Графы Комбинаторика

Графы
Комбинаторика
Планеты

Между девятью планетами солнечной
системы установлено космическое
сообщение. Рейсовые ракеты летают по
следующим маршрутам: Земля –
Меркурий; Плутон – Венера; Земля –
Плутон; Плутон – Меркурий; Меркурий –
Венера; Уран – Нептун; Нептун – Сатурн;
Сатурн – Юпитер; Юпитер – Марс и Марс
– Уран. Можно ли долететь на рейсовых
ракетах с Земли до Марса ?
Телефоны

В городе Маленьком 15 телефонов.
Можно ли их соединить проводами
так, чтобы каждый телефон был
соединен ровно с пятью другими ?
Города

В стране Семерка 15 городов,
каждый из городов соединен
дорогами не менее, чем с семью
другими. Докажите, что из каждого
города модно добраться в любой
другой.
Дороги

В государстве 100 городов к из
каждого города выходит 4 дороги.
Сколько всего дорог в государстве.
Сколько дорог?

В государстве 100 городов, из
каждого выходит 2 дороги, кроме
столицы, откуда выходит 5 дорог и
города Горный, откуда выходит одна
единственная дорога. Сколько всего
дорог в государстве?
Кто играет Тяпкина-Ляпкина








В школьном драмкружке решили ставить гоголевского
«Ревизора». И тут разгорелся жаркий спор. Все началось с
Ляпкина-Тяпкина.
Ляпкиным-Тяпкиным буду я! – решительно заявил Гена.
Нет, я буду Ляпкиным-Тяпкиным, - возразил Дима, - с
раннего детства мечтал воплотить этот образ на сцене.
Ну, хорошо, согласен уступить эту роль, если мне дадут
сыграть Хлестакова, - проявил великодушие Гена.
. . . А мне – Осипа, - не уступил ему в великодушии Дима.
Хочу быть Земляникой или Городничим, - сказал Вова.
Нет, Городничим буду я, - хором закричали Алик и Боря. –
Или Хлестаковым, добавили они одновременно.
Удастся ли распределить роли так, чтобы исполнители
были довольны?
Алгоритм Флойда





Построим матрицу D0 размерности |V| x
|V|, элементы которой определяются по
правилу:
dii0= 0;
dij0= Weight(vi, vj), где i<>j, если в графе
существует ребро (дуга) (vi, vj);
dij0= бесконечность , где i<>j, если нет
ребра (дуги) (vi, vj).
m=0
Пример
V2
5
V1
2
3
V3
3
3
2
V5
2
V4
1
V1
V2
V3
V4
V5
V1
0
х
3
3
2
V2
5
0
х
х
х
V3
х
2
0
х
3
V4
х
х
2
0
х
V5
х
х
х
1
0
Основная часть алгоритма
1.
Построим матрицу Dm+1 по Dm, вычисляя
ее элементы следующим образом:

2.
dijm+1=min{dijm, di(m+1)m + d(m+1)jm},
где i<>j; diim+1=0 (*).
m:=m+1; если m<|V|, то повторяем шаг
(1), иначе элементы последней
построенной матрицы D|V| равны длинам
кратчайших путей между
соответствующими вершинами
Пример m=0
V1
V2
V3
V4
V5
V1
0
х
3
3
2
V2
5
0
х
х
х
V3
х
2
0
х
V4
х
х
2
V5
х
х
х
V1
V2
V3
V4
V5
V1
0
х
3
3
2
3
V2
5
0
5+3
х
х
0
х
V3
х
2
0
х
3
1
0
V4
х
х
2
0
х
V5
х
х
х
1
0
V2
5
V1
2
3
V3
3
3
2
V5
2
V4
1
Пример m=1
V
V
V
V
V
V
1
2
3
4
5
0
х
3
3
2
5
0
8
8
7
1
V
2
V
х
2
0
х
3
V
V2
5
3
х
х
2
0
х
V1
5
х
х
х
V2
V3
V4
V5
V1
0
х
3
3
2
V2
5
0
8
8
7
V3
5+2
2
0
х
3
V4
х
х
2
0
х
V5
х
х
х
1
0
2
3
V3
4
V
V1
1
0
3
3
2
V5
2
V4
1
Пример m=2
V1
V2
V3
V4
V5
V1
V2
V3
V4
V5
V1
0
х
3
3
2
V1
0
3+
2
3
3
2
V2
5
0
8
8
7
V3
7
2
0
10
3
V2
5
0
8
8
7
V4
х
х
2
0
х
V3
7
2
0
10
3
V5
х
х
х
1
0
V4
х
х
2
0
х
V5
х
х
х
1
0
V2
5
V1
2
3
V3
3
3
2
V5
2
V4
1
Пример m=3
V1
V2
V3
V4
V5
V1
V2
V3
V4
V5
V1
0
5
3
3
2
V1
0
5
3
3
2
V2
5
0
8
8
7
V2
5
0
8
8
7
V3
7
2
0
10
3
V3
7
2
0
10
3
V4
9
4
2
0
5
V4
9
4
2
0
5
V5
х
х
х
1
0
V5
9+
1
х
х
1
0
V2
5
V1
2
3
V3
3
3
2
V5
2
V4
1
Пример m=4
V1
V2
V3
V4
V5
V1
V2
V3
V4
V5
V1
0
5
3
3
2
V1
0
5
3
3
2
V2
5
0
8
8
7
V2
5
0
8
8
7
V3
7
2
0
10
3
V3
7
2
0
3
2
0
5
3+
1
V4
9
4
V5
10
5
3
1
0
V4
9
4
2
0
5
V5
10
5
3
1
0
V2
5
V1
2
3
V3
3
3
2
V5
2
V4
1
Пример m=5
V1
V2
V3
V4
V5
V1
0
5
3
3
2
V2
5
0
8
8
7
V3
7
2
0
4
3
V4
9
4
2
0
5
V5
10
5
3
1
0
Пример
V1
V2
V3
V4
V5
V1
0
5
3
3
2
V2
5
0
8
8
7
V3
7
2
0
4
3
V4
9
4
2
0
5
V5
10
5
3
1
0
φ1=13 Ψ1=31 Q1=44
φ2=28 Ψ2=16 Q2=44
φ3=16 Ψ3=16 Q3=32
φ4=20 Ψ4=16 Q4=36
φ5=19 Ψ5=17 Q5=36
Q3 – медиана.
Найти медиану графа
Найти медиану графа
Любимые мультфильмы

Жила-была одна дружная семья: мама,
папа и сын. Они все любили делать
вместе. Но вот мультфильмы любили
разные: «Ну, погоди!», «Покемоны», «Том
и Джерри». Определите, какой
мультфильм любит каждый из них, если
мама, папа и любитель мультфильма
«Покемоны» никогда не унывают, а папа
и любитель мультфильма «Том и
Джерри» делают зарядку по утрам?
Марки и конверты

Имеется 5 видов конвертов и 4 вида
марок. Сколькими способами можно
выбрать конверт с маркой?
Словари

Сколько словарей нужно издать,
чтобы переводить с любого из 5
языков на любой другой?
Шахматный турнир

В шахматном турнире участвуют 16
человек. Сколько партий должно
быть сыграно в турнире, если между
любыми участниками должна быть
сыграна одна партия?
Жеребьевка

Порядок выступления 7 участников
конкурса определяется жребием.
Сколько
различных
вариантов
жеребьевки при этом возможно?
Студенты

Сколькими
способами
можно
разбить группу из 25 студентов на
три подгруппы по 6, 9 и 10 человек в
каждой группе?
Семизначные числа

Сколько существует семизначных
чисел, состоящих из цифр 4,5 и 6, в
которых цифра 4 повторяется 3
раза, а цифры 5 и 6 - по 2 раза?
Все для чая

В магазине «Все для чая» есть 5
разных чашек и 3 разных блюдца.
Сколькими способами можно купить
чашку с блюдцем?
Города

В Стране Чудес есть четыре города:
А, Б и В и Г. Из города А в город Б
ведет 6 дорог, а из города Б в город
В – 4 дороги, из города А в город Г –
две дороги, и из города Г в город В –
тоже
две
дороги.
Сколькими
способами можно проехать от А до
В?
Флаг

Сколькими способами можно
сделать трехцветный флаг с
горизонтальными полосами
одинаковой ширины, если имеется
материя шести различных цветов?
Авиалинии

В стране 20 городов, каждые два из
которых соединены авиалинией.
Сколько авиалиний в этой стране?