Тест.Уранения и неравенства

Рациональные уравнения и неравенства.
Определение. Рациональным уравнением называется уравнение вида
P( x)
 0 , где P ( x ) ,
Q( x)
Q ( x ) - многочлены.
Основными методами решения рациональных уравнений являются:
1) Приведение рационального выражения к общему знаменателю и решение
полученного уравнения:
 P( x)  0
P( x)
0
Q( x)
Q( x)  0
2) Разложение на множители. Если P( x)  P1 ( x)  P2 ( x)  ...  Pn ( x)  0 , то всякое решение
уравнения P( x)  0 является решением совокупности P1 ( x)  0 , …,
Pn ( x)  0 .
Обратное утверждение не всегда верно. Это объясняется тем, что решения
отдельных уравнений Pk ( x)  0 могут не входить в область определения P ( x ) .
3) Введение новых неизвестных и сведение исходного уравнения к квадратному или
другому простому уравнению относительно новых неизвестных.
Pn ( x)  0 ,
4) Для
рациональных
уравнений
вида
где
Pn ( x)  an x n  an 1 x n 1  an  2 x n  2  ...  a1 x  a0 , часто используется метод разложения на
множители, состоящий в подборе корня и понижения степени исходного
уравнения. Если коэффициенты ai  и уравнение Pn ( x)  0 имеет целый корень
x0 , то x0 является делителем свободного члена a0 . Понижение степени исходного
уравнения может производиться делением многочлена Pn ( x) на одночлен x  x0
«уголком». Если коэффициент an при старшей степени многочлена
Pn ( x)  an x n  an 1 x n 1  an  2 x n  2  ...  a1 x  a0 не равен единице, ai  , то рациональные
корни ищутся в виде x0

p
q
, где
p
– целый делитель a0 ,
q–
натуральный
делитель an . Этот метод не годится для нахождения иррациональных корней.
Определение. Рациональные неравенства – неравенства вида
P( x)
 0 (<, ,  0), где P ( x ) ,
Q( x)
Q ( x ) - многочлены.
Основной метод решения рациональных неравенств – метод интервалов.
Алгоритм метода интервалов:
1. Найти ОДЗ.
2. Найти все нули функции, превратив неравенство в соответствующее уравнение.
3. Нанести нули на ОДЗ, обозначить все полученные интервалы.
4. На каждом интервале проверить, выполняется неравенство или нет, взяв для
этого по одному числу на каждом интервале и подставив его в неравенство.
5. Объединение подходящих интервалов составляет множество решений исходного
неравенства.
Рациональные уравнения
1. Корень уравнения
А)
 6;  4
x3  125
 8 x  35
x5
B)
принадлежит промежутку
 3;  1
C)
0; 2
D)
2. Сумма корней или корень (если он единственный) уравнения
промежутку
А) 4; 4,1


3. Корень уравнения
А)
 4;  2
B)
 0, 2; 0,3
C)
2
x4
1
 2
 2
x  4 x  2x x  2x
E)
4 x 2  22 x  24
 x 1
x4
D)
5,6; 5,7 
8; 10
принадлежит
E)
3, 4; 3,5 
E)
6,5; 8

принадлежит промежутку
2
B)
1,6; 1,7 
3; 6 
 1; 1
C)
1,5; 3,5
D)
3,5; 6



4. Произведение корней уравнения x  8x  2x  16  0 равно
А) 32
B) – 24
C) 16
D) 12
E) – 16
3
5. Среднее арифметическое всех действительных корней уравнения  x  1 x  3  1  x  x  13  56  x  1
равно
А) – 2
B) 1
C) – 1
D) 1 13
E) 23
3
6. Произведение корней уравнения
А)
 16
3
2


2  x  2   x 2  4  3 x  6 
2
B) 4
C)
равно
16
3
D)
8
3
E)
7. Среднее арифметическое всех действительных корней уравнения x3  3x  2  0 равно
А) 12
B) 13
C) 0
D)  12
E)
8. Найдите сумму корней или корень (если он единственный) уравнения
3( x 2  4) 
6
 17
x2  4
1
3
10
x(3  x)

1
2
2
1


x7 x9 x9 7 x
А) – 2
B) – 16
C) 14
D) 19
8
4
9. Найдите произведение корней уравнения x  18x  19  0
А) – 19
B)  19
C) 4 19
D) 19
2
2
10. Произведение корней уравнения  x  2 x  2  x  2 x  2   5 равно
А) 3
B) 4
C) – 3
D) – 4
11. Произведение корней уравнения
8
3
E) 3
E) 19
E) 12
равно
А) – 2
B) 2
C) 4
D) – 4
12. Найдите произведение корней уравнения  x 2  5 x  6  x 2  9 x  20   8
А) 8
B) 14
C) 49
D) 112
1
1
13. Сумма кубов действительных корней уравнения 3  3   1 равна
E) 6
А) 11
B) – 11
C) – 13
14. Найдите произведение корней уравнения 1 
D) 13
E) 12
D) –350
E) –10
x 7
x( x  5)
А) –2,5
B) 2,5
C)
x 6
4
 2 x  5
2
30
2

7
 175
8
15. Найдите сумму корней или корень (если он единственный) уравнения x 2 
А) 7
B) 5
C) 6
D) –6
16. Найдите сумму корней или корень (если он единственный) уравнения
4x
3x
 2
1
2
4 x  8 x  7 4 x  10 x  7
А) – 4
B) 4
C)  25
D) 25
4
4
17. Найдите произведение корней уравнения
E) корней нет
x3  3x 2  11x  26
1
x2  2x  8
1 5x2  5

40
x2
x
E) –7
E) –6
18. Найдите сумму модулей корней уравнения  x  5  x 2  4 x  20   3x 2  15 x
19. Найдите произведение корней уравнения
x3  3x 2  12 
5
5
 4x 
x2
2 x
20. Найдите натуральный корень уравнения  x 2  27   5  x 2  27  x 2  3  6  x 2  3  0
2
2
21. Найдите сумму целых корней уравнения  x  6  ( x  4)  x 2  5 x  6   40 x 2
Рациональные неравенства
1. Сколько целочисленных решений имеет неравенство
( x  1)( x  3)( x  5)
0
2x  1
А) 1
B) 2
C) 3
D) 4
3x  1
1
2. Найти среднее арифметическое целых решений неравенства
E) 5
А) – 2
B) – 1
C) 0
D) 1
3. Сколько натуральных чисел являются решением неравенства  x  3  x 2  6 x  8  0
А) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 2
3  5x
4. Решение неравенства
А)


x  1; 1
x  4x  4
0
1  x2
2
B) x  2,
E) 5
имеет вид
x  1
C) x  1,
x2
D) 1  x  1,
x2
E)
x  1, x  1
E)
x  5, x  4
5. Решение неравенства  x  4 3  x 2  10 x  25   x  4 3  5  x  имеет вид
А)
x  4, x  5
B)
x  4; 5


C)
6. Укажите число целых решений неравенства
А) 4
B) 3
x5
D)
x2  6x  9
 1 ,
 x  3 x  2 
B) 3
D) 1
20  x  x
0,
24 x  2 x 2  x 3
2
C) 2
B) 7
E) бесконечно много
D) 5
x 3  12 x 2  35x 1

0
x 2  11x  30 6  x
C) 17
10. Укажите число целых решений неравенства
E) 6
3
18 x
 x 


 
x

3
x

3


 x  32  x  3
C) 6
B) 18
принадлежащих промежутку
2
9. Найдите сумму всех целых решений неравенства
А) 12
E) 5
D) 5
8. Найдите количество целых решений неравенства
А) 4
принадлежащих отрезку  3;4
C) 2
7. Найдите количество целых решений неравенства
 14;5
А) 4
x  4, x  5
D) 10
x 9
2

E) 28
2
 x  5 x  7  x  7
А) 1
B) 2
C) 3
D) 4
x4
11. Областью определения функции y  x  3  2
является множество
x 4
А)
 
3;  2  2; 


B)
 
4;  2  2; 


C)
3; 2

12. Найдите наибольшее целое решение неравенства
13. Найдите сумму целых решений неравенства

x
D)
 
2; 2
5x  4
2

 10 x  24 x  6 x  5
1  x  x  7 
x5
2
0
2
E) бесконечно много


E)
1
x 2  11x  30
4;  2


14. Найдите наибольшее целое решение неравенства
( x  2)( x 2  x  6)
0
x3  4 x
15. Укажите наибольшее целое решение неравенства
64
 x2  4x
x2  4x
16. Укажите наименьшее целое решение неравенства
( x  2)( x  5) x  6

( x  2)( x  5) x  6
17. Найдите сумму целых решений неравенства  x  1 x  2 x  3 x  4  3
18. При каких значениях параметра а при любых х выполняется неравенство
А)
 6; 0 
0; 2
B)
C)
 
6; 2
D)

x 2  ax  1
1
2x2  2x  3
 
;  6  2; 
E)
19. Найдите значение параметра а, при котором наибольшее отрицательное решение неравенства
ax  6
 7 равно –3.
x
Ответы «Рациональные уравнения»
1
B
2
C
3
D
4
E
5
C
6
C
7
C
8
A
9
B
10
C
11
A
12
A
13
C
14
A
15
С
16
В
17 18
– 9 14
19 20
–6 3
21
4
Ответы «Рациональные неравенства»
1
E
2
B
3
D
4
D
5
E
6
A
7
A
8
D
9
C
10
B
11
A
12
0
13
– 16
14
1
15
5
16 17
– 6 –10
18
С
19
–5
Комментарии к задачам.
8. ОДЗ данного уравнения
x  7, x  9 и
1
2

 0,
x7 x9
т.е.
x  7, x  9 и x  5 .
12. Разложим на множители:  x 2   x 3  x 4   x 5   8  и преобразуем уравнение, перемножив крайние
и внутренние скобки  x 2  7 x  10  x 2  7 x  12   8 . Обозначим y  x2  7 x  10 . Тогда получим уравнение
y ( y  2)  8  y 2  2 y  8  0 , корни которого
совокупности
уравнений
x  7x  8  0
.
 2
 x  7 x  14  0
2
y1  4 и
Первое
y2  2 . Исходное уравнение равносильно
уравнение
имеет
иррациональные
корни,
произведение которых по теореме Виета равно x1 x2  8 . Второе уравнение корней не имеет.
Следовательно, произведение корней уравнения равно 8. Аналогично решается неравенство № 17.
15. Данное уравнение является симметрическим уравнением 4–ой степени, приводимым к
квадратному. Для этого разделим вторую дробь уравнения почленно на x и сгруппируем слагаемые
1
1
 2 1  
2
 x  2   5  x    4  0 . Сделаем замену t  x  . Тогда получаем t  5t  6  0  t1  6 и t2  1 .
x
x  
x

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

1
x  x  6

.
1

 x  x  1
Таким образом,
находим
корни исходного уравнения x1,2  3  2 2 , второе уравнение совокупности корней не имеет.
Следовательно, сумма корней равна 6.
16. Заметим, что x  0 не является корнем данного уравнения. Поделим числитель и знаменатель
4x
3x
7
4
3
x
 2 x
1,

 1 . Пусть t  4 x  10  ,
каждой дроби на х:
2
7
7
4 x  8 x  7 4 x  10 x  7
x
4x  8 
4 x  10 
x
x
x
x
2
2
4t  3(t  2)  t  2t , t  5t  6  0,
4
3
 1, 
тогда уравнение имеет вид
 t1  1 и t2  6 .

t2 t
t  0, t  2
t  0, t  2
Исходное уравнение равносильно совокупности
7

 4 x  x  10  1
уравнений 
 4 x  7  10  6

x

4 x2  9 x  7  0
.
 2
 4 x  16 x  7  0
Первое
уравнение корней не имеет, сумма корней второго уравнения по теореме Виета равна 4.
21. Разложим вторую скобку на множители  x  6 ( x  4)  x  3 ( x  2)  40x2 и перемножим выражения в
крайних и средних скобках
12
12 


 x   4  x   1  40 .
x
x



x
2


 4 x  12 x 2  x  12  40 x 2 .
Введем новую переменную
Разделим обе части уравнения на
t  x
12
1,
x
t2  5 . Исходное уравнение равносильно совокупности
получим
x
2
, получим
t 2  3t  40  0  t1  8 и
 12
 x   1  8
уравнений  x
 x  12  1  5

x

 x 2  9 x  12  0
.
 2
 x  4 x  12  0
Первое уравнение имеет иррациональные корни. Второе уравнение имеет корни x1  6 и x2  2 .