Основные понятия теории вероятности


Муниципальное Автономное Общеобразовательное
Учереждение
Ярковская Средняя Общеобразовательная школа
ПРОЕКТ
по математике
Графы в заданиях ЕГЭ
Автор:
Мальцева Алёна Геннадьевна
учащаяся 10"А"класса
МАОУ"Ярковская СОШ"
руководитель:
Ганихина Антонина Владимировна
учитель математики
МАОУ "Ярковская СОШ"
с.Ярково
Содержание
Введение…………………………………………………………………………………3
Основные понятия теории вероятностей……………………………….......................4
Вероятностный граф – наглядное средство теории вероятностей……….................11
Задачи..............................................................................................................................13
Заключение……………………………………………………………………………...15
Список
литературы……………………………………………………………………………...16
Цели и задачи
В задании ЕГЭ ( В 10) включены комбинаторные задачи.
В связи с тем, что на изучение данного раздела в школе отведено небольшое количество часов, у
меня возникла потребность углубить свои навыки решения задач.
Актуальность моей работы обусловлена необходимостью качественного выполнения заданий В 10.
Главная цель работы – научиться решать задачи на комбинаторику.
Для реализации этой цели мной были поставлены следующие задачи:
●Изучить соответствующую литературу.
●Изучить содержание « Открытого банка заданий».
●Решить типовые задачи.
Задачи, связанные с понятиями случайного события и случайной величины, эффективно рассматривать через
графическую иллюстрацию с применением вероятностного графа, на ребрах которого надписаны
соответствующие значения вероятностей.
Ответ: пропорционально вероятности выигрыша.
Основные понятия теории вероятности
Любая точная наука изучает не сами явления, протекающие в природе, в обществе, а их математические
модели, т. е. описание явлений при помощи набора строго определенных символов и операций над ними.
При этом для построения математической модели реального явления во многих случаях достаточно
учитывать только основные факторы, закономерности, которые позволяют предвидеть результат опыта
(наблюдения, эксперимента) по его заданным начальным условиям. Однако есть множество задач, для
решения которых приходится учитывать и случайные факторы, придающие исходу опыта элемент
неопределенности.
Теория вероятностей - математическая наука, изучающая закономерности, присущие массовым случайным
явлениям. При этом изучаемые явления рассматриваются в абстрактной форме, независимо от их
конкретной природы. То есть теория вероятностей рассматривает не сами реальные явления, а их
упрощенные схемы - математические модели. Предметом теории вероятностей являются математические
модели случайных явлений (событий). При этом под случайным явлением понимают явление, предсказать
исход которого невозможно (при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта оно протекает
каждый раз несколько по-иному). Примеры случайных явлений: выпадение герба при подбрасывании
монеты, выигрыш по купленному лотерейному билету, результат измерения какой-либо величины,
длительность работы телевизора и т. п. Цель теории вероятностей - осуществление прогноза в области
случайных явлений, влияние на ход этих явлений, контроль их, ограничение сферы действия случайности.
В настоящее время нет практически ни одной области науки, в которой в той или иной степени не
применялись бы вероятностные методы.
Вероятностный граф – наглядное средство теории
вероятностей
Графом называется два множества с отношением инцидентности между их элементами, называемыми
вершинами и ребрами. Любое ребро связано не более чем с двумя вершинами.
Деревом называется связный граф без циклов. Очень важное понятие для подхода изложения теории
вероятностей. При помощи дерева удобно изображать исходы того или иного испытания.
Граф называется вероятностным, если рядом с каждым его ребром записать соответствующую вероятность.
Вероятность события вычисляется путем сложения вероятностей благоприятного исхода, которую в свою
очередь определяем произведением вероятностей каждого ребра, соответствующего этому благоприятному
событию.
Андрей, Борис, Виктор и
Григорий после возвращения из
спортивного лагеря подарили на
память друг другу свои
фотографии. Причем каждый
мальчик подарил каждому по
одной фотографии. Сколько
всего фотографий было
подарено?
Полный граф
А
Г
Б
В
С помощью стрелок на ребрах
полного графа с вершинами А,
Б, В и Г показан процесс
обмена фотографиями.
Очевидно, что стрелок в 2
раза больше, чем ребер, т. е.
6·2=12. Столько же было
подарено фотографий.
Ответ: 12 фотографий.
Граф - дерево
Задача № 3
Антон, Борис и Василий купили 3 билета на
футбольный матч на 1, 2 и 3-е места первого
ряда. Сколькими способами они могут занять
имеющиеся три места?
Граф - дерево
Способы
1 место
2 место
А
Б
Б
В
3 место
В
Упорядоченн
ые тройки
АБВ
АВБ
В
Б
А
В
БАВ
В
А
БВА
А
Б
Б
А
Ответ: 6 способов.
ВАБ
ВБА
Граф - дерево
Задача № 4
Сколько различных трехзначных чисел можно
записать с помощью цифр 0, 1, 2, если цифры
в числе могут повторяться?
213
376
543
934
753
849
875
109
777
760
201
0
1
1
2
Варианты
0
2
1
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
Образовавшееся число
100
101
102
110
111
112
120
121
122
200
201
202
210
211
212
220
221
Ответ: 18 чисел
Задачи

1. В волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и
отличная, причём погода, установившись утром, держится
неизменной весь день. Известно, что с вероятностья 0,8 погода
завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в
Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6
июля в Волшебной стране будет отличная погода.
2. Павел Иванович совершает прогулку из точки А
по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу
выбирает следующую дорожку, не возвращаясь
обратно. Схема дорожек показана на рисунке.
Найдите вероятность того, что Павел Иванович
попадет в точку G.
D
E
¼
¼
¼
F
½*¼ =⅛ =0,125
½
А
½
С
B
L
¼
H
G
K
Решение.
1. ½*½*⅓=1/12
2.
3.
4.
5.
½*½*⅓=1/12
½*⅓*⅓*½=1/24
½*⅓*½=1/12
1/12+1/12+1/24+1/12=
7/24=0,3
Ответ: 0,3
Заключение
У. Уивер пишет: «Теория вероятностей и статистика — две важные области, неразрывно
связанные с нашей повседневной деятельностью. Мир промышленности, страховые
компании в большой степени являются должниками вероятностных законов. Сама физика
имеет существенно вероятностную природу; такова же в основе своей и биология. Между
тем, несмотря на эту важность, универсальный характер теории вероятностей и статистики
все еще не стал общепринятым среди деятелей образования».
Изучая случайные события и явления, осуществляя поиск закономерностей не только в
математике и других науках, актуальными становятся вопросы о степени случайности, о
возможностях, которые могут снизить степень случайности события, переводя его в разряд
реальности бытия. Именно, исходя из этого, представленный авторский опыт введения
теории вероятности становится актуальным, предполагающим дальнейшее совершенство.
Список литературы
Афанасьев В.В., Суворова М.А. Школьникам о вероятности в играх. Введение
в теорию вероятностей для учащихся 8-11 классов: учебное пособие. Ярославль: Академия развития, 2006.
Афанасьев В.В. Теория вероятностей в вопросах и задачах: Учебное пособие. Ярославль: ЯГПУ им. К.Д. Ушинского, 2004.
Афанасьев В.В., Мамонтов С.И. Случайные события: Учебное пособие. Ярославль: Изд-во ЯГПУ им. К.Д. Ушинского, 1999.
Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учебное
пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 1996.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической