СЛЕДСТВИЯ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ

Министерство образования Республика Башкортостан
ГАОУ СПО «Уфимский топливно-энергетический колледж»
СЛЕДСТВИЯ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ
Проектно-исследовательская работа
Дисциплина «Математика»
Выполнили студенты гр. 1-Р-1 : Горшков Кирилл, Симашев Виталий
Руководитель: преподаватель математики Сухарева Г.В.
Цель:
Показать практическую направленность формулы полной
вероятности и формулы Байеса (теорема гипотез) при расчёте
безотказной работы: электротехнических и электронных
устройств и приборов; электрооборудования на станциях и
подстанциях.
Задачи:
1. Формула полной вероятности.
2. Формула Байеса (теорема гипотез)
Формула полной вероятности
P( A)  P( H1 ) P  A   P( H 2 ) P  A   ...  P( H n ) P  A 
 H1 
 H2 
 Hn 
H1 , H 2 ,...H n  гипотезы


A
P( A)   P( H i ) P

H
i 1
i

n
Пример:
По линии передаются два сигнала А и В соответственно с
вероятностями 0,72 и 0,28. Из-за помех 1/6 часть А -сигналов
искажается и принимается как В -сигналы, а 1/7 часть
переданных В - сигналов принимается как А - сигналы.
Определите вероятность того, что на приёмном пункте будет
принят А - сигнал.
Решение:
А
HA
- на приёмном пункте появился А - сигнал;
- передан А - сигнал;
H B - передан В - сигнал;
P( H A )  0,72
P( H B )  0,28
1 5


A
P
 1 

 HA 
6 6
1


A
P


 HB  7
  P( H ) P A

P( A)  P( H A ) P A

 H 
B
H
A
B


5
1
 0,72   0,28   0,64
6
7
Формула Байеса (теорема гипотез)
P( H i ) P A 
Hi 
Hi 


P
 n

 A   P ( H ) P A 
 H 
i
i 1
i

i  1,2,...n
H1 , H 2 ,...H n  полная группа несовместных гипотез
Пример:
Два
из
трёх
независимо
работающих
элементов
вычислительного устройства отказали. Найдите вероятность
того, что отказали первый и второй элементы, если
вероятности отказа первого, второго и третьего элементов
соответственно равны 0,2;0,4 и 0,3.
Решение:
А - отказали два элемента;
H1 -отказали первый и второй элементы, а третий
исправлен;
P( H1 )  p1  p2  q3  0,2  0,4  0,7  0,056
H2
-отказали первый и третий элементы, а второй исправлен;
P( H 2 )  p1  p3  q2  0,2  0,3  0,6  0,036
H3
- отказали второй и третий элементы, а первый
исправлен;
P( H 3 )  p2  p3  q1  0,4  0,3  0,8  0,096
H 4 - отказал только один элемент;
H5
- отказали все три элемента;
H 6 - ни один из элементов не отказали;
А -отказали два
элемента –
невозможно;
P A   P A   P A   0
 H4 
 H5 
 H6 
P A   P A   P A   1
 H1 
 H2 
 H3 
По формуле полной вероятности:
P( A)  P( H1 ) P  A   P( H 2 ) P  A   P( H 3 ) P  A  
 H1 
 H2 
 H3 
 P( H 4 ) P A   P( H 5 ) P A   P( H 6 ) P A  
 H4 
 H5 
 H6 
 0,056 1  0,036 1  0,096 1  0,188
P( H1 ) P A 
H1  0,056
H1 



 0,3

По формуле Байеса: P
A


P( A)
0,188
Пример:
Прибор может собираться из высококачественных деталей и из
Деталей обычного качества; вообще около 40% приборов
собирается из высококачественных деталей. Если прибор собран
из высококачественных деталей, его надёжность (вероятность
безотказной работы) за время t равна 0,95; если из деталей
обычного качества – его надёжность равна 0,7. Прибор
испытывался в течение времени t и работал безотказно.
Найдите вероятность того, что собран из высококачественных
деталей.
Решение:
Н1 - прибор собран из высококачественных деталей;
РН1   0,4
H 2 - прибор собран из деталей обычного качества;
РН 2   0,6
А - прибор безотказно работал за время t;
Условная вероятность события А при гипотезах
Р А   0,95
Р А   0,7
 Н1 
 Н2 
РН1   Р А 
Н1 
Н



1
Р


А

 Р Н   Р А   Р Н   Р А 
 Н 
 Н 
1
2
1
2


0,4  0,95

 0,475
0,4  0,95  0,6  0,7
Н1 и Н 2
Заключение
В
настоящее
время
с
внедрением
совершенной
вычислительной техники практически во все сферы
деятельности человека формула Байеса и формула полной
вероятности находят все более широкое применение при
решение
проблем
управления
в
экономике
и
промышленности, связанных с недостаточной информацией.
По мере поступления информации проводится корректировка
различных решений планов.
Информационное обеспечение
1. Гмурман В.Е. «Теория вероятностей», М., «Высшая
школа», 2008г.
2. Гмурман В.Е. «Руководство к решению задач по теории
вероятностей и математической статистики», М.,
«Высшая математика», 2010г.
3. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. «Математика» для
ССУЗ, М., «Высшая школа», 2010г.
4. Яковлев Г.Н., Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л.
«Математика» для ССУЗ, книга 2, М., «Новая волна»,
2011г.