Натуральные числа. Исторические сведения (5 класс)

МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 107»
Урок по математике
по теме: «Натуральные числа. Исторические сведения»
5 класс
Составила:
учитель математики
Володина С. Ю.
г. Новокузнецк 2011
Раздел
Делимость натуральных чисел
Тема урока Натуральные числа. Исторические сведения.
Цели:
Дидактическая
повторение, обобщение и систематизация знаний.
Развивающая
развитие речи учащихся, умения обобщать и систематизировать; развитие
познавательных интересов.
Воспитательная воспитание ответственности, дисциплинированности, умения работать в
команде; стимулирование интереса к учению.
Методическая
методика проведения урока обобщающего повторения в 5 классе с использованием игровой ситуации и информационных технологий для повышения уровня мотивации.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Вид урока: урок-игра с элементами соревнования (игровой замысел: проверка экспертами результатов возведения фундамента зданий в стране чисел).
Оборудование: карточки с заданиями, таблицы для оценки результатов экспертами, интерактивный комплекс с подключением к Интернет, мультимедийная презентация, эпиграф урока.
Межпредметные связи: история.
Методы и формы организации деятельности: беседа, устная фронтальная работа, заслушивание сообщений, работа в группах, индивидуальная самостоятельная познавательная деятельность.
Эпиграф урока: Счет и вычисления - основа порядка в голове. (Песталоцци)
Структура урока
1. Организационный этап.
4 мин
Подготовка к работе на уроке, мотивационная беседа с постановкой цели и задач урока
(игровой замысел).
Дидактическая задача: Организовать познавательную деятельность учащихся, стимулировать познавательный интерес.
2. Игровые действия, включающие актуализацию опорных знаний и познавательное
содержание.
38 мин
Дидактическая задача: повторить определение и способы записи натуральных чисел; закреплять умения выполнять устно и письменно арифметические действия с натуральными
числами, применять законы арифметических действий для упрощения вычислений; повторить
и закрепить умения находить набольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
1) Устная работа – повторение основных фактов на основе систематизации. 13 мин
2) Сообщения учащихся.
9 мин
3) Выполнение упражнений – работа в группах.
16 мин
3. Подведение итогов урока. Домашнее задание.
3 мин
Дидактическая задача: сообщить и разъяснить домашнее задание; подвести итоги соревнования групп, проанализировать результат, объявить оценки.
Ход урока
1. Организационный этап.
4 мин
1) Демонстрация видеоролика.
2) Мотивационная беседа: Ребята, вы уже начали строительство в стране чисел и закончили
возведение фундамента зданий. Сегодня эксперты проверят, насколько прочный фундамент
возведен, и оценят вклад каждой бригады. Эксперты прошли дополнительную подготовку, поэтому в ходе проверки они выступят перед вами и сообщат новую информацию.
3) Представление экспертов (3 сильных ученика класса).
2. Игровые действия, включающие актуализацию опорных знаний и познавательное
содержание.
1) Устная фронтальная работа
3 мин
1. Какие числа называют натуральными?
2. Как записывают натуральные числа?
3. Прочитайте число 760 198 235 051 и ответьте на вопросы:
-Назовите классы числа
-Назовите старший разряд числа
- Какая цифра стоит в разряде миллиардов, десятков миллионов, тысяч, единиц?
- В каких разрядах стоит цифра 5, 1?
- Какие разряды отсутствуют в записи числа?
2) Сообщение ученика о системах счисления.
4 мин
3) Устная фронтальная работа
4 мин
1. Какие действия можно производить с натуральными числами?
2. В каком порядке выполняют действия?
3. Вычислите, выберите правильный ответ и заполните таблицу (в результате ученики
прочитают слово энциклопедия).
О. (28 - 14) : 2; К. (З9 + З8) : 7; Н. 22 - 36 : 3; П. 17 + 8 + 23; Ц. (12 · 4 + 3) : 3;
Л. 4 ·18 - 64; Д. 7 ·14 - 58; И. 56 : 8 + 5; Е. 13 ·6 - 24; Я. 12 ·6 - 2; Э. 5 ·14 - 35 ·2.
0
10 17 12 11
8
7
48 54 40 12 70
4) Выполнение упражнений – работа в группах.
Вычислите: а) 20 387 : (723 − 694) + 403 ⋅ 207,
7 мин
б) 33  52 .
5) Устная фронтальная работа
2 мин
Можно ли изменять порядок выполнения действий? В каких случаях?
Перечислите известные вам законы арифметических действий.
6) Выполнение упражнений – работа в группах.
Вычислите удобным способом: а) 49 ⋅ 57 + 49 ⋅ 43,
г) 337 + 671 + 563.
7) Устная фронтальная работа
4 мин
б) 87 ⋅ 38 − 87 ⋅ 28, в) 61 ∙ 125 ∙ 4,
4 мин
Повторим подробнее действие деления:
1. Назовите компоненты действия.
2. Как называют число p, в случае, если оно делится на q нацело?
3. Как в этом случае называют число q?
4. Какие числа называют простыми, а какие составными?
5. Найдите НОД и НОК чисел: 24 и 48, 21 и 63, 13 и 5. Объясните.
6. Как найти НОД и НОК чисел в общем случае?
8) Выполнение упражнений – работа в группах.
5 мин
Найдите НОД и НОК чисел 540 и 225.
9) Сообщения учеников
5 мин
1. Делимость натуральных чисел. Исторические сведения.
2. Решето Эратосфена.
Демонстрация алгоритма нахождения простых чисел из Интернет-ресурсов
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8c/New_Animation_Sieve_of_Eratosthenes.gif или
http://ru.wikipedia.org/wiki/Решето_Эратосфена
3. Подведение итогов урока. Домашнее задание.
3 мин
1. Запись и комментирование домашнего задания.
2. Подведение итогов.
Приложение 1
Сообщения учащихся
1. Системы счисления.
У разных народов в разное время употреблялись различные системы счисления (нумерации).
У первобытных народов не существовало развитой системы счисления. Еще в XIX веке у многих племен Австралии и Полинезии было только два обозначения - для числа «один» И для
числа «два». Эти обозначения они комбинировали. Число «три» они называли «два и один»,
число «четыре» - «два и два», число «пять» - «два, два и один», число «шесть» - «два, два и
два». А числа, большие шести, они не различали и называли словом «много».
Египтяне за 3000 лет до нашей эры уже применяли, в сущности, десятичную систему счисления. В настоящее время во всем мире широко пользуются десятичной системой счисления,
которая более совершенна. Для записи чисел используют цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Для обозначения десятков, сотен и т. д. не нужны новые значки, так как те же цифры используют и для
записи десятков, сотен и т. д. Одна и та же цифра имеет различные значения в зависимости от
места (позиции), где она записана. Благодаря этому свойству современную систему счисления
называют позиционной. Десятичная позиционная система счисления позволяет записывать
сколь угодно большие натуральные числа.
Народы пришли к этой системе постепенно. Она зародилась в Индии в V веке. В IX веке ею
уже владели арабы, в Х веке она дошла до Испании, а в ХII веке появилась в их странах Европы, но широкое распространение получила в XVI веке. Долгое время развитие позиционной
системы счисления тормозилось отсутствием в ней числа и цифры нуль. Только после введения нуля система стала совершенной.
В России десятичная система счисления начала распространяться в ХVII веке. В 1703 году
был издан первый печатный учебник математики - «Арифметика» Л. Ф. Магницкого, в котором все вычисления велись в десятичной системе записи чисел.
В некоторых странах использовались системы счисления с другими основаниями - 5, 12, 20,
60. Например, древняя вавилонская система счисления была шестидесятеричная. Следы этой
системы сохранились сейчас в единицах измерения времени: 1 ч=60 мин, 1 мин=60 с.
Примером непозиционной системы счисления без нуля может служить римская система. В
ней числа записывают с помощью следующих цифр:
I=1, V=5, Х=10, L=50, С=100, D=500, М=1000.
Римскую систему нумерации используют и сейчас для обозначения веков, глав в книгах и т. п.
В электронно-вычислительных машинах используется двоичная система счисления, в которой всего две цифры 0 и 1.
2. Делимость натуральных чисел. Исторические сведения.
В старину на Руси говорили: « Умноженье - мое мученье, а деление - беда». Тот, кто умел
быстро и безошибочно делить, считался большим математиком - ведь в школах тогда учили
только сложению, вычитанию и таблице умножения.
Делимость натуральных чисел интересовала математиков уже в глубокой древности. Особое
внимание они уделяли простым числам. Ведь эти числа входят множителями в любое составное
число - «составляют» его. Поэтому очень важно узнать тайны простых чисел - сколько их, как
они распределены в натуральном ряду и т. д.
В книге «Начала» древне-греческого ученого Евклида(III в. до н. э.) доказано, что простых
чисел бесконечно много. В этой же книге указан способ (алгоритм) нахождения НОД двух
натуральных чисел.
С древнейших времен математики пытались понять, как расположены простые числа в натуральном ряду, и найти общую формулу для нахождения простых чисел. Но общей формулы
простых чисел пока не найдено.
Великий математик академик Петербургской Академии наук Л. Эйлер (1707-1783) уделял
большое внимание вопросам делимости. Эйлер рассматривал и такую задачу: «Определить,
сколько простых чисел содержится между двумя данными натуральными числами, не пересчитывая их непосредственно». Этой задачей в дальнейшем занимались многие крупные математики всего мира.
Большой вклад в ее решение внес великий русский математик академик П. Л. Чебышев
(1821-1894), доказавший, в частности, что между числами n и 2n (n> 1) имеется по крайней
мере одно простое число.
Эйлер более двухсот лет назад сформулировал гипотезу, называемую проблемой Эйлера:
«Доказать, что каждое четное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел». Проблема Эйлера не решена до настоящего времени.
3. Решето Эратосфена.
Во II веке до нашей эры древнегреческий математик - Эратосфен предложил довольно легкий способ отыскания простых чисел.
Немного изменяя способ Эратосфена, запишем числа от 1 до 100 в таблицу по 6 чисел в
строке. 1 не простое число и не составное - вычеркнем его.
Число 2 простое - выделим его, а все числа, кратные ему (они стоят во втором, четвертом и
шестом столбцах), вычеркнем.
Первое из незачеркнутых чисел 3. Оно простое - выделим его, а все незачеркнутые числа,
кратные ему (они стоят в третьем столбце), вычеркнем.
Теперь первое из незачеркнутых чисел 5. Оно простое - выделим его, а все незачеркнутые
числа, кратные ему (они расположены на параллельных прямых), вычеркнем.
После вычеркивания из таблицы чисел, кратных 7 (они также расположены на параллельных
прямых), в ней останутся только простые числа - они тоже выделены.
Аналогичные рассуждения можно провести, если взять больше 100 чисел. При этом в таблице как бы просеиваются составные числа и остаются только простые.
Эратосфен записывал свою таблицу на папирусе, натянутом на рамку, и составные числа
прокалывал. Получалось своеобразное числовое сито, через которое составные числа просеивались, а простые оставались. Поэтому таблицу и сам способ стали называть «решетом» Эратосфена. Он позволяет сократить объем работы при составлении таблицы простых чисел.
Приложение 2
Таблица результатов
№
1
2
3
4
5
ФИ
Устная работа
1 задание
2 задание
3 задание
Общий
балл
Место
Личный
балл
Оценка