Упражнения к лекции 1. Интегралы движения как генераторы симметрии По аналогии с классической механикой, обобщенный импульс в теории поля можно записать, как R δ d3 ~y L(φk (~y , t), ∂µ φk (~y , t)) , (0.1) πi (~x, t) = δ φ̇i (~x, t) где мы используем, что δ φ̇k (~x, t) = δik δ(~x − ~y ). δ φ̇i (~y , t) (0.2) Далее, по опять же по аналогии с классической механикой, мы вводим скобку Пуассона Z X δF δG δF δG 3 {F (φk (~x, t), πk (~x, t)), G(φk (~y , t), πk (~y , t))} = d z − (0.3) δφ (~ z , t) δπ (~ z , t) δπ (~ z , t) δφ (~ z , t) i i i i i и подразумеваем, что δφk (~x, t) = δik δ(~x − ~y ), δφi (~y , t) δπk (~x, t) = δik δ(~x − ~y ), δπi (~y , t) δφk (~x, t) δπk (~x, t) = = 0. δπi (~y , t) δφi (~y , t) (0.4) {φi (~x, t), πj (~y , t)} = δij δ(~x − ~y ). (0.5) Легко проверить, что {φi (~x, t), φj (~y , t)} = {πi (~x, t), πj (~y , t)} = 0, Общее утверждение заключается в том, что интегралы движения (заряды) Z dQ Q = d3~xJ 0 (~x, t), = 0, ∂µ J µ = 0 dt (0.6) генерируют симметрию (из которой они по теореме Нетер были вычисленны ), а именно {φi (~x, t), Q} = δφi (~x, t), (0.7) где инфинитезимальное преобразование симметрии есть φ0i (x) = φi (x) + δφi (x). Упражнение 1. Проверьте (0.7) для комплексного скалярного поля (U (1) симметрия). Решение 1. Как мы уже знаем U (1) сохраняющийся ток j µ = i(φ∂ µ φ∗ − φ∗ ∂ µ φ) (0.8) соответствует симметрии φ0 (x) = eiα φ(x), что при инфинитезимальном α запишется как δφ = iφ, δφ∗ = −iφ∗ C другой стороны сохраняющийся заряд равен Z Q = i d3~x(πφ − φ∗ π ∗ ). 1 (0.9) (0.10) Тогда находим, Z δφ(~x, t) δQ δφ(~x, t) δQ δφ(~x, t) δQ δφ(~x, t) δQ 3 {φ(~x, t), Q} = d z − + − = δφ(~z, t) δπ(~z, t) δπ(~z, t) δφ(~z, t) δφ∗ (~z, t) δπ ∗ (~z, t) δπ ∗ (~z, t) δφ∗ (~z, t) Z Z δQ δQ δQ δφ(~x, t) 3 3 = dz δ(~x − ~z) = = = dz δπ(~z, t) δφ(~z, t) δπ(~z, t) δπ(~x, t) R δ i d3 ~y (π(~y , t)φ(~y , t)) − φ∗ (~y , t)π ∗ (~y , t)) = = iφ(~x, t). (0.11) δπ(~x, t) Аналогично найдем, что {φ∗ (~x, t), Q} = −iφ∗ (~x, t). Упражнение 2. Проверьте, на примере скалярного поля, что Гамильтониан генерирует сдвиги по времени: {φ(~x, t), H} = φ̇(~x, t) Решение 2. Для Гамильтониана имеем Z 1 1 1 (0.12) H = d3~x π 2 + (∇φ)2 + m2 φ2 , 2 2 2 тогда Z δφ(~x, t) δH δφ(~x, t) δH δH 3 {φ(~x, t), H} = d z − = = π(~x, t) = φ̇(~x, t). (0.13) δφ(~z, t) δπ(~z, t) δπ(~z, t) δφ(~z, t) δπ(~x, t) Откуда мы получили, что Гамильтониан генерирует сдвиги по времени. Это не удивительно, так как Гамилтониан это по сути заряд Z H = d3~x T 00 (~x, t), (0.14) получающийся из компоненты тензора энергии импульса T µ0 . Упражнение 3. Проверьте, на примере скалярного поля, что импульс генерирует пространственные сдвиги: {φ(~x, t), P~ } = −∇φ(~x, t) Решение 3. Для импульса имеем Z Z i 3 0i P = d xT = − d3~x π(~x, t)∂i φ(x, t), (0.15) тогда {φ(~x, t), P~ } = Z d3 z δφ(~x, t) δ P~ δφ(~x, t) δ P~ − δφ(~z, t) δπ(~z, t) δπ(~z, t) δφ(~z, t) ! = δ P~ = −∇φ(~x, t). δπ(~x, t) (0.16) Упражнение 4. Проверьте, на примере скалярного поля, что момент импульса генерирует пространственные повороты: {φ(~x, t), Lk } = −ijk xi ∂j φ(~x, t) Решение 4. Для момента импульса имеем (см. Листок 1) Z Z 1 1 3 i 0j j 0i Lk = ijk d ~x(x T − x T ) = ijk d3~xπ(~x, t)(xi ∂ j φ(~x, t) − xj ∂ i φ(~x, t)) (0.17) 2 2 тогда Z δφ(~x, t) δLk δφ(~x, t) δLk δLk 1 3 {φ(~x, t), Lk } = d z − = = ijk (xi ∂ j − xj ∂ i )φ(~x, t) = δφ(~z, t) δπ(~z, t) δπ(~z, t) δφ(~z, t) δπ(~x, t) 2 i j = ijk x ∂ φ(~x, t). (0.18) 2