Алгебра множеств Выполнила: Студентка гр.И3-12 Николаева Екатерина

Алгебра множеств
Выполнила:
Студентка гр.И3-12
Николаева Екатерина
Множество
Это совокупность, набор предметов, объектов
или элементов.
Пример: 1,2,3,… множество натуральных чисел N;
…,-2,-1,0,1,2,… - множество целых чисел Z.
Объекты, из которых состоят множества, называются
их элементами.
Принадлежность элемента a множеству
P записывают так:a ∈ P,(где ∈ — знак принадлежности).
Если элемент a не принадлежит множеству P, то a ∉ P.
|М| - мощность множества (число его элементов).
Множества
Конечное
Бесконечное
Способы задания множеств:
1. Перечисление его элементов. Обычно
перечислением задают конечные множества. P
= {a, b, c, d}
2. Описание свойств, общих для всех элементов
этого множества. Это свойство называется
характеристическим свойством, а такой
способ задания множества описанием.
A = {x / P(x)}.
P = {x / 0 ≤ x ≤ 9 ∧x — целое число}
Подмножества
• Множество B называется подмножеством
множества A, если все элементы множества
B принадлежат множеству A. Обозначение:
А ⊂ В. Пример: Пусть Х — множество студентов
некоторой группы, Е — множество отличников этой же
группы.X ⊂ E
•
Два множества называются равными,
если они являются подмножествами друг
друга. Обозначение: А=В.А=В А⊂В и В⊂А.
Универсальное множество
-это множество содержащее все объекты и все множества.(U)
• Пример, при сборке некоторого изделия универсальным
множеством естественно назвать множество всех деталей и
сборочных элементов, из которых это изделие состоит.
• Пустое множество ,которое не содержит ни одного
элемента. ∅
Операции над множествами
• Объединение двух множеств А и В – это
новое множество, элементами которого
являются элементы, принадлежащие
множеству А или множеству В.
Обозначение: А U В.
А U В={x| х ∈ А или х ∈ В}.
• Пересечение двух множеств А и В – это
новое множество, элементами которого
являются элементы, принадлежащие
множеству А и множеству В.
Обозначение: А ∩ В.
А ∩ В={x| х ∈ А и х ∈ В}.
• Разность двух множеств А и В – это новое
множество, элементами которого являются
элементы, принадлежащие множеству А и
не принадлежащие множеству В.
Обозначение: А \ В.
А \ В={x| х ∈ А и х ∉ В}.
• Дополнением множества А называется
множества, которое состоит из элементов
универсума, не принадлежащих множеству
А.
• Обозначение: A .
A =U \ A или ={x| х ∉ А и х ∈ U}.
Пример: U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},
A={1, 2, 3, 4, 5}, В={2, 4, 6}.
А U В = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
А ∩ В = {2, 4}
А \ В = {1, 3, 5}
В \ А = {6}
A = {6, 7}
В = {1, 3, 5, 7}
Свойства операций над
множествами.
1.Идемпотентность пересечения, объединения.
А∩А=А
АUА = А
2.Коммутативность пересечения, объединения.
А∩В=В∩А
АUВ = ВUА
3.Ассоциативность пересечения, объединения.
(А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С)
(АUВ) U С = А U (ВUС)
4.Законы поглощения.
(А ∩ В) UА = А
(АUВ) ∩ A = А
5.Свойства пустого множества.
А∩∅=А
АU∅=А
6. Свойства универсума.
А∩U=A
АUU=U
7. Инволютивность.
A= А
8. Законы де Моргана.
А∩В=АUВ
АUВ = A ∩ В
9. Свойства дополнения.
А∩A=∅
А U A= U
10. Выражения для разности.
А\В=А∩В
Прямое произведение множеств
Пусть A и B – два множества. Прямым
(декартовым) произведением двух множеств A
и B называется множество упорядоченных пар,
в котором первый элемент каждой пары
принадлежит A, а второй принадлежит B.
AxB = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.
Пример: точка на плоскости может быть задана
упорядоченной парой координат, т.е. двумя точками на
координатных осях. Т.о., R2 = RR. Метод координат
ввел в употребление Рене Декарт (1596 - 1650),
отсюда и название – «декартово произведение».
Степенью множества X называется его
прямое произведение самого на себя.
• Соответственно, X1 = X, X2 = XX и вообще
Xn = XXn-1.
• Теорема: |AxB| = |A| |B|.
Доказательство: первый компонент
•
упорядоченной пары можно выбрать |А| способами,
второй - |B| способами. Таким образом, всего
имеется |A| |B| различных упорядоченных пар.
Следствие: |An| = |A|n.
Источники:
1.
2.
3.
4.
Ю.П.Шевелев «Дискретная математика»
http://ru.wikipedia.org
http://any-book.org/download/11058.html
http://vuz.exponenta.ru/PDF/MAMI/diskr/set
sdis.html