Введение в математику. Методические разработки 1 курса 1

Элементы математической логики.
Еще в 17 веке немецкий математик Г.Лейбниц мечтал о том, чтобы
создать вычислительный аппарат, который позволил бы «вычислить
ответы» к различным логическим задачам. Такое исчисление было
создано в середине 19 века и опубликовано в 1854 году в книге
английского математика Джорджа Буля «Исследование законов мысли».
Оно получило название «алгебры логики» или «исчисление
высказываний». Этот математический аппарат в ряде случаев
действительно позволяет вычислить истину!
Высказывания. Операции над высказываниями.
Высказыванием называется предложение, относительно которого
можно сказать истинно оно или ложно.
«6 кратно 2», «число 1 является корнем уравнения х -1 = 0»
Каждое высказывание будем обозначать одной буквой: а, b, с и т.п.
Для алгебры логики важно одно: истинно ли данное высказывание
или оно ложно.
«Истина» и «ложь» называются значениями истинности высказывания.
Например, высказывание «равносторонний треугольник имеет
равные углы» - истинно, а высказывание «число 15 – четное» -ложно.
Определения понятий высказываниями не являются, хотя и имеют
повествовательную форму, поскольку представляют собой условное
соглашение о введении нового термина.
Не являются высказываниями и предложения «число х –
двузначное», «х > 5», так как относительно каждого из них нельзя
поставить вопрос: истинно оно или нет.
Из данных высказываний при помощи так называемых логических
связок, к которым относятся частица «не», союзы «и», «или», слова
«если…, то», «тогда и только тогда, когда…», образуются новые
высказывания.
Отрицанием высказывания а называется высказывание «неверно,
что а» или «не а», которое истинно, когда а ложно, и ложно, когда а
истинно.
Отрицание высказывания а обозначаюта.
Высказывание, составленное из данных высказываний а и b при
помощи союза «и» называют конъюнкцией и обозначают а  b (читают:
«а и b»).
Конъюнкция а  b считается истинным высказыванием, когда оба
высказывания истинны, и ложным, когда хотя бы одно из высказываний
ложно.
Исходя из данного определения конъюнкции можно найти значение
истинности предложения «число 2 нечетное и простое». Оно истинно,
так как представляет собой конъюнкцию двух истинных высказываний
«число 2 четное» и «число 2 простое». Предложение «число 12 четное и
простое» ложно, так как представляет собой конъюнкцию двух
высказываний, одно из которых ложно (число 12 не является простым)
Если высказывание составлено из высказываний а и b при помощи
союза «или», то его называют дизъюнкцией высказываний а и b и
обозначают а  b (читают: «а или b»).
Дизъюнкция а  b считается истинным высказыванием тогда и
только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний, и ложным,
когда оба высказывания ложны.
Предложение «число 12 четное или простое» истинно, так как
представляет собой дизъюнкцию двух высказываний, одно из которых
истинно (число 12 четное – истинное высказывание).
В математике союз «или» - неразделительный, т.е. допускается
возможность одновременного выполнения обоих условий. Так
высказывание « 12 кратно 3 или 4» согласно определению, считается
истинным, поскольку оба высказывания «12 кратно 3» и «12 кратно 4»
истинны.
В обычном р а з г о в о р е употребляем слово «или» в различных
смыслах.
«Он в прошлом году был в Болгарии или Румынии», а может быть и там
и там.
«Сейчас он в Болгарии или Румынии» (либо то, либо другое, но не то и
другое вместе).
При рассмотрении дизъюнкции имеют в виду употребление «или» в
первом смысле.
Импликацией двух высказываний а и b называется такое
высказывание, образованное при помощи слов «если…, то…»
Записывается а  b, читается «а влечет за собой» «если а, то b».
Высказывание а называют условием, а высказывание b – заключением.
Импликация считается ложным высказыванием только в том
случае, когда условие а истинно, а заключение b ложно.
Эквиваленцией (или двойной импликацией) называют высказывание,
образованное из двух данных высказываний а и b при помощи
слов«тогда и только тогда, когда…». Обозначают а  b.
Эквиваленция истинна в том и только в том случае, когда оба
высказывания а и b истинны или оба ложны.
Каждому высказыванию приписывают только одно из двух
значений истинности. В зависимости от этого говорят, что значение
истинности данного высказывания равно равно 1(И) или соответственно
0(Л).
Новые высказывания могут быть образованы при помощи
нескольких логических операций, причем каждая логическая операция
может применяться несколько раз. Порядок, в котором должны
проводиться операции, указывают с помощью скобок.
Если условие а и импликация а  b истинны, то истинно и
заключение b. В этом случае пишут а  b. И говорят: из а следует b.
Если из а следует b, а b из следует а, то высказывания а и b
называют равносильными.
Равносильные высказывания могут иметь различную форму.
Например,
а  b  b  ā
Законы де Моргана формулируют в виде правила: Чтобы
построить отрицание конъюнкции или дизъюнкции, достаточно
заменить отрицаниями составляющие её высказывания, при этом союз
«и» заменить союзом «или», и наоборот.
Высказывания, зависящие от переменной (предикаты).
Бывает, что высказывание зависит от каких- то переменных, и
значение истинности высказывания зависит от значений этих
переменных.
Например, когда мы говорим, «натуральное число х делится на
натуральное число у», то это предложение может быть как истинно, так и
ложно. Все зависит от того, какими окажутся числа х и у.
«В городе более миллиона жителей». Все зависит от того, какой город
имеется в виду.
Высказывание, истинность или ложность которого зависит от одного или
нескольких перееменных, называют предикатом.
По числу переменных, входящих в предикаты их делят на
одноместные, двухместные и т.д.
Обозначают: P(х,у), Q(х).
Одноместным предикатом, заданным на множестве Х, называется
предложение с переменной, которое обращается в высказывание при
подстановке в него значений переменной из множества Х.
Понятие предиката, содержащего две и более переменных
определяется аналогично.
Множество значений переменных, которые обращают предикат в
истинное высказывание, называют множеством истинности предиката.
Множество истинности предиката Т всегда является подмножеством
области определения предиката Т Х.
Некоторые предикаты имеют специальные названия.
f(x) = g(x) - уравнение,
f(x) > g(x), f(x) < g(x) – неравенства.
Множество истинности уравнений и неравенств называются
множеством их решений, а каждый элемент – решением уравнения или
неравенства. Для нахождения множества истинности уравнения или
неравенства их надо решить.
Знаки общности и существования(кванторы).
В математических предложениях (формулировках определений,
теорем и т.д.) часто повторяются целые слова и выражения.
Вместо слова “существует”, “найдётся” используется символ 
(перевёрнутая латинская буква Е от английского Exists - существует).
Вместо слов “любой”, “каждый”, “всякий”- символ  (от английского All
- любой).
 хХ существует элемент х, принадлежащий множеству Х
хХ любой элемент х, принадлежащий множеству Х
хХ: α для любого элемента х, принадлежащего множеству Х
выполняется утверждение α.
Для облегчения понимания и чтения утверждений, записываемых с
помощью логических символов, всё, что относится к каждому из них,
заключается в круглые скобки. Например,
(ε >0) (δ>0) (x≠a, |xa|<δ): |f(x)A|<ε.
Задачи
1. Постройте отрицания следующих высказываний:
1) 17 > 19; 2) число 141 простое или делится на 9;
3) в некотором поезде, идущем из Москвы в Ульяновск в каждом вагоне есть
(существует) свободное место;
4) в каждом городе России есть улица, на которой есть дом, все окна которого
выходят на север;
5) функция f определена на множестве всех вещественных чисел;
6) для любых двух данных чисел х и у найдётся рациональное число z, равное
их сумме z = х + у.
7) функция f обладает следующим свойством: если х и у различные
вещественные числа, то f (х)  f (у).
2. Даны два высказывания: а - «число 3 является делителем числа
174», b - «идет дождь». В чем заключаются высказывания:
ā, а  b, а  b, а  b, ā  b , а b .
Какие из них истинны, если а – истинно, b- ложно?
3. Составьте таблицу истинности для высказываний:
1) (а  b)  (а  b), 2) (а( b  а ))  а.
4. По мишени произведено три выстрела. Пусть высказывание аk –
«мишень поражена k -ым выстрелом» k= 1, 2, 3. Что означают
следующие высказывания:
1) а1  а2  а3, 2) а1  а2  а3, 3) (а1  а2 )  а3.
Какие из них истинны, если а3 – истинно, а1-ложно, а2 - ложно?
5. Упростить высказывания: 1) а  (а  b)  ( а  b),
2)
(а  b)  ((с  а)  b),
3) (с  b)  (а  b  с)  (а  b  с), 4)
а  b ( с  b).
6. На вопрос, кто из трех студентов изучал логику был получен
правильный ответ: если изучал первый, то изучал и третий, но
неверно, что если изучал второй, то изучал и третий. Кто изучал
логику?
7. Виктор, Роман, Юрий, Сергей заняли на математической олимпиаде
первые четыре места. Когда их спросили о распределении мест, они
дали три ответа: 1) Сергей – первое, Роман – второе; 2) Сергей –
второе, Виктор – третье; 3) Юрий – второе, Виктор – четвертое. Как
распределились места, если в каждом из ответов только одно
утверждение истинно?
8. В следующих предложениях вместо многоточия поставьте слова
«необходимо, но не достаточно», «достаточно, но необходимо»,
«необходимо и достаточно» так, чтобы получилось истинное
высказывание:
1) для того чтобы разность двух чисел была четной, …, чтобы обе
компоненты вычитания были четными;
2) для того чтобы вычитание было выполнимо в множестве натуральных чисел,
… чтобы уменьшаемое было больше вычитаемого;
3) для того чтобы a  b = 0, …, чтобы а = 0;
4) для того чтобы сумма двух положительных чисел была меньше 40, …, чтобы
хотя бы одно из слагаемых было меньше 20;
5) для того чтобы (а - 1)5 = 0, …, чтобы а = 1;
6) для того чтобы sin  = sin , …, чтобы  = ;
7) для того чтобы х3 = у3, …, чтобы х = у;
8) для того чтобы х = у, …, чтобы х2 = у2;
9) для того чтобы четырёхугольник был параллелограммом, … , чтобы его
противоположные стороны были равны;
10) для того чтобы четырёхугольник был ромбом, …, чтобы его
диагонали были взаимно перпендикулярны и делились в точке
пересечения пополам;
11) для того, чтобы 2n > 7, … , чтобы n > 4, где n - натуральное
число.
9. В чем состоит условие, необходимое и достаточное для того,
чтобы числа а, b и с составляли три последовательных члена:
а) арифметической прогрессии;
б) геометрической прогрессии?
Суммирование.
Пусть a1, a2, …, a n– заданные числа. В случае, когда число
слагаемых велико, запись их суммы
a1+
a2+ …+ an , становится довольно громоздкой. Чтобы записать эту сумму
компактно, употребляют знак суммы -  (заглавная греческая буква
n
«сигма»). Например, запись  a k представляет собой сокращенную
k 1
запись слагаемых a1, a2, … an, номера которых заключены между 1 и n:
n
 ak  a1  a2  ...  an ,
k 1
при этом k называют индексом суммирования.
Сумма не зависит от того, какой буквой обозначен индекс
суммирования, т.е.
n
n
n
 a   a   a .
i
j
k
k 1
i 1
j 1
Равенство
p
m p
  a
 a
k m
k
k 1
k m
называют формулой замены индекса суммирования.
Операция суммирования обладает свойством линейности.
Для любых чисел  и  имеет место равенство
n
n
n
 (ak  bk )   ak    bk .
k 1
k 1
k 1
Рассмотрим сумму, содержащую m · n слагаемых aij , где индексы i
и j принимают значения 1 i  n , 1  j  m.
Эта сумма обозначается
n
m
 aij
i 1 j 1
и называется двойной суммой.
n
или  aij
1i  n
1 j  m
Основные методы суммирования.
Нахождение суммы n членов арифметической прогрессии и
геометрической прогрессии непосредственно по формулам:
a  a2
2a  d (n  1)
Sn  1
 n ; Sn  1
n
2
Sn 
2
n
b1  bn q
; S n  b1 (1  q )
1 q
1 q
Нахождение сумм одинаковых степеней первых n натуральных
чисел
n
 k  1  2  ...  n ;
k 1
n
k
2
 12  2 2  ...  n 2 ;
k 1
n
k
3
 13  2 3  ...  n 3
k 1
3)Метод конечных разностей.
Задачу о вычислении сумм вида
n
S n   ak
, обычно рассматривают
k 1
как задачу о нахождении Sn как функции от n. В частности, если
существует вспомогательная последовательность (uk) такая, что для
всех k N справедливо равенство аk = uk+1 – uk (каждое слагаемое
суммы представимо в виде «конечной разности»), то
n
n
S n   a k =  (u k 1  u k ) = u 2  u1  u3  u 2  ...  u n  u n1  u n1  u n .
k 1
k 1
Тогда сумму легко вычислить:
n
S n =  (u k 1  u k ) =
k 1
u n1  u1 .
Этот прием вычисления конечных сумм носит название «метода
конечных разностей».
Например, дробь, у которой знаменатель представляет собой
произведение двух натуральных чисел, может быть представлена в виде
разности двух дробей.
Задачи
Задача 1. Используя сигма - символику, запишите следующие суммы:
1)
12 + 22 + 32 + … + 1002;
2)
a + (a + d) + (a + 2d) + …+ (a + (n -1)d);
3)
a + aq + aq2 + … +aqn-1.
1 3 5  7  9 ;
1 1 1
1
1
1
    
;
2 6 10 14 18 22
1 1 3 1 3  5 1 3  5  7



.
1 1  4 1  4  7 1  4  7  10
4)
5)
6)
7)
Задача 2. Напишите, не употребляя знак  , следующие суммы:
10
15
6
n 1
k 10
n 1
1)  1 ; 2)  n  k ; 3)  22
...

2 .
n( n  1)
n
Задача 3. Вычислите следующие суммы:
4
n
n
n
1) 1  4  7  10  ...  37  40 ; 2)  k ; 3)  k 2 ; 4)  k 3 ; 5)  k! ;
1  3  9  ...  729
k 1
5

k 2
p
p 1
k 1
k 1
4
n
n
n
k 0
k 1
k 1
k 1
; 7)  (1) k 1 (k  1) 3 ; 8)  k  k! ; 9)  k 4 ; 10)  k 5 .
n
m
Задача 4. Вычислить двойную сумму  aij , если
i 1 j 1
0, i  j
1) aij =
1, i = j
; 2) aij = i; 3) aij = i – j ; 4) aij = |i – j|.
k 0
6)
Метод математической индукции.
Понимание и умение
применять принцип
математической индукции является
хорошим критерием логической
зрелости, которая совершенно
необходима математику.
А.Н.Колмогоров.
Для доказательства истинности предложений А (n), определенных
на множестве натуральных чисел, т.е. истинности высказывания
 n A (n) , n  N,
часто применяется метод математической индукции. Впервые этот метод
встречается в трактате французского математика, физика и философа
Блеза Паскаля (1623-1662).
Метод основан на так называемом
принципе математической индукции.
Принцип математической индукции. Если утверждение А(n)
истинно для
n = 1 и из того, что оно истинно для n = k ( k
>1, k – произвольное натуральное число), следует, что оно
истинно и для следующего значения n = k + 1, то утверждение
А(n) истинно для любого натурального n.
Это утверждение принимается без доказательства и является аксиомой
(аксиомой индукции).
Таким образом, под методом математической индукции понимают
способ доказательства, который состоит из следующих частей:
1) База индукции. Проверяют истинность утверждения А(1).
2) Предположение индукции. Предполагают, что утверждение А(n)
истинно для
n = k, где k – произвольное натуральное число ( k
>1).
3) Индукционный шаг. Доказывают, что утверждение А(n) истинно и
для n = k + 1 (при доказательстве обязательно используется
предположение).
4) Вывод индукции. В силу произвольности k делают вывод о
справедливости данного утверждения для всех значений n на основании
принципа математической индукции.
Задача 1. Доказать равенство
1  3  5  ...  (2n  1)  n 2 .
Решение.
Это равенство представляет собой утверждение А(n), заданное на
множестве натуральных чисел. Докажем истинность А(n) для всех
значений n методом математической индукции.
1) Убедимся в истинности данного утверждения для n = 1. При n = 1
левая часть равенства состоит из одного слагаемого равного 1, а
правая часть равна 12. Так 1 = 12, то для n = 1 данное равенство
истинно, т.е. утверждение А(1): 1 = 12 – истинно.
2) Предположим, что утверждение А(k) истинно, т.е. справедливо
равенство
1  3  5  ...  (2k  1)  k 2
3) Исходя из предположения, докажем, что утверждение А(k + 1)
истинно, т.е. справедливо равенство
1  3  5  ...  (2k  1)  (2k  1)  (k  1) 2
Рассмотрим левую часть последнего равенства. По
предположению сумма первых k слагаемых равна k2 и потому
1  3  5  ...  (2k  1)  (2k  1)  k 2  2k  1  (k  1) 2 .

k2
Следовательно, истинность данного равенства для n = k + 1
доказана.
4) В силу произвольности k на основании принципа
математической индукции данное равенство верно для любого
натурального n.
Задача 2. Доказать, что для любого натурального числа n 8 n  6
кратно 7.
Решение.
Обозначим через А(n) утверждение « 8 k  6 кратно 7».
1) Утверждение А(1) « 81 + 6 кратно 7» – истинно, так как 14 кратно
7.
2) Предположим, что А(k) « 8 k  6 кратно 7» - истинно.
3) Исходя из предположения, докажем, что утверждение А(k + 1)
k 1
« 8  6 кратно 7» - истинно.
Преобразуем выражение 8 k 1  6 к виду 8 k  8  6 . Если к этому
выражению сначала прибавить, а затем вычесть произведение 8 6 , то
получим
8 k  8  6 + 8 6  8 6 = 8 k  8  8  6  8  6  6 = 8  (8 k  6)  42 .
В полученном выражении 8 k  6 кратно 7 по предположению. Число
42 также делится на 7, следовательно, вся разность кратна 7.
4) Таким образом, данное утверждение истинно для n = 1 и из
истинности его для n = k следует истинность для n = k + 1. В силу
произвольности k по принципу математической индукции данное
утверждение истинно для любого натурального n.
Задача 3. Если х > -1, то для любого натурального n справедливо
неравенство
Бернулли
(1  х) n  1  nx .
Решение.
1) Если n = 1, то неравенство истинно, так как обращается в верное
равенство
1 х  1 x .
2) Предположим, что неравенство верно для n = k, т.е.
(1  х) k  1  kx .
3) Используя это предположение, докажем, что неравенство верно и
для n = k + 1.
(1  х) k 1  1  (k  1) x
По условию 1 + x > 0, поэтому умножив каждую часть
неравенства (1  х) k  1  kx на
1+ x, получим
(1  х) k 1  (1  x)(1  kx)  1  x  kx  kx 2  1  (k  1) x  kx2 .
Отбросив в правой части последнего неравенства положительное
слагаемое kx2,
получим неравенство
(1  х) k 1  1  (k  1) x .
4) Предположив, что данное неравенство верно для n = k , мы
доказали, что оно верно и для n = k + 1. Доказательство остается
справедливым для каждого значения k. В силу принципа математической
индукции доказана справедливость данного неравенства для любого
натурального n и х > -1.
Задача 4. Найдите ошибку в приводимом ниже доказательстве
предложения
«Все числа равны между собой».
Решение. Обозначим через А(n) предложение «Любые n чисел
равны между собой».
А(1) справедливо, так как одно число равно самому себе. Докажем, что
из А( k ) следует А( k + 1). Занумеруем данные (k + 1) чисел номерами от
1 до ( k + 1). Тогда в силу А( k ) первые k чисел равны между собой; в
частности, все эти числа равны k – му числу. Числа со второго по (k + 1)
– е также равны между собой в силу А( k );
в частности (k + 1) – е
число равно k – му числу. Итак, все (k + 1) числа равны между собой (все
они равны k – му числу).
Задача 5. Доказать, что при п  2 справедливо неравенство
1
1
1
п  1

 ... 
2 n.
2
3
n
Решение. Базис индукции: при n = 2 верно то, что
1
2  1
2 2.
2
Пусть при n = k, где k – произвольное натуральное число ( k  2) верно
неравенство:
k  sk  2 k ,

1
k  1  sk 1  2 k  1 , s k 1  1 
1
где sk
 1
1
2
3
 ... 
1
n
.
Докажем, что тогда
Имеем
s k 1  s k 
а)
s k 1  k 
б)
s k 1  2 k 
1
k 1
1
1
k 1
1
3
 ... 
1
k

1
k 1
.
.
 k 1,
k 1
2

так как
 2 k 1,
так как
k2  k  k ,
2 k 2  k  2k  1 .
Таким образом, методом математической индукции неравенство
доказано.
Задачи
1. Доказать, что при всех натуральных значениях n верны
равенства:
1) 1  2  3  ...  n  n(n  1) ;
2
2) 12  2 2  32  ...  n 2  n(n  1)(2n  1) ;
3)
6
1
1
1
1
n


 ... 

;
1  4 4  7 7  10
(3n  2)(3n  1) 3n  1
2.Доказать, что при всех натуральных значениях n:
1) 7 n  3 n 1 кратно 4;
2) 9 n1  18n  9 делится нацело на 18;
3) n 3  n кратно 3.
3. Доказать справедливость следующих неравенств для всех
натуральных n >1:
1) n  1  1  1  ...  n1  n ;
2
2)
2
2 1
3
 n 1
n! 

 2 
n
.
4. Найти S n и доказать справедливость полученного вывода
методом математической индукции, если
1) S n  1  1  1  1  ...  1 ;
1 2
2)
23
3 4
45
k2
k 1 (2k  1)( 2k  1)
n
Sn  
n(n  1)
Бином Ньютона.
Для любых чисел a, b и любого n N справедлива формула бинома
Ньютона:
(a  b) n  Cn0a n  C1n a n1b  ...  Cnk a nk b k  ...  Cnnb n
или
n
(a  b) n   Сnk a nk b k ,
k 0
n(n 1)...(n  (k 1))
где Cn0  1, Cnk 
(k = 1, 2, …, n).
k!
Числа Cnk называют коэффициентами разложения или биномиальными
коэффициентами.
Полагая в формуле бинома Ньютона а = 1, b = х, получаем
n
(1  x) n   С.kn x k .
k 0
Биномиальные коэффициенты обладают следующими свойствами:
1. C nk = C nnk ,
2. C nk + C nk 1 = C nk1 .
n
3.  С.kn = 2n.
k 0
n
4.  (1) k С.kn = 0
k 0
Задача 1. Написать формулу бинома Ньютона:
1) (1  x) 5 ; 2) (a  b) 6 ; 3) (a  b) 7 .
Задача 2. В разложении
Задача 3. В разложении
целыми числами.
( х3
1
х
)16
( 2  3 3)5
найти слагаемое, содержащее x3.
найти слагаемые, являющиеся
Задача 4. В разложении ( 5  2 ) 8 найти слагаемые, являющиеся
целыми числами.
Задача 5. Найти наибольший член разложения (1  2 ) 30 .
Задача 6. Найти наибольший коэффициент многочлена:
1) ( 1  3 х) 4 ; 2) ( 1  2 х)10 .
4
4
3
3