Тема: “Методы решения систем уравнений”

Открытый урок по алгебре в 9 Б классе
Тема: “Методы решения систем уравнений”.
Тип урока – пресс-конференция.
Цели:
1. Поиск различных способов и методов решения систем уравнений, умение выступать перед
аудиторией с подготовленными сообщениями.
2. Стимулирование творческого мышления нестандартными методами.
3. Обобщение и систематизация знаний учащихся по данной теме.
4. Приучить к работе со справочной и дополнительной литературой.
5. Развитие математического мышления, взаимовыручки, взаимопомощи, умению вести
культурную дискуссию, правильной математической речи.
6. Воспитание чувства ответственности.
Эпиграф: Настоящий ученик умеет выводить известное из неизвестного и этим приближается к
учителю (Гёте И.)
Оборудование: таблицы, схема, стенд «Решение систем уравнений с модулем»
Председатель: учитель
Экспертная группа: учитель, методист.
Повестка (план конференции):
Сообщение 1. Из истории решения систем уравнения.
Сообщение 2. Решение систем методом подстановки.
Сообщение 3. Решение систем методом сложения.
Сообщение 4. Решение систем графическим методом.
Сообщение 5. Системы симметричных уравнений.
Сообщение 6. Системы линейных уравнений с параметрами.
Сообщение 7. Геометрические приемы решения систем уравнений.
Сообщение 8. Метод Гаусса.
Решение (Заключение)
Творческая работа – выпуск стенгазеты “Вести с конференции”
1 сообщение
Из истории решения систем уравнений.
Издавна применялось исключение неизвестных из линейных уравнений. В XVII - XVIII в.в.
приемы исключения разрабатывали Ферма, Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Безу, Лагранж.
Благодаря методу координат, созданному в XVII в. Ферма и Декартом, стало возможным решать
системы уравнений графически.
26.10.2011
Багрий Г.А.
Математические теории сохраняют свое значение в условиях различных общественных
формаций и исторических эпох. Евклид, Пьер Ферма, Исаа́к Нью́то́н, Карл Гаусс, Леонард Эйлер,
Лагра́нж, Рене Декарт навсегда вписали свои имена в золотой фонд великих ученых-математиков.
Пьер Ферма (1601—1665), — французский математик, создатель
Великой теоремы, связанной с алгебраической теорией чисел и
алгебраической геометрией. Первым пришел к идее координат и
создал аналитическую геометрию.
Исаа́к Нью́то́н 4 января 1643 — 31 марта 1727— английский физик,
математик и астроном, один из создателей классической физики. Автор
фундаментального
труда
«Математические
начала
натуральной
философии», в котором он изложил закон всемирного тяготения и три
закона механики, ставшие основой классической механики. Разработал
дифференциальное и интегральное исчисление, теорию цвета и многие
другие математические и физические теории.
ЛЕЙБНИЦ (Leibniz) Готфрид Вильгельм (1 июля 1646, Лейпциг - 14
ноября 1716, Ганновер), немецкий философ, логик, физик, математик и
языковед.
Леонард
Эйлер
(1707—1783),
—
российский,
немецкий
и
швейцарский математик. Анализировал бесконечно малые. Благодаря
его работам, математический анализ стал вполне оформившейся
наукой.
26.10.2011
Багрий Г.А.
Карл Гаусс (1777—1855), — немецкий математик, астроном и
физик. Создал теорию «первообразных» корней, из которой
вытекало построение семнадцатиугольника. Один из величайших
математиков всех времён.
Жозе́ф Луи́ Лагра́нж (25 января 1736 — 10 апреля 1813) — французский
математик и механик итальянского происхождения. Наряду с Эйлером —
лучший математик XVIII века. Особенно прославился исключительным
мастерством в области обобщения и синтеза накопленного научного
материала.
Рене Декарт
(1596 - 1650)
французский математик и философ
Мыслю, следовательно существую.
Этье́нн Безу́ 31 марта 1730,
французский математик, член Парижской
академии наук (1758).
В древневавилонских текстах, написанных в III – II тысячелетиях до н.э., содержится немало
задач, решаемых с помощью составления систем уравнений, в которые входят и уравнения второй
степени.
Например:
Задача. Площади двух своих квадратов я сложил: 25 и 5/12. Сторона второго квадрата равна 2/3
стороны первого и еще 5.
х
2
Соответствующая система уравнений в современной записи имеет вид:
у
26.10.2011
 у 2  25
5
,
12
2
х  5.
3
Багрий Г.А.
Основная цель при решении систем линейных уравнений - решить систему уравнений, то есть
найти все ее решения или доказать, что решений нет. Для решения системы уравнений с двумя
переменными используются разные способы. Практическое применение этих способов - это
решение задач, по алгебре, физике, химии, геометрии.
2 сообщение
Решение систем методом подстановки.
С системами уравнений мы познакомились в курсе алгебры 7-го класса, но это были системы
специального вида – системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Алгоритм, который был выработан в 7 классе, вполне пригоден для решения систем любых двух
уравнений с двумя переменными х и у.
Выразить одну переменную через другую из одного уравнения системы.
Подставить полученное выражение вместо переменной в другое уравнение системы.
Решить полученное уравнение относительно одной переменной.
Подставить поочередно каждый из найденных на 3 шаге корней уравнения в выражение,
полученное на первом шаге и найти другую переменную.
5. Записать ответ в виде пар значений (х;у).
1.
2.
3.
4.
Покажу, как работает этот метод при решении систем.
 х  у 2  1  0,
Решим систему уравнений:  2
 у  у 3  ху.
Применим метод подстановки. Преобразуем исходную систему:
 х  у 2  1,
 2
 у  у 3  ху;
 у  0,
 х  1;


 у  1,
 х  2.
 х  у 2  1,
 2
 у  у 3  ( у 2  1) у;
 х  у 2  1,
 2
 у  у  0;
 х  у 2  1,

 у  0, х  1;
Ответ: (1;0), (2;1)
3 сообщение
Решение систем методом сложения.
3х  у  5,

6 х  2 у  10
26.10.2011
Система имеет бесконечно много решений.
 х  3 у  1,
Система не имеет решений.

2 х  6 у  3
Багрий Г.А.
4 сообщение
Решение систем графическим методом.
Совместное создание алгоритма решения систем:
1. выразить переменную У через Х (если возможно);
2. построить график каждого уравнения;
3. найти координаты точки пересечения графиков.
Координаты любой точки построенного графика являются решением уравнения, следовательно
координаты каждой точки пересечения являются решением системы уравнений.
На доске учащиеся решают систему
5 сообщение
Решение систем симметрических уравнений.
26.10.2011
Багрий Г.А.
6 сообщение
Системы линейных уравнений с параметром
 х  у  8а 2 ,

 х  у  4а.
Решим данную систему. Рассмотрим три случая:
Если а = 0, то х = у = 0.
Если а <0, то решений нет.
Если а >0, то введем замену
m 2  n 2  8a 2 ,
Тогда 
m  n  4a;
m  n  2 a ,

m  n  4a;
х  m, у  n. Где m  0 , n  0 .
(m  n)( m  n)  8a 2 ,

m  n  4a;
2 m  6 a ,

2n  2a;
m  3a,

n  a;
4a(m  n)  8a 2 ,

m  n  4a;
 x  3a,

 y  a;
 x  9a 2 ,

 y  a 2 ;
Ответ: Если а <0, то решений нет;
Если а = 0, то решение – пара (0; 0);
Если а>0, то решение – пара (9а2; а2),
7 сообщение
Геометрический прием решения систем уравнений
Решение
По теореме обратной теореме Пифагора, из уравнения х2 + у2 =32 , числа х и у являются катетами
 АBD (  D – прямой) с гипотенузой АВ = 3.
Рассматривая второе уравнение у2 + z2 = 16, построим
гипотенуза.
26.10.2011
 BDC, где у и z – катеты, а ВС = 4 –
Багрий Г.А.
Третье уравнение y2 = xz подсказывает, что число у есть среднее пропорциональное чисел х и z.
По теореме обратной теореме о пропорциональных отрезках  АВС = 900
АС = ( х + z ) =
Тогда AB2 = AD • AC,
= 5,
9 = х • 5, х =
BC2 = DC • AC, 16 = z • 5,
z=
BD2 = y2 = x • z =
BD =
·
= y.
Такой прием дает потерю корней, легко убедиться,
что х = ± 9/5; у = ± 12/5;
z = ± 16/5.
Для данной системы задания могут быть и другие.
Например, чему равно значение выражения
ху + уz ; х + у + z; х + у; х + z;
8 сообщение
Метод Гаусса
Решить систему уравнений:
2 x  y  z  12,

 x  y  z  6,
3x  y  z  18.

26.10.2011
Багрий Г.А.
Нам дана система трех уравнений с тремя неизвестными. Применим метод Гаусса, который
состоит в том, что равносильными преобразованиями приводим данную систему к треугольной
форме. Прибавим к первому уравнению второе, умноженное на - 2, получим -y + z = 1 или
y – z = -1.
Далее к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на – 3, получим уравнение
- 2y -2 z = 10.
Наконец, прибавим к этому уравнению уравнение y - z = - 1, умноженное на 2, получим - 4 z = 12, т.е. z = 3.
В результате преобразований получим систему уравнений:
 x  y  z  6,

которая очевидна
 y  z  1,
 z  3.

равносильна данной.
Системы такого вида называют треугольными, они легко решаются. Действительно из второго
уравнения получим y = z – 1 = 3 – 1 = 2, а из первого уравнения получим
х = 6 - y - z = 6 – 2 – 3 = 1.
Ответ: (1; 2; 3)
Конференция закончилась. Я верю, что у вас появилось желание попробовать свои силы в
решении систем.
А теперь наступило время оформить выпуск математический газеты “Вести с конференции”.
Список литературы
1. Г.И. Глейзер “История математики в школе”
2. И.Я. Депман “За страницами учебника алгебры”
3. М.Л. Галицкий А.М.Гольдман “Сборник задач по алгебре 8-9”
4. А.Г. Мордкович “Алгебра 9”. “Алгебра 7”
5. Ю.Н. Макарычев “Алгебра 9”. “Алгебра 7”
6.Материалы с сайта festival.1september.ru
26.10.2011
Багрий Г.А.