Анализ вариационных рядов Анализ вариационных рядов. Основные понятия и определения Генеральная совокупность – множество всех значений, характеризующих изучаемый признак. Выборка – часть генеральной совокупности. Ранжирование опытных данных – операция, заключенная в расположении значений признака по неубыванию. После операции ранжирования опытные данные можно сгруппировать так, чтобы в каждой группе признак принимал одно и то же значение xi (вариант) Анализ вариационных рядов. Основные понятия и определения W x x Размах выборки – число . ni Частота варианта ( ) – число повторений max min отдельного варианта значений признака. Объем совокупности – сумма всех частот k n ni i 1 Относительная частота – отношение частоты данного варианта к объему совокупности ni i n Анализ вариационных рядов. Основные понятия и определения Вариационный ряд – последовательность вариант, расположенных в возрастающем порядке. Дискретный вариационный ряд – ранжированная последовательность вариант с соответствующими частотами или относительными частотами. Интервальный вариационный ряд - упорядоченная совокупность интервалов варьирования значений случайной величины с соответствующими частотами или относительными частотами попаданий в каждый из них значений величины . Дискретный вариационный ряд x1 n1 x3 n3 x2 n2 k n i 1 i n ………… xk ………… nk Интервальный вариационный ряд x0 ; x1 x1 ; x2 n1 n2 x 2 ; x3 ………… n3 ………… xmax xmin h , l l 1 3,322 Lg (n) xk 1 ; xk nk Графическое изображение вариационных рядов Полигон частот –это ломаная, отрезки которой соединяют точки ( x1 , n1 ), ( x2 , n2 ),..., ( xk , nk ) Полигон относительных частот –это ломаная, nk n1 n2 ( x , ), ( x , ),..., ( x , ) 1 2 k отрезки которой соединяют точки n n n Гистограмма частот (относительных частот) – фигура, состоящая из прямоугольников с основанием h и высотами ni (i ) Гистограмма плотности частот (плотности относительных частот) - фигура, состоящая из прямоугольников с основанием h и высотами i ni h h Статистическое распределение. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n : x1 наблюдалась n1 раз; x2 наблюдалась n 2 раза; x3 наблюдалась n3 раза; ………………………………… k наблюдалась k раз. n x k Причем . n n i i 1 Числа n , n ,...., n 1 2 k называются частотами. Числа ni wi n , где i 1,2,..., k наз. относительными частотами. Статистическим распределением выборки наз. соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами или относительными частотами. x1 x2 x3 ………… w1 w2 w3 ………… k wi 1 i 1 xk wk n Полигон частот. k n3 n1 n2 x1 x 2 x3 .......... xk Полигон относительных частот. wk w3 w1 w2 x1 x 2 x3 .......... xk Эмпирическая функция распределения это функция равная отношению числа вариант, меньших x , к объему выборки: . n( x ) F ( x) n 1) 2) 0 F ( x) 1; F (x ) - неубывающая; 3) если x1 наименьшая варианта, то F ( x) 0, при x x1 ; 4) если x k наибольшая варианта, то F ( x ) 1, при k xx. Пример. По данному распределению выборки построить эмпирическую функцию. xi 2 6 10 ni 12 18 30 3 n ni 60 i 1 0, 12 , 60 F ( x) 12 18 , 60 1, x 2; 2 x 6; 6 x 10;. x 10. 0, 0,2 , F ( x) 0 , 5 , 1, x 2; 2 x 6; 6 x 10 ; x 10 . F (x) 1 0,5 0,2 0 2 6 10 x Статистическая совокупность. x0 ; x1 x ; x x2 ; x3 1 n1 n2 2 n3 ………… ………… xk 1 ; xk nk h x1 x0 x2 x1 .... xk xk 1 Число интервалов определяется по формуле Стерджеса k 1 3,22 lg n Ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною высоты равны отношению (плотность частот). ni h h ,а Гистограмма частот. ni h n2 h n1 h nk h x1 x 2 x3 xk 1x k Площадь гистограммы частот k S S i , i 1 тогда ni S i h ni , h k S ni n. i 1 Ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною высоты равны отношению wi h (плотность относительных частот). h,а Гистограмма относительных частот. wi h w2 h w1 h wk h x1 x 2 x3 xk 1x k Площадь гистограммы относительных частот. k S S i , i 1 wi Si h wi , h тогда k k k n i ni i 1 n S wi 1. n n i 1 i 1 n Интервальные оценки Оценка, которая определяется двумя числами, являющимися концами интервала, содержащего неизвестный параметр, называется интервальной. Доверительная вероятность (надежность)- вероятность с которой осуществляется неравенство , т.е. P . Доверительный интервал – интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью . Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном . xв Число t t n a xв t n определяется из равенства Ф (t ) 2 . Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном . xв Число t S n a xв t S n t определяется по таблице t t ( , n).