Предикатное программирование 2010 Формальные методы в описании

2010
Предикатное
программирование
Формальные методы в описании
языков и систем
программирования
п/г спецкурс
Ведет спецкурс:
Шелехов Владимир Иванович,
зав. лаб. Системного программирования ИСИ, к.т.н.,
[email protected], р.т. 330-27-21, ИСИ СО РАН, к.269
Кризис программирования
1960-е

Структурное программирование Э.Дейкстра
Технологии программирования
Объектно-ориентированное программирование
Языки спецификации программ
Формальная верификация программ
Доказательное программирование
Внедрение формальных (математических)
методов в практику программирования.
Обучение нового поколения программистов
Программа спецкурса
• общее понятие программы
• корректность программ с предикатной
спецификацией
• язык исчисление вычислимых предикатов
• методы доказательства корректности
предикатных программ
• язык и технология предикатного
программирования
• язык спецификации процессов
• технология спецификации и реализации
программ реального времени (реактивных
систем)
Практика построения спецификаций
программ
Построение предикатных программ
Математическое доказательство
корректности предикатных программ
Построение эффективных программ
методом трансформации
Спецификация простых протоколов
24.09.10
Лекция 1
Общее понятие программы
Автоматическая
вычислимость
Спецификация
программы
Алгоритм и программа
Программа есть описание алгоритма
решения задачи, заданное на языке
программирования
Формализации понятия алгоритма: машина
Тьюринга, частично рекурсивные
функции, нормальный алгорифм Маркова
и каноническая система Поста
Основные свойства программы:
• автоматическая вычислимость
• наличие спецификации программы
• логика программы
Автоматическая вычислимость
Автоматизация вычислений:
счеты  арифмометры 
 счетно-решающие устройства  ЭВМ
калькулятор
Программа есть алгоритм, реализованный
таким способом и в такой форме, что
вычисление алгоритма проводится
автоматически
Способы реализации программы
• аппаратно реализованная программа
(интегральная микросхема, чип)
• программа на языке программирования
Язык программирования определяет
правила представления программы в виде
текста в конечном алфавите символов:
• типы данных
• структура памяти исполняемой программы
• виды языковых конструкций программы
• правила исполнения конструкции каждого
вида и программы в целом
Процессор языка программирования
• аппаратно реализованный ― процессор
языка системы команд ЭВМ
• реализованный на др. языке программирования
(интерпретатор байткода для языка Java)
• виртуальный (трансляция на другой язык) ―
представлен описанием операционной
семантики исходного языка
Спецификация программы
Базовый процесс
окружение
программ
а
Модель применения программы
Спецификация программы  описание
преобразования информации, реализуемого
вычислением программы
Спецификация описывает связь между входными и
выходными потоками информации. Связь либо
отражает закон природы, выраженный в
математической форме, либо является
интерфейсом, спроектированным человеком.
Язык спецификаций
Связь между спецификацией и
программой
Свойство 1. Спецификация первична по
отношению к программе.
ДНК ?
Свойство 2. Программа должна
соответствовать спецификации.
Свойство 3. Будучи написанной, программа
всегда существует и является строго
определенной в силу строгости языка
программирования. Спецификация, напротив,
может быть нестрогой, неполной,
устаревшей, отсутствовать или быть
ошибочной.
Свойство 4. Программа на языке
программирования является абсолютно
точной и полной спецификацией самой себя.
Свойство 5. Спецификация может быть
невычислимой. Программа автоматически
вычислима.
Формы спецификации программы
Предикатная спецификация  представима в
виде формулы на языке исчисления предикатов
высших порядков
Процессная спецификация  эффект исполнения
программы определяется в виде процесса. Модели:
машина конечных состояний, сеть Петри, модель CSP
Т.Хоара, машина абстрактных состояний Ю.Гуревича
Процессорная спецификация описывает
функционирование процессора некоторого языка
программирования. Формальная семантика 
математическое описание семантики языка
программирования. Виды формальной семантики:
операционная, денотационная и аксиоматическая.
Классификация программ
• программы решения задач дискретной и
вычислительной математики
• программы, работающие в режиме реального
времени (реактивные системы)
• большая часть программ системного
программирования
Структура предикатной спецификации
Предикатная спецификация ― может быть записана в
виде формулы на языке исчисления предикатов.
Взаимодействие программы с окружением: ввод данных,
исполнение программы, вывод результатов.
Других взаимодействий с окружением нет.
Ввод можно собрать в начале, вывод – в конце
Спецификация определяет функцию, отображающую
значения входных данных в значения результатов.
Предикатная спецификация ― условие математической
задачи, исходными данными которой являются
входные данные программы, а неизвестными 
результаты программы.
Алгоритм
строится
с
использованием
свойств
(утверждений, лемм, теорем), доказуемых из условия
задачи строгими математическими методами.
Программа
―
реализация
алгоритма
решения
математической задачи.
Спецификация
свойства
алгоритм
Свойства
Алгоритм
программа
Программа
Рис1. Схема построения программы с предикатной спецификацией
Алгоритм строится с использованием свойств (утверждений,
лемм, теорем), доказуемых из условия задачи. Эти
свойства определяют логику решения задачи.
Программа
―
реализация
алгоритма
решения
математической задачи. В процессе реализации программа
оптимизируется привычным образом: используются циклы
вместо рекурсии, используются указатели и т.д.
Логика программы
Логика программы ― набор предикатов {Qp} на
значениях переменных для разных точек p
программы
1. Предикат Qp(z) истинен, когда исполнение
программы находится в точке p.
2. Если предикат Qp(z) истинен на некотором наборе
значений z=z0, то существует исполнение с
такими значениями переменных в точке p.
Извлечение логики из программы в целях
дедуктивной верификации обычно реализуется
на основе формальной семантики языка
программирования.
Примеры логики программы
 в начале программы ― T = true
 F(1 x++2 , y) ― Q2(…x,y…) = Q1(…x-1,y…)
 1+1 x/y2 +a ― Q2(…x,y,a…) = Q1(…x,y,a…) & y0
При работе с программой во время отладки
программист пытается изъять из кода программы
необходимую ему часть логики программы. Однако
в качестве логики программы он воспринимает
логику решения
Большинство оптимизирующих преобразований
приводят к усложнению (искривлению) логики
программы. Для любой, даже простой,
императивной программы ее логика оказывается
существенно искривленной. Источниками кривизны
логики являются, например, такие конструкции, как
циклы и указатели переменных.
Пример извлечения логики программы
int D(int a, b)  функция вычисления наибольшего общего
делителя (НОД) положительных a и b.
x – делитель a  divisor(x, a)  z ≥ 0. x  z = a .
НОД(c, a, b)  divisor2(с, a, b) & x. (divisor2(x, a, b)  x ≤ c)
Логика решения залачи базируется на следующих известных
свойствах НОД:
a = b  НОД(a, a, b)
a > b & НОД(c, a, b)  НОД(c, ab, b)
НОД(c, a, b)  НОД(c, b, a)
int D(int a, b)
// D(a, b, c)
{
if (a == b) return a;
// c = a
else if (a < b) return D(a, ba) // D(a, ba, c)
else return D(ab, b)
// D(ab, b, c)
}
a = b  НОД(a, a, b)
a > b & НОД(c, a, b)  НОД(c, ab, b)
НОД(c, a, b)  НОД(c, b, a)
int D(int a, b)
// D(a, b, c) =
{
if (a == b) return a;
// a = b  c = a
else if (a < b) return D(a, ba)
//  a = b & a < b  D(a, ba, c)
else return D(ab, b)
//  a = b &  a < b  D(ab, b, c)
}
Логика программы:
D(a, b, c) =
( a = b  c = a) &
( a = b  (a < b  D(a, ba, c)) &
( a < b  D(ab, b, c))
)
Извлечения логики для второй программы
int D(int a, b) {
// D(a, b, c)
for ( ; ; ) {
if (a == b) return a;
if (a < b) b = b – a
else a = a – b
}
// a = b  c = a
// a < b  b’ = b – a
//  a < b  a’ = a – b
}
Логика программы для точки в конце тела цикла
E(a, b, a’, b’) =
(a < b  b’ = b – a & a’ = a) &
( a < b  a’ = a – b & b’ = b) &
a=b
Итоговая логика программы:
true & E(a, b, a1, b1) & E(a1, b1, a2, b2) & … & E(ar-1, bk-1, ak, bk)
& a k , = bk & c = a k ,
Язык программирования называется
предикатным, если логика любой
конструкции Z этого языка может быть
определена единственным предикатом
LS(Z), истинным после исполнения Z.
Функция LS называется логической
семантикой языка. Логика предикатной
программы совершенно прозрачна: в
качестве логики естественно рассматривать
саму программу. Языки предикатного
программирования находятся на границе
между функциональными и логическими
языками.