Алгебра логики Логика Логика – это наука о формах и законах человеческой мысли, о законах доказательных рассуждений, изучающая методы доказательств и опровержений, т.е. методы установления истинности или ложности одних высказываний (утверждений) на основе истинности или ложности других высказываний. Алгебра логики • Алгебра логики — это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания. Создателем алгебры логики является живший в ХIХ веке английский математик Джордж Буль, в честь которого эта алгебра названа булевой алгеброй высказываний. Предмет алгебры логики высказывание, т. е. утверждение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Отличие алгебры логики и алгебры: в формулах алгебры логики переменные являются логическими и принимают два значения: истина (1), ложь (0) Высказывания Простые (атомарные) Сложные (молекулярные) «Процессор – устройство, обрабатывающее информацию» «Процессор – устройство, обрабатывающее информацию и состоит из АЛУ » Высказывания Истинные А=1 Ложные В=0 А=«Оперативная память хранится в микросхемах» В=«Сканер – устройство для печати» Таблица истинности Таблица истинности логической формулы выражает соответствие между всевозможными наборами значений переменных и значениями формулы. Таблица истинности •Для формулы, которая содержит две переменные, таких наборов значений переменных всего четыре: (0,0), (0,1), (1,0), (1,1). •Если формула содержит три переменные, то возможных наборов значений переменных восемь: •(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), •(1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1). •Количество наборов для формулы с четырьмя переменными равно шестнадцати и т.д. КОНЪЮНКЦИЯ • • • • Соответствует союзу И; Обозначение &; В языках программирования and; Название: Логическое умножение. Таблица истинности для И ДИЗЪЮНКЦИЯ Соответствует союзу ИЛИ; Обозначение V; В языках программирования or; Название: Логическое сложение. Таблица истинности для ИЛИ ИНВЕРСИЯ Соответствует союзу НЕ; Обозначение А; В языках программирования not; Название: Отрицание. Таблица истинности для НЕ ИМПЛИКАЦИЯ • выражается словами ЕСЛИ … , ТО …; • Обозначение А→В; • Название: Логическое следование. Таблица истинности для импликации А В А→В 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 ЭКВИВАЛЕНЦИЯ • выражается словами ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА • Обозначение А→В; • Название: Логическая равнозначность. Таблица истинности для эквиваленции А В А→В 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Порядок выполнения логических операций • • • • • 1. инверсия (“не”), 2. конъюнкция(“и”) 3. дизъюнкция(“или”) 4. импликация ( ) 5. эквивалентность Для изменения указанного порядка выполнения операций используются скобки. Законы алгебры логики. 1. Закон двойного отрицания: А =А . 2. Переместительный (коммутативный) закон: A V B = B V A и A&B = B&A 3. Сочетательный закон: (AVB)VC = AV(BVC) и (A&B)&C = A&(B&C) Законы алгебры логики. 4. Распределительный закон (A V B)&C = (A&C) V (B&C) (A&B) V C = (A V C)&(B V C) 5. Закон общей инверсии (законы де Моргана) • A&B = A V B • AVB=A&B Формулы поглощения: A ( A B) A A ( A B) A A ( A B) A B A ( A B) A B Закон исключения (склеивания) • (A &B) V (A & B) = B • (A V B) & (A V B) = B РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ • • • • • • • • • • • • • 1. Найдите значения логических выражений: (1 1) (1 0) ((1 0) (1 0)) 1 2. Определите истинность простых высказываний: А= Принтер - устройство ввода информации В= Процессор - устройство обработки информации С= Монитор - устройство хранения информации D= Клавиатура - устройство ввода информации Определите истинность составных высказываний 1) (А В) (С D) 2)¬A ¬B 3. Построить таблицу истинности и определить логические значения сложного высказывания: А (¬В ¬В¬С) РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ • Записать формулу логического высказывания; «Если у меня будет свободное время и не будет дождя, то я не буду писать сочинение, а пойду на дискотеку» • УПРОСТИТЬ ВЫРАЖЕНИЯ 1. ¬(¬Х¬Y) 2. (¬XY)X 3. ¬(A¬B) 4. (A B)(AB) 5. (A B)(AB) • Какое логическое выражение равносильно выражению • ¬ (¬A \/ B) \/ ¬C? • 1)(A /\ ¬B) \/ ¬C • 2)¬A \/ B \/ ¬C • 3)A \/ ¬B \/ ¬C • 4)(¬A /\ B) \/ ¬C •