Симметрия Клейнмана

КУБИЧНАЯ НЕЛИНЕЙНОСТЬ
(3)
 nm

i
t
ˆ ,  (2) ] exp[(i   )(t  t )] dt 
[
V
nm
nm
nm


E(t )   E( p ) exp( i pt )
p

(3)
nm
(2)
 nm

K


nm
exp[ i ( p  q )t ]
, p ,q
[dn E(r )]K ml  [d mE(r )]Kn l
 
exp[i( p  q  r )t ]
(nm   p  q  r )  i nm
 l , pqr
1
P(3) (p  q  r )  N  d(3) (p  q  r ) 
 d (3) (t )    d (3) ( p )  exp( i pt )
p
Pk(3) ( p  q  r ) 

hij ;( pqr )
(3)
 kjih
( p  q  r , r , q ,  p )E j (r ) Ei (q ) Eh ( p )
КУБИЧНАЯ НЕЛИНЕЙНОСТЬ
(3)
 kjih
( p  q  r , r , q ,  p ) 
N
Perm 
3
nm l
1
(nm   p  q  r )  i nm
k
 (0)
d mn
d nj di l d lmh
(0)
 (  mm   ll )

[( m   p  q )  i  m ][(lm   p )  i lm ]

k
i
d mn
d nj d lm
dhl
(0)
(0)
 (  ll   )

[( m   p  q )  i  m ][( l   p )  i  l ]
( 
k
d mn
djm d nli d lh
 )

[(n   p  q )  i n ][(l   p )  i l ]
( 
k

d mn
djm d li d nlh
 )

[(n   p  q )  i n ][(nl   p )  i nl ] 
(0)
(0)
ll
(0)
ll
(0)
nn
Perm – все перестановки частот( p , q , r )
и одновременно индексов декартовых координат (h,i,j).
Резонансы

Локальное поле Лоренца
На атомы действует не макроскопическое (усредненное по физически
бесконечно малым объемам) поле, а микроскопическое («действующее»)
поле. Для разреженных сред различие между этими полями отсутствует.
Для конденсированных сред связь между полями зависит от симметрии
кристалла. В простейшем случае (изотропные среды и некоторые классы
кристаллических решеток, см. Ч. Киттель. Введение в физику твердого тела)
Eloc 
 (1)  2
3
E
Тогда в выражении для нелинейной поляризуемости появляются множители
типа дроби на различных частотах.
Диаграммная техника для матрицы плотности:
О.В. Константинов, В.И. Перель. ЖЭТФ 39, 197 (1960)
Свойства нелинейной восприимчивости
Пример квадратичной нелинейности
Pi (2) ( p  q ) 

 ijk(2) ( p  q ,  p , q )E j (q ) Ek ( p )
jk ;( pq )
Взаимодействие волн с частотами
Нужно задать 6 тензоров
1 , 2 и 3  1  2
ijk(2) (3 , 1, 2 )
ijk(2) (3 , 2 , 1 )
ijk(2) (1, 2 , 3 )
ijk(2) (1, 3 , 2 )
 (2 , 1, 3 )
ijk(2) (2 , 3 , 1 )
(2)
ijk
.
+ 6 тензоров с изменением знака каждой частоты, итого 12 (комплексных) тензоров.
В каждом из тензоров 3x3x3 = 27 компонент.
Итого требуется знание 12 х 27 = 324 комплексных величин.
Необходимо привлечение дополнительных соображений для уменьшения числа этих величин.
Свойства квадратичной восприимчивости
Вещественность полей
Ei (t )  Ei (n ) exp( int )  Ei ( n ) exp(int )
Ei ( n )  Ei* (n )
Pi (t )  Pi (n  m ) exp[ i (n  m )t ]  Pi ( n  m ) exp[i (n  m )t ]
Pi ( n  m )  Pi * (n  m )
ijk(2) (p  q , p , q )  ijk(2) (p  q , p , q )*
Свойства квадратичной восприимчивости
Прозрачные среды (без поглощения)
Затухание
 mn  0  Im ijk(2)  0
Полная перестановочная симметрия (перестановка всех частотных аргументов одновременно с перестанов
индексов координат, например
(2)
ijk(2) (3  1  2 )   (2)
(






)


jki
1
2
3
jki (1  2  3 )
ijk(2) (3  1  2 )  kij(2) (2  3  1 )
Эти соотношения можно вывести и из выражения для плотности электромагнитной энергии
в прозрачной нелинейной среде.
Симметрия Клейнмана
Прозрачная среда, все частоты далеки от резонансных. Тогда частотная дисперсия слаба,
ею можно пренебречь. Для квадратичной нелинейности в изотропном варианте
P(t )   (2) E(t )2
С учетом анизотропии
Pi (t )    ijk(2) E j (t ) Ek (t )
jk
 (2)
не зависит от частоты.
Тогда можно переставлять частотные индексы независимо от индексов координат,
например
ijk(2) (3  1  2 )   (2)
jki (3  1  2 ) 
 ikj(2) (3  1  2 )   (2)
jik (3  1  2 ) 
(2)
(2)
  kij
(3  1  2 )   kji
(3  1  2 )
Сокращенная запись
Применяется, главным образом, в задаче генерации второй гармоники (ГВГ)
dijk 
1 (2)
ijk
2
dijk  dikj
Pi (n  m )  2

dijk E j (n ) Ek (m )
jk ( mn )
(симметрия Клейнмана или ГВГ)
d ijk  d il
jk
11
22
33
23, 32
31, 13
12, 21
l
1
2
3
4
5
6
Сокращенная запись
 d11 d12
dil   d 21 d 22
 d31 d32
Ввиду симметрии Клейнмана
d13
d14
d15
d 23
d33
d 24
d34
d 25
d35
d16 
d 26 
d36 
d12  d 26 , d14  d 25
Ввиду чего имеется только 10 независимых элементов
d il
Сокращенная запись
Для ГВГ
 Px (2 ) 
 d11 d12
 P (2 )   2  d
 y

 21 d 22
 Pz (2 ) 
 d31 d32
Генерация суммарной частоты3
 Px (3 ) 
 d11
 P ( )   4  d
 y 3 
 21
 Pz (3 ) 
 d31
 1  2
d12
d13
d14
d15
d 22
d 23
d 24
d 25
d32
d33
d34
d35
d13
d14
d15
d 23
d 24
d 25
d33
d34
d35


 E ( ) 2 
x


2

d16   E y ( )



2
d 26   Ez ( )

d36   2 E y ( ) Ez ( ) 
 2 Ex ( ) Ez ( ) 


2
E
(

)
E
(

)
 x

y




E
(

)
E
(

)
x
1
x
2



E y (1 ) E y (2 )
d16  



d 26  
Ez (1 ) Ez (2 )

d36   E y (1 ) Ez (2 )  Ez (1 ) E y (2 ) 
 Ex (1 ) Ez (2 )  Ez (1 ) Ex (2 ) 


 Ex (1 ) E y (2 )  E y (1 ) Ex (2 ) 
Эффективная нелинейная восприимчивость
При фиксировании направления распространения и поляризации излучения для генерации сумарной ча
3  1  2
P(2)  2deff E()2
Для ГВГ
Величина
P(3 )  4d eff E (1 ) E (2 )
d eff
выражается через нелинейные восприимчивости и углы,
указывающие направление распространения и поляризации,
в зависимости от симметрии кристалла.
Характерные значения
d il ~ (1  103 )  109 CGSE
Симметрия кристаллов
Ч. Киттель. Введение в физику твердого тела.
Ф. Цернике, Дж.. Мидвинтер. Прикладная нелинейная оптика.
-свойство идеальных кристаллов совмещаться с собой при параллельных переносах, поворотах,
отражениях или части или комбинации этих операций.
Если F(r) – функция, описывающая какое-либо свойство объекта, а операция g(r) осуществляет
преобразование
координат всех точек объекта, то g является операцией или преобразованием симметрии, а F –
симметричным
g (r )  r, F (r )  F (r)
объектом, если
Трансляционная симметрия для трехмерных кристаллов
T = na +mb + kc, n, m, k – целое число.
Элементарная ячейка – параллелепипед
b
с
 а
b
Применение к элементарной ячейке трансляции
покроет все пространство.
Примитивная ячейка – частный случай элементарной
ячейки, ее узлы – все точки решетки
Симметрия трехмерных кристаллов
7 кристаллических систем (в зависимости от соотношений между
длинами ребер элементарной ячейки и углами между ними),
14 решеток Браве,
32 точечных группы
Элементы симметрии точечных групп
Оси, n = 1, 2, 3, 4, 6.
Плоскости зеркального отражения (в плоскости через точки решетки),
m.
r  r (инверсия),
Центр симметрии, совпадение кристаллической структуры при
1
Инверсионно-поворотные оси: совпадение кристаллической структуры с исходной после
поворота вокруг оси и последующей инверсии,1,2  m, 3,4,6
Международные обозначения для точечных групп
Ось (1, 2, 3, 4, 6-го порядков)
X
Инверсионно-поворотная ось
Ось и перпендикулярная
отражения
X
к
ней
плоскость
X/m или
Ось и перпендикулярная к ней двойная ось (одна
или более)
X2
Ось и параллельная ей плоскость отражения
(одна или более)
Xm
Инверсионно-поворотная ось и перпендикулярная
к ней двойная ось (одна или более)
X2
Инверсионно-поворотная ось и параллельная ей
плоскость отражения (одна или более)
Xm
Ось и плоскости отражения – перпендикулярная и
параллельная оси
Четырнадцать решеток Браве
P – примитивная ячейка (в том числе R)
C – с центрированными основаниями
I – объемноцентрированная
F – гранецентрированная
X
m
( X /m)m или
X
m
m
Симметрия кристаллов
Система
Триклинная (Р)
a  b  c,   b  
Моноклинная (P, C)
a  b  c,      / 2  b
Ромбическая (P, C, I, F)
a  b  c,   b     / 2
Тетрагональная (P, I)
a  b  c,   b     / 2
Тригональная (R - ромбоэдр)
a  b  c,   b    2 / 3,   / 2
Гексагональная (Р)
a  b  c,   b   / 2,   2 / 3
Кубическая (P, I, F)
a  b  c,   b     / 2
Краткое обозначение
1, 1
2, m, 2/m
222, mm2, mmm
Полное обозначение
1, 1
2, m,
2
m
222, mm2,
2 2 2
m m m
4
4, 4 , 4/m, 422, 4mm,
4, 4 ,
, 422, 4mm,
m
4 2m, 4/mmm
4 2 2
4 2m,
m m m
2
3, 3 , 32, 3m, 3 m
3, 3 , 32, 3m, 3
m
6, 6 , 6/m, 622, 6mm, 6, 6 , 6 , 622, 6mm,
m
6 m2, 6/mmm
6 2 2
6 m2,
m m m
2
23, m3, 432, 4 3m,
3 , 432, 4 3m,
23,
m3m
m
2
4
3
m m
Симметрия
кристаллов
Система
Класс кристалла
Триклинная
1
1
2
Моноклинная
m
Ромбическая
Тетрагональная
2/m
222
mm2
mmm
4
4
Тригональная
4/m
422
4mm
4 2m
4/mmm
3
3
32
Симметрия
1
(инверсия).
3m
3m
Гексагональная
6
6
E  E, P  P   (2)  0
Кубическая
6/m
622
6mm
6 m2
6/mmm
23
m3
432
4 3m
m3m
Ненулевые элементы  (2)
Все элементы различны и  0
Все элементы = 0
xyz, xzy,xxy, xyx, yxx, yyy, yzz, yzx, yxz, zyz,
zzy, zxy,zyx
xxx, xyy, xzz, xzx,xxz,yyz, yzy, yxy, yyx, zxx,
zyy, zzz, zzx, zxz
Все элементы = 0
xyz, xzy, yzx, yxz, zxy, zyx
xzx, xxz, yyz, yzy, zxx, zyy, zzz
Все элементы = 0
xyz= - yxz, xzy= - yzx, xzx=yzy, xxz=yyz,
zxx=zyy, zzz, zxy= - zyx
xyz=yxz, xzy=yzx, xzx= - yzy, xxz= - yyz,
zxx= - zyy, zxy=zyx
Все элементы = 0
xyz= - yxz, xzy= - yzx, zxy= - zyx
xzx=yzy, xxz=yyz, zxx=zyy, zzz
xyz=yxz, xzy=yzx, zxy=zyx
Все элементы = 0
xxx= - xyy= - yyz= - yxy, xyz= - yxz, xzy=
= - yzx, xzx=yzy, xxz=yyz, yyy= - yxx=
= - xxy= - xyx, zxx=zyy, zzz, zxy= - zyx
Все элементы = 0
xxx= - xyy= - yyx= - yxy, xyz= - yxz, xzy=
= - yzx, zxy= - zyx
xzx=yzy, xxz=yyz, zxx=zyy, zzz, yyy= - yxx=
= - xxy= - xyx
Все элементы = 0
xyz= - yxz, xzy= - yzx, xzx=yxy, xxz=yyz,
zxx=zyy, zzz, zxy= - zyx
xxx= - xyy= - yxy= - yyx,
yyy= - yxx= - xyx= - xxy
Все элементы = 0
xyz=-yxz, xzy= - yxz, zxy= - zyx
xzx=yzy, xxz=yyz, zxx=zyy, zzz
yyy= - yxx= - xxy= - xyx
Все элементы = 0
xyz=yzx=zxy, xzy=yxz=zyx
Все элементы = 0
xyz= - xzy=yzx= - yxz=zxy= -zyx
xyz=xzy=yzx=yxz=zxy=zyx
Все элементы = 0