Пусть - корни многочлена . Вычислить а) б) . Корнями какого

1.
2.
Пусть
x1 , x2 - корни многочлена x 2  px  q . Вычислить
Корнями какого квадратного трехчлена являются числа
x 2  px  q и x 2  rx  s с корнями
результант R  ( x1  y1 )( x1  y2 )( x2  y1 )( x2  y2 ) .
3.
Для многочленов
4.
Пусть
а)
11 72 и
x1 , x2 и
Пусть
б)
1
1

.
2
( x1  p) ( x2  p) 2
11 72 ?
y1, y2
соответственно вычислить их
x1 , x2 - корни квадратного трехчлена x 2  px  q .
Корнями какого квадратного трехчлена являются числа x1 
5.
x1
x
 22
2
x2
x1
1
1
и x2 
?
x2
x1
n
n
x1 , x2 - корни многочлена ax 2  bx  c , Sn  x1  x2 .
Доказать равенство
aSm1  bSm  cm1  0, m  1 .
6.
Сколько действительных корней имеет уравнение ( x  a)( x  b)  ( x  b)( x  c)  ( x  c)( x  a)  0 ?
7.
Сколько действительных корней имеет уравнение c( x  a)( x  b)  a( x  b)( x  c)  b( x  c)( x  a)  0 ?
8.
Можно ли многочлен
9.
Найти сумму коэффициентов многочлена 2007 степени:
R( x, y)  a  bx  cy  dxy  ex 2  fy2  hx 4  gy 4  ix 2 y 2  jxy3  kx3 y
представлен в виде произведения двух многочленов R( x, y )  P( x)Q( y ) ?
10. Найти такое целое
а , что многочлен
быть
P( x)  (1  3x  2 x 2 )1003(1  3x  2 x 2 )1004 .
( x  a)( x  10)  1 разлагается в произведение ( x  b)( x  c) с
целыми b, c .
11. Многочлен P( x)  a x n  a x n1  ...  a x  a имеет корни
0
1
n1
n
а)
P( x)  a0 x n  a1 x n1  a2 x n2  ...  (1) n1 an1 x  (1) n an ,
б)
P( x)  an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0 .
12. Сколько корней многочлена
единицу ?
x1 , x2 ,..., xn . Найти корни многочленов
2007 x 2007  1  x  x 2  ...  x 2006 по абсолютной величине превосходят
13. Сколько корней имеет многочлен x 2007  x1505  x1003  x 501  1 ?
14. Многочлены
x 2  px  q и x 2  rx  s имеют общий нецелый корень. Доказать, что p  r , q  s .
15. При каких целых
а уравнение x 2  (a  10) x  10a  1  0 имеет целый корень ?
16. Сформулируйте теорему Виеты для многочлена любой степени.
17. Могут ли многочлены
18. Многочлены
x 2  px  q и x 2  rx  s оба не иметь действительных корней, если pr  2(q  s ) ?
x 2  px  q и x 2  rx  s имеют по два корня на отрезке a, b .
Где могут лежать корни уравнения
2007 x 2  ( p  2006r ) x  (q  2006s) ?
19. Известно, что a 2  ab  ac  0 . Доказать, что b 2  4ac .
P( x)  ax 2  bx  c , и известно, что уравнение P( x)  x не имеет действительных корней.
Обязательно ли уравнение P( P(...( P( x))...))  x тоже не имеет действительных корней ?

20. Пусть
2007