понять их геометрический смысл, выработать навыки использования их при выполнении заданий.

План-конспект урока с учащимися 7 класса
Тема: « Изучение формул сокращённого умножения в 7 классе»
Назначение: изучить формулы,
понять их геометрический смысл,
выработать навыки использования их
при выполнении заданий.
Содержание.
I.
Вводная часть.
II.
Вывод формулы квадрат суммы (разности)
двух выражений.
1) Исследовательская деятельность учащихся для вывода квадрата суммы (разности)?
2) Учимся работать по формулам.
3) Геометрическая интерпретация формулы квадрат суммы.
4) Применение формул квадрата двучлена в различных ситуациях.
III. Формула полного квадрата.
IV. Исторический экскурс.
V. Заключение.
VI. Список литературы.
I.
Вводная часть
Приступая к изучению формул квадрата суммы (разности) двух выражений, учитель должен уже
иметь подборку материала из различных методических пособий по этой теме, который будет в
дальнейшем применяться. Желательно упражнений подобрать как можно больше, чтобы был выбор
как для обязательного уровня обучения, так и для тех, кто проявляет повышенный интерес к
математике. Также учителю необходимо заранее продумать типы уроков и каким образом охватить
все стороны учебно-воспитательного процесса:
- исследовательская деятельность учащихся;
- усвоение знаний, умений, навыков;
- творческое применение знаний в различных типах заданий;
- обобщение и систематизация знаний;
- проверка и коррекция знаний в процессе обучения,
- совершенствование математической речи.
Общая подготовка учителя также включает вопросы применения современных средств обучения:
мультимедийные проекторы, интерактивные
доски и
подбор презентаций к ним. Такая
предварительная подготовка даёт свои результаты.
Знакомство с формулой квадрат суммы (разности) двух выражений –
исследовательская деятельность учащихся.
Перед изучением данной темы продумать и провести подготовительную работу в виде устных
упражнений. (слайд 2-6)
1.Найдите квадраты выражений:
а; -7; 2с; 5x²y³.
2.Найдите произведение выражений:
pиq
4x и 7y a и 6b²c.
3.Чему равно удвоенное произведение этих выражений?
4.Прочитайте выражения:
а) а+3; б) m-n; в) (х+у)²; г) (а- b)².
5.Упростить выражения:
с · с; х² · х²; (a + b)(a + b).
II.
1.
2.
3.
6.Повторить правило умножения многочлена на многочлен. Выполнить умножение:
(x+3)(x+2);
(а-5)(а+6).
Затем предложить учащимся выполнить умножение двух одинаковых двучленов и самим сделать
выводы:
а) (m+n)(m+n);
(a+b)(a+b)
б) (m-n)(m-n);
(a-b)(a-b)
Вывод: а) (m+n)(m+n)= (m+n)² = m²+2mn+n²
(a+b)(a+b) = (a+b)² = a²+2ab+b².
б) (m-n)(m-n)= (m-n)² = m²-2mn+n²
(a-b)(a-b) = (a-b)² = a²-2ab+b².
Далее учащимся сообщается, что ещё в древности было подмечено, что два одинаковых двучлена
можно перемножить короче. Так появились формулы квадрат суммы (разности) двух выражений
(квадрат двучлена). Эти формулы называются формулами сокращённого умножения.
Провести обсуждение полученных результатов. Вывод: результатом умножения двух одинаковых
двучленов является трёхчлен, у которого первый член – квадрат первого слагаемого данного
двучлена, а второй – удвоенное произведение первого и второго слагаемых данного двучлена, а
третий – квадрат второго слагаемого данного двучлена.
Далее предложить учащимся сделать вывод: чем отличается формула квадрат суммы от формулы
квадрат разности (проговариваются знаки перед удвоенным произведением).
7. Для того, чтобы учащимся было легче запомнить эти формулы, распознать их в различных
заданиях можно предложить им следующую схему ( слайд7):
(
±
)² =
² ± 2·
·
+
²
Учителем даётся прочтение формулы квадрат суммы, а затем учащимся даётся возможность самим
сформулировать прочтение формулы квадрат разности.
Чтобы научиться преобразовывать квадрат суммы (разности) в трёхчлен с помощью формул
сокращённого умножения будем придерживаться следующего плана:
Устанавливаем, что выражение является квадратом двучлена, а именно – квадратом суммы
(разности);
Применяем формулу. Записываем правую часть формулы.
Приводим многочлен к стандартному виду.
( 3х + 2у )² = (3х)² + 2 · 3х · 2у + (2у)²
( 3х + 2у )² = 9х² + 12х у + 4 у²
8. «Учимся работать по формулам.»
Чтобы в дальнейшем учащиеся свободно и уверенно умели применять формулы квадрата суммы
(разности), требуется тренировка. Для этого подбираем упражнения, преследуя цели обучения всех
школьников. Чтобы повысить эффективность обучения, задания следует подобрать для организации
индивидуальной, групповой работы учащихся на уроке и вне его. Набор таких карточек-заданий
подобран Ю.П.Дуднициным и В.Л.Кронгаузом, которые желательно иметь каждому учителю. В
каждой группе карточек предлагаются задания трёх различных уровней сложности: 1 уровень –
задания, соответствующие обязательным результатам обучения;
2 уровень – задания, решение которых предполагает умение применять знания в ситуациях, сходных
с теми, что были разобраны в классе;
3 уровень – задания, предназначенных для учащихся, проявляющих повышенный интерес к
математике.
Учащимся предлагается выполнить самостоятельно задания на применение формул с последующей
проверкой по готовым слайдам (слайды 8-10).
а) преобразовать в многочлен стандартного вида:
𝟏
1) (х+3у)²; (2с- 3d)² ; (𝟐 m- 2n)²; (4a+b)²;
𝟏
( 𝟑 p + 3q)²; (x²+y²)²;
2) 5m²+ 10mn - 5(m-n)²;
4(a-b)²+ (a²-4)(b²-4);
(a³+b³)² - b⁶+a⁶ - a³b³.
б) решить уравнения:
(4-х)² - х(х-5) = 4
3х +6 +(2х-1)² = 4х²
(х-2)(5-х) +(х-3)² = 5
в) заполните пропуски одночленами так, чтобы получилось тождество:
(9m² - ?)² = ? - ? + 4k²
(6a³ +?)² = ? + 60а³b +?
(? – 4b²)² = ? – 24a³b² + ?
(? + 5k²)² = 4m² + ? + ?
Геометрическая интерпретация формулы квадрат суммы (слайд 11).
(a+b)² = a²+2ab+b².
Предлагается рассмотреть квадрат со стороной a + b. Данный квадрат разбивается на четыре
фигуры: два равных прямоугольника, с площадью ab каждый и два квадрата, один площадью a²,
другой площадью b².
a²+2ab+b²
(a+b)²
a+b
a
b
b
b
a
b
a
a²
b
ab
ab
b
b²
Полезно предложить учащимся самостоятельно доказать тождества: (а - b)2 = (b - а)2 , (-а - b)2 =(а +
b)2 и подобрать задания на их применение с последующуй проверкой ( слайды 12-16). Например.
1.Представьте в виде многочлена выражения:
а) (-6х – 2)²; б) (-5m² + 3)²; в)(-2x - 9)²; г) (-7p² +q²).
2. Решите уравнения: а)(4 –х)² - х(х-5) = 4;
б) 3х + 6 +(2х – 1)² = 4х²; в) (х – 2)(5 –х) + (х – 3)² = 5.
4.Применение формул квадрата двучлена в
различных ситуациях.
Работа с учащимися, проявляющих повышенный интерес к математике.
Учащимся этого уровня предлагается рассмотреть квадрат трёхчлена, дав подсказку: опираться на
формулу квадрат суммы и предложить учащимся показать геометрическую интерпретацию этого
равенства (слайд17).
(a + b + c)² =( (a +b) +c)² = (a+b)² + 2· (a+b) · c + c² =
= a² + 2ab + b² + 2ac + 2bc + c² =
= a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
Геометрическая интерпретация формулы квадрат трёхчлена (слайд 17-18 ).
(a + b + c)² = a² + b² + a² + 2ab + 2ac + 2bc
a
b
c
ac
b²
a²
ac a²
ab ac
 acac ab
ab
ab
ab
b²
bc
ac
bc
c²
ac
ac
bc
bc
c²
III. Формула полного квадрата.
При выполнении некоторых заданий удобно преобразовывать трёхчлен в квадрат двучлена.
Например: как рациональнее выполнить вычисления: (3,7)² -2·3,7·3,6 +(3,6)²; как рациональнее
решить уравнение: x² + 7x + 12,25 = 0? Предложить учащимся ответить на эти вопросы.
Оказывается, удобно использовать уже известные формулы квадрата двучлена только в виде:
a² + 2ab + b² = (a + b)²
Имя этой формулы – формула полного квадрата, её схема:
² ± 2·
·
+
²=(
±
)²
Предложить учащимся задание на применение формулы полного квадрата: используя схему
выясните, являются ли данные выражения полными квадратами (слайд 19):
1) x² + 10x + 25; 2) x² - x +1; 3) 64 + m² + 16m; 4) 73² + 17²+17·73.
Ученики, выполняя эти и другие задания на формулу полного квадрата, должны пользоваться
следующими признаками:
1. Выражение должно состоять из трёх слагаемых.
2. Два из них представляют или могут быть представлены как квадраты дух выражений с
положительными знаками.
3.Третий член – удвоенное произведение двух выражений, квадраты которых найдены выше, знак
перед этим произведение любой.
Для закрепления снова можно воспользоваться карточками с заданиями трёх уровней
Ю.П.Дуднициным и В.Л.Кронгаузом.
Например.
1 уровень. Представить трёхчлен в виде квадрата двучлена:
m² - 2mn + n ; p² - 20pq + 100p².
2 уровень.
а) При каком значении p трёхчлен можно представить в виде квадрата трёхчлена (слайд 19)?
1,44x² - 12xy + py²; pb² - 8ab + 0,16a²;
б) К данным многочленам прибавить такой одночлен из предложенных вариантов, чтобы выражение
стало полным квадратом (слайд20):
1) a² + 2a + 2
а) -3; б) -1; в) 2; г) 1.
2) 1 +х² -6х
а) 2; б) 35; в) 8; г) -9.
3) 49 + p²
3
1
а) 14p; б) − 4; в) 4; г) 18p.
3 уровень. Докажите, что многочлен c² - 2ab + a² + b² принимает неотрицательные значения при
любых значениях a, b и c.
IV. Исторический экскурс (слайд 21)
История основных алгебраических тождеств ведёт своё начало из древности. Ещё древнегреческий
учёный Пифагор, живший в VI веке до н.э., установил ряд тождеств, основанных на рассмотрении
сторон прямоугольного треугольника. Особенно широко алгебраическими тождествами пользовался
в III веке до н. э. древнегреческий геометр Евклид. В своих «Началах», состоящих из 13 книг, вторую
книгу он специально посвятил алгебраическим тождествам, правда в геометрическом истолковании.
Тождество (a+b)² = a²+2ab+b² сформулировано в «Началах» Евклида так: «Если отрезок AB разделён
точкой С на два отрезка, то квадрат построенный на АВ, равен двум квадратам, на отрезках АС и СВ
вместе с удвоенным прямоугольником на АС и СВ»
Другой греческий учёный, живший в III веке до н. э., Диофант Александрийский в своей книге
«Арифметика» алгебраические тождества уже рассматривал с арифметической точки зрения как
основные правила арифметики.
Основными алгебраическими тождествами в их геометрическом истолковании пользовался также в
своём арифметическом трактате ал-Хорезми.
Современной символикой алгебраические тождества обязаны, главным образом двум математикам,
а именно Франсуа Виету и Декарту.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
V. Заключение.
Можно изучить с учащимися формулы, научить их применять, но при этом нельзя не думать о
культуре математической речи учащихся. Способность чётко мыслить, полноценно логически
рассуждать и ясно излагать свои мысли в настоящее время необходимо каждому. Математика даёт
огромные возможности для воспитания привычки к самостоятельному мышлению и чёткой,
логически совершенной речи. Речь ученика, как и педагога, должна быть убедительной, краткой,
ясной и доступной. На уроках математики учитель не должен подавать изучаемый материал в
готовом и до конца «разжёванном» виде, а создавать ситуации, когда ученик сам, опираясь на
собственные знания, достигнет ясности в понимании сущности вопроса. Только тогда он будет
осознавать, что работа собственной мысли требует значительно меньше усилий и затрат времени,
чем простая зубрёжка.
VI. Список литературы.
Журнал « Математика в школе» №3,1991г.
М.Р.Леонтьева « Из опыта преподавания математики»(6-8кл.),Москва, Просвещение,1972г.
Э.Г.Гельфан,Т.В.Бондаренко «Тождества сокращённого умножения» , Томск, 1996г.
Чистяков «Исторические экскурсы на уроках математики»
Ю.П.Дудницин, В.Л.Кронгауз «Карточки с заданиями по алгебре для 7 класса.» (1 часть)
Ю.Н.Макарычев и др. Алгебра 7класс.