точками треугольника - Пушкинская школа на Бауманской

Руководитель проекта Алейникова Е.Н.
Москва, 2011 год.
«Треугольник, как источник
вдохновения...»
Пушкин и Лобачевский
Известно высказывание Пушкина в статье, посвященной работе
Кюхельбекера, он писал: «Вдохновение нужно в поэзии, как и в геометрии».
Давиду Гильберту, одному из крупнейших математиков нашего времени,
однажды сказали, что его студент оставил математику, решив посвятить себя
поэзии. «Меня это не удивляет,- ответил Гильберт,- у него чувствовался
недостаток фантазии!» Вдохновение, о котором пишет Пушкин, созвучно
«гильбертовской фантазии».
Примерно в тоже время. Но уже по другому случаю, Пушкин записывает в
своей тетради: «Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии», поменяв
местами эти слова он как бы подчеркивает их равноправие перед лицом
вдохновения.
Это не случайно, ведь в 1826 году, когда эти фразы были записаны
Пушкиным, Николай Иванович Лобачевский, великий математик, уже говорил
о своей воображаемой геометрии.
В этом году, один из вопросов викторины «Что? Где? Когда?» звучал так:
Какая геометрическая фигура встречается в тексте «Каменного гостя»?
Мы не сразу вспомнили, что речь идёт о треугольнике.
«И кровь нейдет из треугольной ранки…»
Это стало поводом задуматься о том, какие еще геометрические понятия
встречаются в Пушкинских строках.
Я выяснила, что термин «треугольник» в текстах Пушкина не встречается, но
«треугольный» встречается 11 раз. «Пирамида» встречается 10 раз, «шар» - 6
раз; «круг» или «окружность» - целых 85 раз
Также есть упоминание о «квадратуре круга» и о «параллельности».
3.
История вопроса
Треугольник по праву считается простейшей из фигур
Любая фигура на плоскости содержит хотя бы три точки, не лежащие на одной
прямой. Если соединить эти точки попарно прямолинейными отрезками, то
построенная фигура и будет треугольником.
Треугольник всегда имел широкое применение в практической жизни. Так, в
строительном искусстве испокон веков используется свойство жесткости
треугольника для укрепления различных строений.
В древней Греции учение о треугольнике развивалось в ионийской школе,
основанной в VII веке до нашей эры Фалесом, в школе Пифагора и других;
оно было затем полностью изложено в первой книге "Начал" Евклида. Среди
"определений", которыми начинается эта книга, имеются и следующие: "Из
трехсторонних фигур равносторонний треугольник есть фигура, имеющая три
равные стороны, равнобедренный же – имеющая только две равные стороны,
разносторонний – имеющая три неравные стороны". Понятие о треугольнике
исторически развивалось, по-видимому, так: сначала рассматривались лишь
правильные, затем равнобедренные и, наконец, разносторонние треугольники.
Четыре замечательные точки треугольника
Ещё с 8ого класса мы изучаем свойства «четырех Замечательных точек
треугольника».
Это:
4.
•
точка пересечения медиан, она является центром тяжести или
барицентром.
•
Точка пересечения высот или ортоцентр.
•
Точка пересечения биссектрис, а также цент вписанной окружности или
инцентр.
•
И
точка
пересечения
серединных
перпендикуляров к сторонам треугольника или центр описанной окружности.
На эти четыре точки было обращено особое внимание, и начиная с 18 века они
были названы «замечательными» или «особенными» точками
треугольника.
Исследование свойств треугольника, связанных с этими и другими точками,
послужило началом для создания новой ветви элементарной математики –
«геометрии треугольника» или «новой геометрии треугольника».
5.
За страницами учебника
Кроме программного обучения, многие знают и другие точки…
Например:
В 1765 году Эйлер доказал, что в любом треугольнике ортоцентр, барицентр и
центр описанной окружности лежат на одной прямой, названной позже
"прямой Эйлера".
Окружность Эйлера
Середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков,
соединяющих ортоцентр с вершинами, лежат на одной окружности.
Эта окружность называется окружностью девяти точек или окружностью
Эйлера.
Точка Фейербаха
В 1822 году немецкий математик Карл
Фейербах опубликовал одну из самых
поразительных теорем геометрии
треугольника:
Окружность Эйлера касается вписанной и
трех вневписанных окружностей.
6.
Большой вклад в развитие геометрии треугольника внесли математики XIX –
XX веков: Лемуан, Брокар, Тебо и другие.
Точка Лемуана — точка пересечения симедиан треугольника.
Симедиана — отрезок в треугольнике,
симметричный медиане относительно
биссектрисы угла, проведенной из той
же вершины.
Точка Нагеля – точка пересечения
отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания
противоположных сторон с соответствующими вневписанными
окружностями.
N – точка Нагеля
Нагель Христиан Генрих
(1803 - 1882)
Прямая Симсона
Основания перпендикуляров, опущенных из точки описанной окружности
треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой.
Эта прямая называется прямой Симсона.
7.
Точка Жергона — точка пересечения отрезков, соединяющих вершины
треугольника с точками касания вписанной окружностью противоположных
сторон.
Точка Торричелли — точка треугольника, из которой все стороны видны под
углом в 120°. Существует только в треугольниках с углами не более 120° и
совпадает с точкой Ферма.
Точка Микеля
Пусть четыре прямые расположены так, что при их пересечении образуется
четыре треугольника. Тогда описанные вокруг этих треугольников
окружности имеют общую точку, которая называется точкой Микеля.
Точка Микеля
Точка Ферма
Точка Ферма — точка треугольника, сумма
расстояний от которой до вершин треугольника
является минимальной.
В треугольниках с углом более 120° совпадает с
вершиной тупого угла.
Построим на сторонах равносторонние
треугольники и соединим вершины исходного
треугольника с соответствующей свободной
вершиной. Точка пересечения получившихся
отрезков и является точкой Ферма.
8.
Точка Аполлония
Педальный
треугольник,
образованный
основаниями перпендикуляров, опущенной из
данной точки на стороны треугольника или их
продолжения, которой является правильным.
A
A
B
C
Точка Шпикера – центр окружности, вписанной
в серединный треугольник.
A
G
S
B
C
Изучение свойств особых точек треугольника продолжалось и в 20ом и
сегодня, в 21ом веке.
Вот почему, простейший треугольник можно считать неисчерпаемым.
Три точки отрезками соединили,
И вот – треугольник простой получили;
Он – плоский и жёсткий, угластый, колючий,
Обилием свойств и законов могучий.