Московский инженерно-физический институт (государственный университет) Физико-технический факультет Лекция 11 Методы моментов. Метод сферических гармоник. Уравнение переноса в Р1-приближении. Диффузионное приближение. Границы применимости диффузионного приближения в задачах расчета защит. Ф8-01Н Теория переноса излучений Методы моментов Методы моментов или полиномиальные методы основаны на представлении угловой зависимости потока нейтронов в виде ряда по полной системе ортогональных функций. Эти разложения ограничиваются конечным числом членов, что позволяет получить решаемую систему уравнений. При этом пространственное представление зависимости потока нейтронов обычно получают с помощью введения дискретной пространственной сетки, в узлах которой вычисляются значения потока. Ф8-01Н Теория переноса излучений Метод сферических гармоник Угловая зависимость потока нейтронов Ф(х, ) представляется в виде ряда по полиномам Лежандра Pm() в плоской геометрии и по сферическим гармоникам в общем случае 2m 1 Ф ( х, ) m ( х) Pm ( ) 2 m 0 M Свойства сферических гармоник: 1) они образуют полную систему функций 2) они обладают свойством ортогональности 3) использование разложения индикатрисы рассеяния по полиномам Лежандра приводит к упрощению решаемой системы уравнений 2m 1 s ( х, 0 ) mS ( х) Pm ( 0 ) m 0 4 M Ф8-01Н Теория переноса излучений Уравнение переноса в Р1-приближении Р1-приближение уравнения переноса означает слабую зависимость потока нейтронов от угловой переменной. В плоской геометрии: Ф( x, ) 0 ( x) 3 1 ( x) коэффициенты разложения имеют физический смысл: φ0(х) – интегрального по углам потока нейтронов, φ1(х) – тока нейтронов Свойство нормировки полиномов Лежандра: 1, m 0 1 1 d Pm ( ) 1 2 0, m 0 Свойство ортогональности полиномов Лежандра: 1 2 1 ,m k d P ( ) P ( ) 2m 1 m k 1 0, m k 1 Уравнение переноса сводится к системе: Ф8-01Н d 1 ( x) 0 ( x) 0 ( x) Q0 ( x) dx d 0 ( x) 31 ( x) 1 ( x) 3Q1 ( x) dx Теория переноса излучений Диффузионное приближение Используемые приближения: 1) Слабая зависимость потока нейтронов от угловой переменной: Ф( x, ) Ф( x) 3 J ( x) Ф(х) и J(x) – поток и ток нейтронов 2) Отсутствие зависимости источника нейтронов от угловой переменной: Q1 ( x) 0, 0 ( x) a ( x), 1 ( x) tr ( x), d 0 ( x) D( x) 1 ( x) dx - закон Фика d d [ D( x) Ф( x)] a ( x) Ф( x) Q0 ( x) dx dx Ф8-01Н Теория переноса излучений - уравнение диффузии Границы применимости диффузионного приближения в задачах расчета защит Решение уравнения диффузии, получаемого с учетом приближений слабой зависимости потока нейтронов от угловой переменной и отсутствием зависимости источника нейтронов от угловой переменной, дает хорошие результаты в областях рассматриваемой системы удаленных от границ системы и границ раздела областей с резко различными свойствами. Эти ограничения в задачах расчета защит не всегда выполняются. Ф8-01Н Теория переноса излучений