1 Лекция Симметрия кристаллов
реклама
ОЦЕНКИ по дисциплине Отлично - более 85 баллов для на весенний семестр 2015-2016 уч. г. Лектор Симметрия и химическая связь в твердых телах Зонная теория твердых тел Лекции тема балл Лаб. работы тема балл 32 ч. Лаб. Работы (специальности, направление) - 55 – 70 баллов Название модуля Лекции ФТИ-3 0Д31 Хорошо - 71 – 85 баллов Удовл. Физика твердого тела Практ. занятия 32 ч. Итого 64 ч. Гриняев С.Н. Практ. занятия тема балл Домаш. задания тема балл Рубежный контроль Максим . балл модуля Контрол Реферат 15 30 15 Коллокв Идз 10 30 20 Экзамен ИТОГО 40 25 35 100 1 Литература • Ч. Киттель • • • • • • Введение в физику твердого тела. М., Наука, 1978 П.В. Павлов, А.Ф. Хохлов Физика твердого тела, М., ВШ, 2000 А.И. Ансельм Введение в теорию полупроводников, М., Наука, 1978 У. Харрисон Теория твердого тела, М., Наука, 1972 И.В. Савельев Курс общей физики, Т.3, глава 4; Т.5, глава 6, Астрель, 2001 Дж. Блейкмор Физика твердого тела, М., Мир, 1988 2 I. Кристаллическое состояние вещества и симметрия решетки • Твердые тела подразделяют на кристаллические, поликристаллические и аморфные. • Чем отличаются ? Наличием ближнего или дальнего порядка, температурой плавления 3 Дальний порядок упорядоченное расположение частиц на сколь угодно больщих расстояниях периодичность Ближний порядок упорядоченное расположение частиц на близких расстояниях сохранение межатомных расстояний, углов и окружающих атомов 4 Агрегатные состояния вещества 5 Свойства кристаллов • Кристаллические вещества обладают анизотропией физических свойств, однородностью и симметрией • Анизотропия физического свойства означает, что свойство зависит от направления, в котором оно рассматривается. Такие свойства описываются тензорами. • Однородность вещества означает, что распределение атомов везде одинаково. • Симметрия – наличие у тела преобразований, совмещающих его с самим собой. 6 Анизотропия свойств связана с зависимостью плотности атомов, типа и чередования атомов от направления 7 В природе встречаются поликристаллы, представляющие собой конгломераты сросшихся малых кристалликов (размером ~ 0.1 мм), случайным образом ориентированных в разных направлениях. Анизотропия свойств наблюдается только для отдельных кристалликов. В среднем же свойства поликристаллов во всех направлениях одинаковые – изотропия свойств. У аморфных тел свойства тоже изотропные из-за отсутствия дальнего порядка. Аморфные тела можно рассматривать как жидкости с очень высоким коэффициентом вязкости. 8 Кристаллические тела имеют точку плавления, при которой вещество находится в двух фазах - в твердой и в жидкой. Аморфные же тела, постепенно размягчаясь при нагревании, не имеют определенной температуры, соответствующей переходу твердой фазы в жидкую. 9 В природе встречаются поликристаллы, представляющие собой конгломераты сросшихся малых кристалликов (размером ~ 0.1 мм), случайным образом ориентированных в разных направлениях. Анизотропия свойств наблюдается только для отдельных кристалликов. В среднем же свойства поликристаллов во всех направлениях одинаковые – изотропия свойств. У аморфных тел свойства тоже изотропные из-за отсутствия дальнего порядка. Аморфные тела можно рассматривать как жидкости с очень высоким коэффициентом вязкости. 10 Кристаллическое состояние вещества, строение и симметрия кристаллов детально изучаются в кристаллографии. Одним из основных законов кристаллографии является закон постоянства углов, установленный в 1669 г. Н. Стеноном : Грани кристалла могут изменяться по своей форме и относительным размерам, но их взаимные наклоны постоянны и неизменны для каждого рода кристаллов Любой кристалл наклоном его граней. характеризуется взаимным 11 Иллюстрация закона постоянства углов между гранями кристаллов одного и того же вещества 12 Развитие теории симметрии кристаллов и дифракции Р.Ж. Гаюи (1815) – решеточное строение И.Ф.Гессель (1830) – 32 класса симметрии О.Браве (1855) - 14 типов решеток А.В.Гадолин (1855) - 32 группы симметрии Е.С.Федоров (1890), А.Шенфлис (1891) - 230 пространственных групп симметрии М.Лауэ (1912) - дифракция Х - лучей У.Брэгг (1890-1971), Г.В.Вульф (1863-1925) – законы дифракции 13 Свойства и виды операций симметрии • Операции симметрии не деформируют фигуру, к которой они применяются Существует два рода операций симметрии : 1. Операции первого рода перемещают фигуру как целое (трансляции, собственные повороты) 2. Операции второго рода - повороты вокруг оси с предварительным или последующим отражением в плоскости, перпендикулярной к оси (несобственные повороты) 14 • Фигуры, которые можно совместить друг с другом путем операций первого рода, называют конгруэнтными • Фигуры, которые можно совместить друг с другом путем операций второго рода, называют энантиоморфными 15 Пример энантиоморфной фигуры Левый и правый кристалл кварца SiO2 переходят друг в друга при зеркальном отражении в вертикальной плоскости. 16 Элементы симметрии 1-го рода Оси симметрии – прямые линии, при повороте вокруг которых на определенный угол фигура совмещается сама с собой 2 n Величина минимального угла поворота α определяет порядок оси симметрии n, равный числу само совмещений фигуры при повороте на 2 2 n - порядок оси симметрии 17 Символика Браве для обозначения осей, плоскостей отражения, инверсии Ось поворота n -го порядка обозначается символом Плоскость отражения – символом Ln Р Центр инверсии – символом С - эта операция меняет направление любого вектора (с началом в центре инверсии) на противоположное Инверсионная ось Lni ( Ln ) означает двойную операцию – поворот вокруг оси Ln , а затем (или до) инверсию 18 Изображения осей симметрии L6 - L3 - L4 - L2 - Огюст Браве 19 Пример применения символов Браве Многогранник в виде кирпича и кристалл серы имеют одинаковую симметрию 3L23PC, но разное расположение граней относительно элементов симметрии 20 Теорема Ниггли (1919 г.) В кристаллах возможны лишь оси порядков n = 1, 2, 3, 4, 6 В кристаллах невозможны оси 5-го и выше 6-го порядков Ось 7 – го порядка невозможна 21 Доказательство В′ а А′ - а АВ =АВ′= А′В = а а А В А′В′ = kа = а+2аsin(-π/2) = а -2аcos() cos() = (1-k)/2 k = -1, 0, 1, 2, 3 = π/6, π/4, π/3, π/2, π 22 Элементы симметрии 2 - го рода К элементам симметрии 2 - го рода относятся : плоскость отражения, центр инверсии, зеркальноповоротные и инверсионные оси a отражение в плоскости отражения b - инверсия в точке С, поворачивает фигуру “с лица на изнанку” 23 Символика А. Шенфлиса Ось симметрии n - го порядка - Cn Плоскость отражения – σ вертикальная плоскость отражения – συ горизонтальная плоскость отражения – σh Инверсия – I Зеркально-поворотная ось симметрии - Sn Sn = σh Cn = Cn σh Если порядок выполнения двух операций симметрии не меняет результат, то говорят, что эти операции коммутируют. Умножение операций обозначается символом 24 Примеры умножений элементов симметрии σ σ = I I = E – тождественный элемент σh C2 = C2 σh = S2 = I I C2 = C2 I = σh σ σ´ = C (2φ) C(φ) C´(φ´) = C´´(φ´´) теорема Эйлера 25 Международная символика Предложена К.Г. Германом и Ш. Могеном Ось симметрии – n nz – ось направлена вдоль декартовой оси z Плоскость отражения – m mz – плоскость, перпендикулярная оси z Зеркально-поворотная ось симметрии – n/m Инверсионная ось симметрии – n = I Cn Инверсия – 1 26 Точечные группы Точечная группа симметрии G – это совокупность элементов симметрии g, переводящих тело само в себя и оставляющих неподвижной хотя бы одну его точку. • Элементы группы удовлетворяют свойствам : • 1) произведения элементов группы дают элементы той же группы g3 = g1 g2 • 2) для произведений элементов выполняется ассоциативный закон (g1 g2) g3 = g1 (g2 g3) • 3) в группе имеется единственный элемент E, удовлетворяющий свойствам g E = E g = g он называется единичным элементом • 4) каждый элемент группы имеет обратный элемент такой, что g g-1 = g -1 g = E Количество элементов в группе называется порядком группы. 27 Примеры точечных групп LnP = Сnh = n/m Повороты вокруг оси симметрии нечетного n – го порядка и плоскость отражения, перпендикулярная к оси LnPC = Сnh = n/m Повороты вокруг оси симметрии четного n – го порядка, плоскость отражения, перпендикулярная к оси, и центр симметрии LnnP = Сnυ = nm Ось симметрии n - го порядка и n штук вертикальных плоскостей отражения, проходящих через ось LnnL2 = Dn = n2 Ось симметрии n - го порядка и n осей 2 - го порядка С2 , перпендикулярных к ней L66L27PC = D6h = 6/mmm Повороты вокруг оси симметрии 6 – го порядка, 6 плоскостей отражения, проходящих через нее, и одна плоскость отражения, перпендикулярная к ней 3L23PC = D2h = mmm Три взаимно перпендикулярных плоскости отражения P = С1h = m - одна плоскость отражения 28 Изображение элементов симметрии с помощью стереографической проекции Стереографическая проекция (Аполлоний Пергский ок. 200 года до н. э. ) – это проекция точек некоторой сферы в кристалле на экваториальную плоскость. Пусть плоскость касается сферы в точке О, центром проекции является точка О′, диаметрально противоположная О. Через каждую точку А ≠ О′ сферы проходит единственная прямая, соединяющая А и О′. Эта прямая пересекает плоскость в единственной точке В, которая является образом точки А при стереографической проекции. В результате получается взаимно однозначное отображение сферы с выколотой точкой О′ на плоскость. 29 Стереографическая проекция является конформным изображением - она сохраняет углы между кривыми и форму бесконечно малых фигур. Стереографическая проекция переводит окружности на плоскости в окружности на сфере, а прямые на плоскости - в окружности, проходящие через центр проекции О′. 30 Вместо касательной плоскости используют и секущую экваториальную плоскость. В стереографической проекции направления в кристалле изображаются точками, а плоскости дугами или линиями. Верхний ряд – проекции плоскостей, нижний ряд – проекции направлений, проходящих по отношению к экваториальной плоскости Q : а) – перпендикулярно, б) параллельно, с) - наклонно 31 Примеры В группе 1 элементов симметрии нет В группе 2 имеется ось симметрии второго порядка В группе 1m (или m) имеется плоскость отражения В группе 2mm имеются ось симметрии второго порядка и две вертикальные плоскости отражения 32 Трансляционная симметрия кристаллов Наличие трансляционной симметрии у кристалла означает, что существуют смещения кристалла как целого на некоторые вектора, которые приводят к его совпадению с самим собой Rn1n2 n3 n1a n2b n3c • n1, n2, n3 - произвольные целые числа = 0, ±1, ± 2, ± 3,…. • a, b, c - некомпланарные векторы трансляции • Бесконечное множество векторов трансляции определяет пространственную решетку или решетку Браве (1848 г.). • В каждой точке решетки Браве находится атом. • Набор из трех чисел в двойных квадратных скобках называют символом узла [[n1n2n3]]. Например, [[000]]– начало координат. 33 В качестве векторов a, b, c обычно выбирают наименьшие по длине векторы, тогда их называют основными (или базисными) векторами решетки. Построенный на базисных векторах параллелепипед называется элементарной ячейкой. Элементарная ячейка является наименьшей частью кристалла, повторение которой полностью восстанавливает кристалл. Если в ней находится один атом, то ячейка называется простой. Объем элементарной ячейки равен смешанному произведению Ω0 = (a [b c]) 34 Выбор элементарной ячейки не однозначен b1 а1 а1 а1 b1 а2 Площади ячеек 1, 2, 3 одинаковые, хотя векторы b2 и b3 не наименьшие по длине вектора трансляции. Вектор а2 не примитивный вектор трансляции. 35 Принцип выбора элементарных ячеек Элементарные ячейки выбирают так, чтобы: 1) их симметрия по возможности соответствовала симметрии решетки 2) число прямых углов и равных сторон было максимальным 3) объем ячейки был минимальным 36 Однако, при таком построении элементарная ячейка может не обладать симметрией точечной группы кристалла. Поэтому используют другой выбор ячейки - метод Вигнера-Зейтца, при котором она всегда обладает симметрией кристаллической решетки. Через середины всех линий, соединяющих один атом со всеми другими, проводят плоскости. Наименьший объем, ограниченный такими плоскостями, есть элементарная ячейка Вигнера-Зейтца. 37 В реальных кристаллах в элементарной ячейке может находится не один, а несколько атомов. Такую решетку называют сложной или решеткой с базисом. Атомы сложной решетки находятся в узлах нескольких решеток Браве. Кристалл ВаТiO3 имеет структуру перовскита, которая обладает симметрией октаэдра Ва Тi O 38 Французский физик О.Браве (1848 г.) установил, что существует четырнадцать разных трехмерных решеток, отличающихся соотношением длин базисных векторов а, в, с и углов между ними α, β, γ – (параметры элементарной ячейки). Кристаллографические c оси проводят параллельно ребрам элементарной ячейки, вдоль базисных векторов. В общем случае система b а координат косоугольная. 39 Найдем точечные группы, преобразования которых переводят решетки Браве сами в себя. Для этого точечные группы должны удовлетворять следующим 3 требованиям: 1) Поскольку у любого вектора прямой решетки Rn n n 1 2 3 имеется противоположный вектор, то в точечной группе решетки Браве должна присутствовать инверсия как элемент симметрии 2) Согласно теореме Ниггли в точечной группе могут присутствовать лишь оси 1, 2, 3, 4, 6 порядков 3) Если точечная группа решетки Браве содержит подгруппу Сn (n > 2), то она содержит в себе и подгруппу Cnv 40 Таким требованиям удовлетворяют только следующие 7 точечных групп : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) C = 1 = S2 L2PC = 2/m = C2h 3L23PC = mmm = D2h L33L23PC = 3m = D3d L44L25PC = 4/mmm = D4h L66L27PC = 6/mmm = D6h 3L44L36L29PC = m3m = Oh 41 Эти 7 точечных групп имеют разную симметрию. Можно построить схему подчинения групп – в порядке убывания элементов симметрии – слева направо. D4h Oh D6h D2h C2h S2 D3d Переход к менее симметричной группе осуществляется путем деформации элементарной ячейки, отвечающей предшествующей (левой) группе 42 Одной и той же точечной группой симметрии могут обладать несколько решеток Браве. Поэтому все решетки Браве подразделяются на 7 систем или сингоний (syn – вместе, gonia – угол). Сингонией называется совокупность решеток Браве, имеющих одну и ту же точечную группу симметрии. В одну систему относят решетки Браве с одинаковой формой (однотипные решетки) К.С. Вейсс (1780 – 1856) Ф. Моос (1773 – 1839) 43 Категории и сингонии Категории Низшая Нет осей высшего порядка, n ≤ 2, все длины трансляций разные a≠b ≠c Сингония Признаки сингонии Триклинная Нет ни осей, ни плоскостей симметрии, может быть только центр симметрии С Моноклинная Оси и плоскости симметрии в единственном числе (L2, P или L2PC) Ромбическая Сумма осей L и плоскостей симметрии равна 3 или 6: 3L2, L22P, 3L23PC Средняя Наличие одной оси высшего порядка, n = 3, 4, 6, две длины трансляций из трех равные Тригональная Тетрагональная Гексагональная L3 L4 L6 Высшая Наличие нескольких осей высшего порядка, все длины трансляций равны a=b=c Кубическая 4L3 44 1) Триклинная сингония Т (S2) a b c; γ 90 • Имеется только одна примитивная (Р) элементарная ячейка в виде косоугольного параллелепипеда Обозначение решетки Г tr 45 2) Моноклинная сингония М a b c; 90 (С2h) Элементарная ячейка имеет форму прямой призмы с параллелограммом в основании С • P - примитивная моноклинная Гm • С – моноклинная с центрированными основаниями или базоцентрированная Г bm 46 3) Ромбическая или ортогональная сингония О (D2h) a b c; γ 90 Элементарная ячейка имеет вид прямоугольного параллелепипеда • • • • Р - примитивная ромбическая Г0 b С - ромбическая ячейка с центрированными основаниями Г 0 I – объемно-центрированная ромбическая Г0 F - гранецентрированная ромбическая Г 0f 47 4) Тригональная a b c; γ 120 , 90 или ромбоэдрическая сингония R (D3d ) • Элементарная ячейка – ромбоэдр • P – примитивная ромбоэдрическая Г rh 48 5) Тетрагональная или квадратная сингония Q (D4h) a b c; γ 90 •Элементарная ячейка – прямая призма с квадратным основанием Гq Р - примитивная тетрагональная Г I - объемно-центрированная тетрагональная q 49 6) Гексагональная сингония Н (D6h) Элементарная ячейка имеет вид прямой призмы с основанием в форме ромба с углом 120º • P - примитивная гексагональная Г h 50 7) Кубическая сингония К (Оh) a b c; γ 90 Элементарная ячейка имеет вид куба Р I F Р – примитивная кубическая Г c I – объемно-центрированная кубическая Г c f F – гранецентрированная кубическая Г c 51 Группа эквивалентных направлений Предыдущее рассмотрение касалось решеток Браве, узлы которых заполнены атомами одного сорта, поэтому в их элементарных ячейках находится лишь один атом. В сложных кристаллах решетка представляет собой совокупность нескольких решеток Браве, вставленных друг в друга. Узлы этих решеток могут быть заполнены либо одинаковыми, либо разными атомами. Поэтому в элементарной ячейке сложной решетки содержится несколько атомов и совмещение узлов одной решетки Браве не означает, что при этом будут совмещены узлы и других решеток Браве. 52 Следовательно, симметрия сложной решетки может быть только ниже симметрии решетки Браве и точечная группа сложного кристалла является подгруппой точечной группы решетки Браве. Например, если в решетке кристалла имеются разные атомы (такие как, Ga и As), то у такого кристалла отсутствует инверсия как элемент симметрии. Чтобы установить симметрию сложных решеток введем новые понятия – макроскопическое свойство и 53 эквивалентные направления. Макроскопическое свойство – это свойство, которое происходит под влиянием внешних физических полей с длинами волн, много большими постоянной решетки. Поэтому для макроскопического свойства детальная, атомная структура кристалла не существенна и при его описании кристалл можно рассматривать как сплошную, однородную среду. Трансляция сплошной среды на любой вектор не меняет ее макроскопические свойства. Единственное, что при этом остается от кристаллической структуры – это возможная зависимость макроскопических свойств от направлений, то есть их анизотропия. 54 Для каждого макроскопического свойства можно найти направления в пространстве, вдоль которых оно одно и тоже. Преобразования, переводящие такие направления друг в друга, образуют точечную группу симметрии данного макроскопического свойства. У разных макроскопических свойств (упругих, оптических, тепловых и т.д.) точечные группы симметрии, вообще говоря, разные G1 , G2 , G3 , …. G G1 G2 G3 55 Если рассмотреть все возможные макроскопические свойства, то окажется, что у них имеется некоторый общий набор элементов симметрии, под действием которых каждое свойство не меняется. Этот набор общих элементов симметрии образует точечную группу симметрии G кристалла, называемую группой эквивалентных направлений. Итак, эквивалентными направлениями в кристалле называются такие направления, вдоль которых любое макроскопическое свойство кристалла одно и тоже. 56 Хотя элементы симметрии из группы эквивалентных направлений G не меняют макроскопические свойства, это, вообще говоря, не означает, что при всех преобразованиях такой группы кристаллическая решетка сложного кристалла будет совмещаться сама с собой. Может оказаться, что при некоторых преобразованиях из группы G кристалл будет смещен как целое на некоторый вектор, равный дробной части вектора прямой решетки. Такую трансляцию называют нецелочисленной трансляцией τ. Нецелочисленная трансляция не меняет макросвойства, но она не совмещает кристалл сам с собой. Поэтому такой элемент симметрии группы G не является элементом симметрии кристалла. 57 Чтобы кристалл совпал сам с собой необходимо нецелочисленную трансляцию устранить. То есть надо элемент симметрии группы G дополнить последующей обратной трансляцией –τ. При таком, составном преобразовании не будут меняться не только макросвойства кристалла, но и сам кристалл будет переходить сам в себя. Значит, это составное преобразование будет элементом симметрии кристалла. 58 Составное преобразование, включающее нецелочисленную трансляцию, называют несиморфным преобразованием. Оно не является точечным преобразованием, так как все точки кристалла сдвигаются. При некоторых других преобразованиях из группы G кристалл может совмещаться сам с собой и для них нет необходимости вводить нецелочисленную трансляцию. Такие преобразования группы G называют симорфными. Они являются точечными преобразованиями. 59 Определения 1) Отражение в плоскости, сопровождающееся нецелочисленной трансляцией, называют плоскостью скольжения. 2) Поворот вокруг оси, сопровождающийся нецелочисленной трансляцией, называют винтовой осью. Плоскость скольжения и винтовая ось несиморфные преобразования симметрии. Плоскость отражения и ось вращения симорфные преобразования симметрии. 60 Пример плоскостей скольжения в структуре NaCl a, b - плоскости скольжения m - плоскости отражения 61 Пример винтовой оси 3 – го порядка C3 62 Кристаллические классы У простых кристаллов, имеющих один атом в элементарной ячейке, кристаллическая решетка совпадает с решеткой Браве, а группа эквивалентных направлений совпадает с точечной группой решетки Браве. У сложных кристаллов симметрия кристаллической решетки ниже симметрии решетки Браве, поэтому его группа эквивалентных направлений содержит лишь часть элементов симметрии группы эквивалентных направлений решетки Браве, то есть является ее подгруппой. 63 Группами эквивалентных направлений всех решеток Браве являются 7 точечных групп S2, C2h, D2h, D3d, D4h, D6h, Oh, определяющих сингонии. Поэтому чтобы найти все возможные группы эквивалентных направлений G сложных кристаллов, надо определить все возможные подгруппы 7 сингоний. Этот набор подгрупп называется кристаллическими классами. Поскольку каждый класс может быть подгруппой не одной, а сразу нескольких сингоний, то при распределении классов их относят к сингонии наинизшей симметрии. 64 Всего имеется 32 кристаллических распределенных по 7 сингониям : Сингонии 1. Триклинная S2 2. Моноклинная C2h 3. Ромбическая D2h 4. Тетрагональная D4h 5. Тригональная D3d 6. Гексагональная D6h 7. Кубическая Oh класса, Кристаллические классы E, S2 C1h, C2, C2h C2v, D2, D2h C4, C4v, C4h, S4, D2d, D4, D4h C3, S6, C3v, D3, D3d C6, C3h, C6h, C6v, D3h, D6, D6h T, Th, Td, O, Oh 65 Другие обозначения кристаллических классов на примере кубической сингонии Oh : Браве Шенфлис Интернациональные 3L24L3 Т 23 3L24L33PC Тh m3 3L44L36P Тd 43m 3L44L36L2 O 432 3L44L36L29PC Oh m3m 66 Кристаллические классы в остальных сингониях в обозначениях Браве L1 , C 1. Триклинная система (2 класса) L2 , P, L2PC 2. Моноклинная система (3 класса) 3. Ромбическая система (3 класса) 3L2, L22P, 3L23PC L4 , L4i , L4PC , L44L2 , L44P , L42L22P , L44L25PC 5. Тригональная сингония (5 классов) L3 , L3i , L33L2 , L33P , L33L23PC 6. Гексагональная сингония (7 классов) L6 , L3P , L6PC , L66L2 , L66P , L33L24P , L66L27PC 67 4. Тетрагональная система (7 классов) Итак, любой кристалл характеризуется : 1) Сингонией 2) Решеткой Браве 3) Кристаллическим классом 68 Пространственные группы С использованием эквивалентных направлений ранее были найдены элементы симметрии сложных кристаллов - симорфные и несиморфные, которые преобразуют кристалл сам в себя. Однако, эти элементы описывают не всю симметрию кристалла, поскольку кристалл совмещается сам с собой еще и при целочисленных трансляциях на векторы прямой решетки Rn n n . 1 2 3 Если эти целочисленные трансляции Rn n n 1 2 3 дополнить к симорфным и несиморфным элементам симметрии 32 кристаллических классов, то получится полная пространственная группа симметрии кристалла. 69 Всего имеется 230 пространственных групп. Они получаются из условия согласования всех 14 решеток Браве со всеми возможными осями симметрии, плоскостями отражения, винтовыми осями и плоскостями скольжения. Пространственные группы были найдены в 1890-1894 г. независимо Е.С.Федоровым и А.Шенфлисом. Из них : 73 – симорфных пространственных групп, элементы которых не сопровождаются нецелочисленными трансляциями 157 – несиморфных пространственных групп, в которых хотя бы один элемент точечной группы сопровождается нецелочисленной трансляцией 70 Распределение пространственных групп по сингониям и кристаллическим классам Евграф Степанович Фёдоров 71 Продолжение 1 таблицы распределения пространственных групп по сингониям и кристаллическим классам 72 Продолжение 2 таблицы распределения пространственных групп по сингониям и кристаллическим классам 73 Обозначения пространственных групп Наиболее часто используются обозначения Шенфлиса и интернациональные обозначения. В символике Шенфлиса пространственные группы обозначаются просто порядковым номером группы внутри данного класса. 2 Например, символ Шенфлиса Td - обозначает 2 -ю по счету пространственную группу кристалла со структурой цинковой обманки (ZnS). Интернациональный символ пространственной группы включает 4 значка и составлен так, чтобы по его виду можно было представить взаимное расположение элементов симметрии. 2 Например, пространственная группа Td обозначается как F43m - где F – ГЦК решетка, 43m T - обозначение точечной группы кристалла. d 74 Закон Федорова - Грота Кристаллы веществ с простым химическим составом обладают более высокой симметрией по сравнению с кристаллами более сложного состава 75 Примеры кристаллических структур Структура NaCl • Решетка Браве NaС1 кубическая гранецентрированная (ГЦК). Базис состоит из двух атомов: одного атома Na и одного атома - С1 • Элементарный куб содержит четыре молекулы NaС1. (a) 76 Структура хлористого цезия СsCl • Кристаллическая решетка представляет собой две вставленные друг в друга простые кубические (ПК) решетки Браве. • В узлах одной решетки находятся атомы цезия Сs, а в другой - атомы хлора Cl. • В элементарной ячейке 2 атома. 77 78 Плотно упакованные структуры Одинаковые твердые шары, моделирующие атомы, можно уложить плотноупакованным плоским слоем так, чтобы каждый шар соприкасался с шестью другими. Этот слой может быть либо базисной плоскостью гексагональной структуры с плотной упаковкой (ГПУ), либо плоскостью (111) гранецентрированной кубической структуры (ГЦК). 79 ГЦК ГПУ 80 Параметры кристаллической решетки Координационное число z – число атомов, являющихся ближайшими соседями данного атома. Для обоих ГПУ структур оно одно и тоже z = 12. В любой простой решетке число z одинаково для всех ее узлов. Коэффициент упаковки f – отношение объема, занимаемого твердыми шарами, к объему кристалла. • • • • Примеры: простая кубическая z = 6, f = 0.52 ОЦК z = 8, f = 0.68 ГЦК z = 12, f = 0.74 Алмаз z = 4, f = 0.34 81 ГЦК 82 ГПУ Средний слой атомов принадлежит 2-ой простой гексагональной решетке Браве 83 ОЦК 84 Двумерные решетки Браве Плоская решетка определяется 2 – мя базисными векторами a, b и 3 – мя параметрами – длинами этих векторов a, b и углом между ними φ. С плоской решеткой совместимы повороты вокруг осей 1, 2, 3, 4 и 6 порядков, перпендикулярных к плоскости решетки, и отражения в плоскостях симметрии, тоже перпендикулярных к плоскости решетки. Несовместимо никакое преобразование, выводящее решетку из плоскости. В результате из 32 точечных групп к плоским решеткам подходят только 10 точечных групп: Интернациональные символы 1, 2, 3, 4, 6, m, mm2, 3m, 4mm, 6mm Символы Шенфлиса С1, С2, С3, С4, С6, С1h, С2v, С3v, С4v, С6v 85 Всего имеется 5 двумерных решеток Браве · · · · · · · · · a φ b д) косоугольная 86 Характеристики двумерных решеток Браве Решетка Элементарная ячейка Точечная группа симметрии Квадрат, a = b, φ = 90º 2. Гексагональная Ромб (60º), a = b, φ = 120º 3. Прямоугольная Прямоугольник, a b, φ = 90º 4. Центрированная Прямоугольник, a b, φ = 90º прямоугольная 5. Косоугольная Параллелограмм, a b, φ 90º 1. Квадратная 4mm (С4v) 6mm (С6v) 2mm (С2v) 2mm (С2v) 2 (С2) 87
