t1)[390; 730] сут; t3–t2=7 сут; t1 [1.05.2019; 31.12.2020];
Полезная масса КА в функции от полного времени mP=mКА (∆t) :
 <1витка: 180 кг(∆t=420 сут); 182 кг (∆t=450 сут);
 >1витка:186 кг (∆t=540 сут); 180 кг(∆t=630сут);
235 кг (∆t=660 сут); 265кг (∆t=690сут); 224 кг (∆t=730сут)

Табл. 2. Характеристики траектории Земля-АпофисЗемля с ДБТ, суммарное время полета ∆t=690 сут.
∆t=t4 – t1 , cут
t1 , дата
∆t1 , сут
690
24.05.2019
335
∆t3 , сут
t4 , дата
mf /mP кг
348
13.04.2021
513/265
18
3. Случай экспедиции с двигательной
установкой большой тяги - c
Рис 6, Рис. 7. Орбиты Апофиса, Земли, а также оптимальные
траектории перелёта Земля-Апофис и Апофис-Земля в случае
большой тяги (точки P1, P2, P3, P4 соответствуют моментам t 1, t 2, t
3, t 4).
19
3. Случай экспедиции с двигательной установкой большой тяги - d
Табл. 3. Оценка полезной массы КА при уточненных
исходных данных для РН «Союз-ФГ», «Союз-2», Зенит»:
t
«Союз-ФГ»
m0=7130 кг
«Союз-2»
m0=8250 кг
«Зенит»
m0=14000 кг
450 сут
158 кг
208 кг
545 кг
690 сут
230 кг
301 кг
685 кг
20
4. Исследование движения КА вокруг
астероида - a
В соответствии с рассмотренной схемой полета полагаем,
что после подлета КА к астероиду он переходит на
орбиту его спутника радиусом около 500 м и, двигаясь по
этой орбите в течение ~ 7 сут, исследует астероид.
Предполагается также выведение мини-аппарата на
более удаленную орбиту спутника астероида (радиусом
несколько км), чтобы он после отлета основного КА к
Земле продолжил проводить измерения в течение
нескольких лет. Имея в виду эту схему экспедиции, был
выполнен анализ динамики движения КА вокруг
астероида. При этом были учтены два типа возмущений:
притяжение удаленных небесных тел (Солнце, Земля,
Венера, Юпитер) и влияние несферичности Апофиса.
21
4. Исследование движения КА вокруг
астероида - b
Начальная орбита КА взята круговой с радиусом в
диапазоне 0.5-5 км.
Для анализа влияния несферичности астероида на данном
этапе использована приближенная модель однородного
удлиненного эллипсоида вращения вокруг оси
минимального момента инерции.
Рассмотрены случаи, когда удлинение, т.е. отношение
большой и малой полуосей эллипсоида, меняется в
диапазоне  = (1.1; 1.5; 2).
Ниже даются результаты для удлинения  = 2.
22
The effect of the far celestial bodies gravity
(the initial asteroid position corresponding to the SC optimal
trajectory with u>2π,t = 690 days).
Fig. 8. Distance to the asteroid
center r, r0=0.5 km
(effect of far bodies gravity).

If initial radius increases as much as two times, the variations of
the SC motion increases at about one and a half order, being
small enough and increasing to ~ 25 m for r0=5 km.
Figures 9-12 give the variation of the distance r as well as the
semi-major axis a, inclination i, and ascending node Ω of the
spacecraft orbit during 5 years for initial circular orbit with the
radius 1 km, and for the same asteroid initial position, effect of
far bodies.

The effect of the no-spherical structure
of the asteroid
We used an approximate model of homogeneous ellipsoid of
rotation around its axis of minimal moment of inertia, that is a
prolate spheroid.
Figure 13. Distance to the asteroid
center r, during 7 days, for
r0=0.5 km, under effect of
ellipsoid gravity, for c/a=2
Figure 14. Distance to the asteroid
center r, during 5 years, for
r0=1 km, under effect of
ellipsoid gravity.
4. Исследование движения КА вокруг
астероида - c
Рис. 15, 16. Расстояние до центра масс астероида r, а также
расстояние в перицентре rp в течение 7 сут, для начального
радиуса r0=0.5 км при совместном влиянии далеких небесных
тел и несферичности астероида.
26
4. Исследование движения КА вокруг
астероида - d
Рис. 17. Расстояние до центра масс астероида r в течение 5 лет, для
начального радиуса r0= 2 км при совместном влиянии далеких
небесных тел и несферичности астероида.
Анализ эволюции орбиты показывает, что орбита КА довольно
стабильна в рамках рассмотренной модели астероида.
27
5. Выводы



Использование РН «Союз-ФГ» с блоком «Фрегат» и двигателя
малой электрореактивной тяги позволяет осуществить за два
года экспедицию к астероиду Апофис и вернуться назад к
Земле в 2019-2022 гг с пребыванием КА у астероида в течение
~ месяц, вернув к Земле аппарат с полезной массой ~ 1000 кг.
При полете только с обычными химическими двигателями
большой тяги и использовании для выведения и разгона ракет
типа «Союз-ФГ», «Союз-2», «Зенит» и разгонного блока
«Фрегат» также можно осуществить в 2019-2021 гг
экспедицию к астероиду и назад, правда, полезная масса КА
здесь меньше, ~200-680 кг.
Выполненный анализ орбитального движения КА вокруг
астероида показал, что в рамках принятой модели астероида
можно выбрать достаточно стабильную орбиту спутника
астероида.
Спасибо за внимание!
28