Определение Случайная величина имеет нормальное распределение вероятностей с параметрами и

Определение. Случайная величина имеет нормальное
распределение вероятностей с параметрами  и
2, если ее плотность распределения задается
 ( x  ) 2
формулой:
1
 ( x) 
e
2 
2 2
,   x .
Определение. Пусть 1 ,, m ; 1 ,,  n (где натуральные
числа) обозначают независимые случайные
величины, каждая из которых распределена
по стандартному нормальному закону
Fm ,n
(12     m2 )

,
2
2
(1     n )
1
m
1
n
Если величина стандартизирована
zi 
xi  x
2
Тогда переход к стандартному нормальному закону распределения
– N (0, 2).
Проверка нормальности распределения –
основа критерий хи-квадрат
2 Статистическая независимость и
выявление тренда
2.1 Критерий серий

Если x i  x то (+),
если x i  x то (-).
++ - ++ - +++ -+ -- + -- + ---
N=20, r=12.
Определение. Серией называют последовательность
наблюдений перед и после которой следуют
наблюдения противоположного типа.
2 N 1 N 2 (2 N1 N 2  N )
2N1 N 2
2
r 
 1 (*)  r 
2
N
( N  1)
N
(**)
[rn;1  rрасч  rn; ]
2
2
N
n
2
2.2. Критерий инверсий
Пусть есть 8 наблюдений:
x1=5, x2=3, x3=8, x4=9, x5=4, x6=1, x7=7, x8=5.
A1 = 3, A2 = 1, A3 = 4, A4 = 4, A5 = 1, A6 = 0, A7 = 1.
hij =
1, xi > xj
0, xi  xj,
Ai 
N
h
j  i 1
N ( N  1) - мат.
A 
ожидание
4
ij
N 1
A   Ai
i 1
N ( 2 N  5)( N  1)
 
72
2
A
[ AN ;1  Aрасч  AN ; ]
2
2
2.3 Проверка стационарности случайного процесса.
1. Реализация x(t) разделяется на N равных интервалов.
2. Вычисляются оценки среднего квадрата для каждого интервала.
Эти оценки располагают в порядке возрастания номера
интервала:
2 2
2
x 1 , x 2 ,..., x N
3. Эта последовательность проверяется на наличие тренда с
помощью критерия серий или критерия инверсий
МЕТОДЫ МНОГОМЕРНОГО РАЗВЕДОЧНОГО
АНАЛИЗА ДАННЫХ
- пошаговая линейная и нелинейная регрессия
- факторный анализ
- кластерный анализ
-анализ дискриминантных функций
- многомерное шкалирование
- логлинейный анализ
- канонические корреляции
-анализ соответствий
- анализ временных рядов
-деревья классификации
-нейронные сети
3 РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
3.1 Простая линейная регрессия
ИДЕЯ
Х1
Y
1 шаг. Диаграмма рассеивания
Модель линейного
перехода
2 шаг Расчет коэффициента парной корреляции
N
rxy 
(x
i 1
i
 x )( yi  y )
 x  y
Предполагается модель
y   0  1 x  e

Рассчитывается модель вида
y  b0  b1 x
Базовый метод расчета коэффициентов модели МНК
Пусть мы имеем n наблюдений величин х и y
yi   0   1 xi  ei , i  1,..., n
(1)
Y
Xi
X
y
n
n
S   e   ( yi   0   1 xi )
i 1
2
i
x
n
S
 2 ( yi   0   1 xi ),
 0
i 1
n
S
 2 xi ( yi   0   1 xi )
 1
i 1
i 1
MIN
2
n
( y
i 1
i
  0   1 x i )  0,
(*)
n
x (y
i
i 1
n
i
  0   1 xi )  0
n
 y  nb  b  x
i 1
i
0
1
i 1
i
0
(**)
n
n
n
 x y b  x b  x
i 1
i i
0
i 1
i
1
i 1
2
i
0
нормальное
уравнение
b1
( x  x )( y  y )


 ( x  x)
i
i
2
i
b0  y  b1 x
3.2 Исследование полученной модели
1. Проверка адекватности полученной модели
2. Проверка корректности применения метода
МНК
3. Исследование точности прогнозирования по
модели
3.2.2 Проверка адекватности полученной модели

ПОЛУЧИЛИ МОДЕЛЬ
y  b0  b1 x
Определение. Под адекватностью модели простой линейной
регрессии понимается, что никакая другая
модель не дает значительного улучшения в
предсказании Y.
Номер
опыта
yi – результаты
наблюдений
 -
y
расчетные
значения

yi  y i
1
2
…
…
…
…
n

y

y yi
ОСТАТКИ
1) ПРОВЕРКА ОСТАТКОВ

n
( y
i 1
i
 yi )  0
2) ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННОЙ ТАБЛИЦЫ
Источник
дисперсии
Сумма квадратов
Регрессия
n
^
SS D   ( yi  y )
Степ.
Своб.
2
i 1
Отклонение
от
SS R 
регрессии
Полная

n
2
(
y

y
)
 i i
D=1
R=n-2
SST   ( yi  y ) 2
i 1
MS D  SSD
SS R
MS R  S 
R
2
i 1
n
Средние
квадраты
T=n-1
F-отношение
MS D
F0 
MS R
ПРОВЕРЯЕТСЯ ГИПОТЕЗА
H0: 1=0
ПРОТИВ
ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ
ОТСУТСТВУЕТ
Если
H1: 10
ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ
F0  Fтабл ., то гипотеза H0 отвергается.
3) Расчет коэффициента детерминации
SS R
R 
SST
2
4) Расчет доверительных интервалов для
коэффициентов модели
n

D(b1 ) 
S
2
n
2
(
x

x
)
 i
i 1
дисперсия
коэффициента b1:
S2 
2
(
y

b

b
x
)
 i 0 1 i
i 1
n2

b1  D(b1 )  t (1
2
:n  2 )
Доверительный интервал для b1
n

D(b0 ) 
S 2   x i2
i 1
n
n   ( xi  x )2
i 1

Доверительный интервал
для b0
b0  D(b0 )  t( n2;1 2)
Доверительный интервал для предсказываемой
переменной
Случай 1. Проверяется модель .
y   0  1 X  e
Нет неадекватности. Линейная
регрессия значима.
Случай 2. Проверяется та же
модель . Линейная регрессия
незначима. Используется
y   0   1 X   11 X 2  e
Случай 3. Проверяется та же
модель . Нет неадекватности.
Линейная регрессия незначима.
Используется модель
y   0   1 X   11 X  e
2