Тема – Рисуем плоские узоры Часть 1. Теория.

Тема – Рисуем плоские узоры
Часть 1. Теория.
Двухмерный бесконечный узор может быть совмещен с самим собой переносом вдоль
трансляционных пересекающихся векторов Ta и Tb , лежащих в одной плоскости.
Периодичность плоского узора выражается двухмерной параллелограмматической
узловой сеткой
двухмерной решеткой, его элементом симметрии. Таким образом, если
геометрически одномерную «решетку»
узловой ряд
достаточно полно и однозначно
характеризуют величина и направление одного трансляционного вектора
T,
то
минимальным представителем двухмерной решетки оказывается параллелограмм,
построенный на двух неколлинеарных векторах, называемый ячейкой двухмерной
решетки. Очевидно, что подобные ячейки выполняют все двухмерное пространство без
промежутков.
Анализ возможных точечных преобразований симметрии двухмерной решетки в себя
в определенной кристаллографической координатной системе, т.е. точечных групп
решетки, выявляет различные соотношения основных минимальных трансляционных
векторов Ta и Tb и определенных значений углов между ними. Возможные сочетания этих
величин: Ta
Tb , Ta
90 , = 90
приведут к следующим типам решеток.
90 (рис. 53, а). Элементарной ячейкой такой узловой сетки будет
Tb ,
Ta
= Tb и
примитивный параллелограмм. При этом единственным элементом симметрии указанной
решетки (сетки) будет перпендикулярная к ней ось 2-го порядка, ее группа симметрии
p112.
Tb ,
Ta
= 90 (рис. 53, б). Элементарная ячейка в данном случае будет иметь форму
прямоугольного примитивного параллелограмма. Группа симметрии такой решетки
pmm2.
Ta
= Tb ,
90 . Равенство двух неколлинеарных векторов с углом между ними,
отличающимся от 90 , указывает на возможность присутствия оси симметрии,
перпендикулярной двухмерной решетке (узловой сетке); порядок оси определяется
минимальным углом между исходными векторами.
Угол
между эквивалентными трансляционными векторами может быть равен 60, 90
или 120 , т.е. в параллелограмматической сетке отсутствуют некристаллографические
оси 5-го и выше 6-го порядков. Это приводит к сеткам следующей симметрии.
Ta
= Tb ,
90
60 (рис. 53, в). Косоугольный параллелограмм, построенный
120
на векторах Ta = Tb , с углом
90 , хотя и является параллелограммом повторяемости, но
не может служить элементарной ячейкой, так как симметрия полученной решетки
заставляет выбрать в качестве координатных направлений векторы более высокой
симметрии, совпадающие с особыми направлениями такой решетки
нормалями к
плоскостям симметрии. Из рис. 53, в видно, что элементарная ячейка в этом случае будет
не примитивной, а центрированной
с, т.е. ее группа симметрии – cmm2.
Ta
= Tb , = 90 (рис. 53,г)
Ta
= Tb , = 120 (=60 ) (рис. 53, д)
Задание угла
p4mm.
p6mm.
= 60 между исходными векторами не изменит ни форму ячейки, ни
симметрию характеризуемой ею решетки – p6mm, так как угол 60
является
дополнительным к углу 120 .
Пять типов плоских сеток (двухмерных решеток): а моноклинная; б,в
тетрагональная; д гексагональная
ромбические; г
Взаимодействие групп симметрии розеток и 5 трансляционных решеток приведет к
появлению 17 математических законов размножения 2 мерных бесконечных узоров
Графики 17 двухмерных групп симметрии 17 групп, описывающих симметрию плоских
узоров орнаментов
На дом:
1) выбрав произвольную фигуру (из числа изображенных ниже или вашу
собственную) ниже нарисуйте с ее помощью ромбический ковер с решеткой pmm2.
Обозначьте на рисунке элементы симметрии.
2) определите симметрию 2 ковров и нанесите на них изображение элементов симметрии
соответствующей плоской группы