Bikvadr_ur

Биквадратное уравнение
ЛЕКЦИЯ
«Биквадратное уравнение.»
Литература :
С.М. Никольский и др.
«Алгебра : Учебник для
8 класса общеобразовательных
учреждений» серии «МГУ –
школе».
Уравнение вида
ax  bx c  0
4
2
,
где
а, b, c – данные числа и а отлично от нуля, а
х –неизвестное, называют биквадратным
уравнением.
Чтобы решить биквадратное уравнение, вводят
новое неизвестное при помощи равенства у = х2
Тогда исходное уравнение превращается в
квадратное ay 2  by  c  0 относительно
неизвестного y.
№ 356. Представьте выражение в виде квадрата:
a) х4;
б) а6;
в) у8;
г) m10.
№ 357. Какую подстановку необходимо выполнить,
чтобы уравнение стало квадратным:
а) х4 +2х2 + 1 = 0;
в) 4у2 – 7у4 = 0;
д) х6 – 3х3 + 2 = 0;
б) m4 – 3 + 2m2 =0;
г) 15 – х4 + 2х2 = 0;
е) у8 – 4 = 0.
Пример 1 Решить уравнение x 4  4 x 2  3  0.
Решение
x  4x  3  0
4
2
введем новую переменную
y  x 2 где у  0
исходное уравнение примет вид:
y  4y  3  0
2
так как
корня.
D
2
 k  ac  4  3  0, то оно имеет два
4
По теореме обратной теореме Виета имеем: y  3;
1
y2  1.
Пример 1 Решить уравнение x 4  4 x 2  3  0.
Решение
Обратная подстановка дает: x
2
 1;
x 2  3.
Ответ:
Решив их получим:
x 1
x 3
x1  1  1;
x3  3;
x2   1  1;
x4   3.
2
2
x1  1;
x2  1;
x3  3 ;
x4   3.
Пример 2 Решить уравнение x 4  2 x 2  2  0.
Решение
x  2x  2  0
4
2
введем новую переменную
y  x 2 где у  0
исходное уравнение примет вид:
y  2y  2  0
2
D
2
так как
 k  ac  1  2  3  0, то оно имеет
два корня. 4
 k  k  ac

a
2
Определим корни по формуле
y1, 2
Пример 2 Решить уравнение x 4  2 x 2  2  0.
Решение
x  2x  2  0
4
2
введем новую переменную
y  x где у  0
2
исходное уравнение примет вид:
y  2y  2  0
2
2
х
 1  3;
Обратная
дает:
1  подстановка
3
y1, 2 
 1 3
1
х1  1  3 ;
y1  1  3  0; y 2  1  3  0 - исключается
х2   1  3 .
Ответ:
х1, 2   1  3 .
Пример 3 Решить уравнение 2 x 4  3x 2  5  0.
Решение
2 x  3x  5  0
4
2
введем новую переменную
y  x где у  0
2
исходное уравнение примет вид:
2 y  3y  5  0
2
Его дискриминант
D  b  4ac  9  4  2  5  0
2
следовательно оно не имеет корней. Тогда и исходное
уравнение тоже не имеет корней.
Ответ: корней нет.
Пример 4 Решить уравнение 9 x 4  6 x 2  1  0.
Решение
9x  6x 1  0
4
2
введем новую переменную
y  x где у  0
2
исходное уравнение примет вид:
9 y  6 y 1  0
2
Обратная
подстановка дает:
Его дискриминант
1
x  ;
2
D  b  4ac  36  4  931  36  36  0
следовательно оно имеет единственный
1 корень.
1
Ответ:
x1 

;
6  0 6 31 3
1
y

 1 0. 1 x1,2   .
3
18
18
x2   3  
.
3
3
2
Пример 5 Решить уравнение x 4  10 x 2  25  0.
Решение
x  10 x  25  0
4
2
введем новую переменную
y  x где у  0
2
исходное уравнение примет вид:
y  10 y  25  0
2
для которого
D
2
 k  ac  25  1  25  0
4 таким образом оно имеет единственный корень
50
y
 5  0
1
Значит исходное уравнение не
имеет корней.
Ответ: корней нет.
Замечание 1
Решить уравнение
x 0
4
Имеет один корень
x  0.
Ответ:
x  0.
Решить уравнение
x x 0
4
2
Решение:
x x 0
4
2


x x 1  0
2
2
x  x  1 x  1  0
2
x1  0; x2  1; x3  1.
Ответ: -1; 0; 1.
Замечание 2
Из рассмотренных примеров видно, что биквадратное
уравнение может иметь четыре, три, два, один действительный корень, но может и не иметь корней.
Скоро мы познакомимся с комплексными числами и
узнаем, что биквадратное уравнение имеет, вообще говоря,
четыре комплексных корня.
Впрочем, бывает, что их меньше чем четыре, но в
таких случаях считают, что некоторые корни кратные.
Решить номера №№358, 359, 360.