Ф.К.Мацур.Математика.Контрольные работы.(2 010 Кб)

УДК 51(075.8)
В
Составители: Ф. К. Мацур
937
Рецензенты:
Кандидат физико-математических наук
доцент Степанова Г. В.
(Чувашский государственный педагогический университет)
Кандидат физико-математических наук
доцент Мерлин А. В.
(Чувашский государственный университет)
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА: Планы учебных занятий и контрольные задания для
студентов дневного отделения химического факультета/ Сост. Ф. К. Мацур. Чуваш. ун-т.
Чебоксары, 2005. 48 с.
Представлены: программа курса «Высшая математика», планы лекционных и
практических занятий, список литературы, примерные экзаменационные вопросы, указания
по выполнению контрольных работ, контрольные задания по разделам: элементы векторной
алгебры и аналитической геометрии; элементы линейной алгебры; теория пределов;
производная и дифференциал; приложение дифференциального исчисления; неопределенные
и определенные интегралы; функция нескольких переменных; кратные интегралы;
дифференциальные уравнения; ряды; теория вероятностей и математическая статистика.
Ответственный редактор: доктор педагогических наук, профессор Н. И. Мерлина
Утверждено Методическим советом университета
УДК 51(075.8)
© Ф. К. Мацур, 2005 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Высшее учебное заведение должно в процессе обучения обеспечивать условия для
формирования личности, обладающей высокой общей культурой, фундаментальной
профессиональной подготовкой, готовностью самостоятельно осваивать новые знания и
овладевать новой техникой и технологиями.
В современной науке и технике математические методы исследования,
моделирования и проектирования играют все большую роль. Это обусловлено прежде всего
быстрым ростом вычислительной техники, благодаря которой все время существенно
расширяются возможности успешного применения математики при решении конкретных
задач.
Математика
является
фундаментальной
дисциплиной.
Ее
преподавание
предусматривает:
развитие логического и алгоритмического мышления;
овладение методами исследования и решения математических задач;
овладение основными численными методами математики и их простейшими
реализациями на ЭВМ;
выработку умения самостоятельно расширять математические знания и проводить
математический анализ прикладных (химических) задач.
Общий курс математики является фундаментом математического образования
химика, имеющим важное значение для успешного изучения общетеоретических и
специальных дисциплин, предусмотренных учебными планами различных специальностей.
Объем и содержание курса высшей математики определяются учебными планами и
программой и не зависят от формы обучения (дневная, вечерняя, заочная), но методика
изучения его при различных формах обучения различна.
Настоящее пособие предназначено для студентов 1 и 2 курсов дневного отделения
химического факультета. Оно содержит программу курса «Высшая математика», планы
лекционных и практических занятий, список литературы, примерные экзаменационные
вопросы, указания по выполнению контрольных работ, контрольные задания по разделам:
элементы векторной алгебры и аналитической геометрии; элементы линейной алгебры;
производная и ее приложение; приложение дифференциального исчисления;
неопределенные и определенные интегралы; дифференциальные уравнения; теория
вероятностей и математическая статистика.
Свои замечания и пожелания можно присылать по адресу: 428015, г. Чебоксары,
Московский пр., 15, математический факультет, кафедра алгебры и геометрии или по e-mail:
[email protected]
ПРОГРАММА
КУРСА
«Высшая математика»
Аналитическая геометрия и элементы высшей алгебры
Линейная и векторная алгебра
Определители второго и третьего порядков. Минор. Алгебраические дополнения.
Свойства определителя. Определитель n – го порядка.
Системы линейных уравнений. Правило Крамера. Число решений системы
(исследование с помощью определителей). Метод Гаусса. Эквивалентные системы. Число
решений системы (по методу Гаусса).
Матрицы и действия над ними. Ранг матрицы и его вычисление. Теорема о базисном
миноре (без доказательства). Теорема Кронекера – Капелли (без доказательства). Обратная
матрица. Матричное уравнение. Матричный метод решения систем линейных уравнений.
Векторы. Линейные операции над векторами. Координаты вектора. Переход от
векторных соотношений к координатным.
Деление отрезка в данном соотношении. Линейная зависимость векторов. Скалярное
произведение векторов. Ориентация тройки векторов. Векторное и смешанное произведение
векторов.
Аналитическая геометрия
Прямая на плоскости. Задачи на прямую. Геометрический смысл системы уравнений
и системы неравенств с двумя переменными.
Окружность, эллипс, гипербола и парабола. Вывод канонических уравнений и
исследование формы кривых. Директрисы кривых второго порядка.
Параллельный перенос и поворот осей координат на плоскости. Приведение общего
уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.
Плоскость и прямая в пространстве трех измерений. Формы записи уравнений. Задачи
на прямую и плоскость в пространстве. Геометрический смысл системы линейных
уравнений с тремя переменными и ее решения.
Поверхности второго порядка в пространстве трех измерений.
Комплексные числа. Многочлены
Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы
комплексного числа. Операции с комплексными числами. Формула Эйлера.
Многочлены в комплексной области. Теорема Безу. Разложение многочлена. Условие
тождественности двух многочленов.
Математический анализ
Теория пределов
Переменная величина. Функциональная зависимость. Способы задания функций.
Классификация функций. Числовая последовательность. Предел последовательности.
Теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности.
Число е как предел последовательности. Теорема о представлении последовательности,
имеющей предел. Основные свойства пределов.
Предел функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно
большие функции. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы.
Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые и использование их
при вычислении пределов. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции.
Непрерывность функции на отрезке. Свойства непрерывных на отрезке функций.
Производная и ее приложения
Производная
функции.
Геометрический
смысл
производной.
Правила
дифференцирования. Свойства некоторых функций (логарифмической, показательной).
Формулы дифференцирования. Производные высших порядков.
Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность
формы дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
Свойства дифференциала. Дифференциалы высших порядков.
Теоремы Лагранжа, Ролля, Коши. Формула Тейлора с остаточным членом в форме
Лагранжа. Представление функций по формуле Тейлора. Правило Лопиталя – Бернулли.
Признаки постоянства возрастания и убывания функции. Точки экстремума.
Необходимое условие существования экстремума дифференцируемой функции.
Достаточные условия существования экстремума. Направления выпуклости графика
функции. Точки перегиба. Асимптоты. Общая схема исследования функции.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функций.
Задачи на наибольшее и наименьшее значения функции.
Приближенное решение алгебраических уравнений. Отделение корней. Методы хорд,
касательных, комбинированный.
Интегралы
Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства интеграла. Таблица основных
интегралов. Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента. Методы
интегрирования. Интегрирование некоторых выражений, содержащих квадратный трехчлен.
Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений.
Интегрирование некоторых иррациональных выражений с помощью подстановок.
Интегральная сумма. Определенный интеграл. Свойства определенного интеграла.
Теорема о среднем. Формула Ньютона – Лейбница. Замена переменной в определенном
интеграле. Интегрирование по частям. Несобственные интегралы.
Приложения определенного интеграла. Приближенное вычисление определенного
интеграла.
Функции нескольких переменных
Функции нескольких переменных: определение и геометрический смысл, частное и
полное приращение, непрерывность, частные производные. Полное приращение и полный
дифференциал. Производная сложной функции. Касательная плоскость и нормаль к
поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. Производная неявной
функции. Частные производные высших порядков. Признак полного дифференциала.
Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.
Поверхности уровня. Производная по направлению. Градиент. Свойства градиента.
Максимум и минимум функции нескольких переменных. Условный экстремум. Метод
наименьших квадратов.
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.
Элементы теории поля
Двойной интеграл. Двукратный интеграл. Вычисление двойного интеграла путем
сведения к двукратному.
Уравнения поверхностей в пространстве трех измерений. Вычисление площадей и
объемов с помощью двойного интеграла. Двойной интеграл в полярных и криволинейных
координатах.
Тройной интеграл в декартовых, цилиндрических и сферических координатах.
Вычисление объемов с помощью тройного интеграла.
Криволинейные интегралы по длине дуги и координатам. Нахождение площади
области и работы переменной силы. Формула Грина. Условие независимости
криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Поверхностные интегралы по площади поверхности и координатам. Свойства и
вычисление интегралов.
Гидромеханический смысл поверхностного интеграла второго рода. Формула
Остроградского – Гаусса. Формула Стокса.
Дифференциальные уравнения
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Общие определения. Задачи
Коши. Общее и частное решения. Геометрический смысл уравнения и решений. Уравнения с
разделяющимися переменными.
Однородные и приводящиеся к ним уравнения. Линейные уравнения. Уравнения
Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие
понижение порядка.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка, однородные и
неоднородные. Основные свойства частных решений. Определитель Вронского.
Фундаментальная система решений. Линейные однородные уравнения с постоянными
коэффициентами. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.
Структура общего решения. Метод вариации произвольных постоянных. Метод подбора
частного решения. Линейные уравнения высших порядков.
Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Решение систем
методом исключения неизвестных. Приближенное решение дифференциальных уравнений
методом Эйлера.
Ряды
Числовой ряд. Сумма ряда. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак
сходимости ряда. Сравнение рядов с положительными членами.
Признаки сходимости Даламбера, Коши, интегральный. Знакочередующийся ряд.
Абсолютная и условная сходимость.
Функциональные ряды. Признак равномерной сходимости. Свойства равномерно
сходящихся рядов.
Степенные ряды. Радиус сходимости. Свойства сходящихся рядов. Ряды Тейлора и
Маклорена. Примеры разложений. Применение рядов в приближенных вычислениях.
Ряды Фурье (для функций с периодом 2 и 2l). Разложение четных и нечетных
функций, непериодических функций.
Ряды Фурье в комплексной форме. Интеграл Фурье.
Теория вероятности
Случайные события
Случайные события. Вероятность события. Различные определения вероятности.
Примеры непосредственного вычисления вероятности с основными формулами
комбинаторики.
Теоремы сложения и умножения вероятностей. Теорема сложения вероятностей
совместных событий. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
Повторение испытаний. Формулы Бернулли и Пуассона. Наивероятнейшее число
наступления события в n – испытаниях. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
Случайные величины
Случайные величины – дискретные и непрерывные. Закон распределения случайной
величины. Биноминальное распределение. Распределение Пуассона. Простейший поток
событий.
Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной
величины. Нормальное распределение.
Математическое ожидание и дисперсия дискретной и непрерывной случайной
величины.
Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.
Центральная предельная теорема. Правило «трех сигм».
Элементы математической статистики. Выборочный метод. Оценка параметров по
выборке. Доверительная вероятность. Доверительный интервал. Статистическая проверка
гипотез. Математическая обработка результатов наблюдений.
Список рекомендуемой литературы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
В. С. Шипачев. Высшая математика. М. 2001.
А. А. Гусак. Высшая математика. Т. 1, 2. Минск. 1983.
А. А. Гусак. Пособие к решению задач по высшей математике. Минск. 1973.
В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Основы математического анализа в 2-х частях. М. 1973.
В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Аналитическая геометрия.
Н. С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. М. 1962.
В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович. Краткий курс высшей математики. М. 1975.
Сборник задач по курсу высшей математике под ред. Г. И. Кручковича. М. 1973.
Руководство к решению задач по высшей математике в 2-х частях под ред.
Е.
И. Гурского. Минск. 1990.
П. Е. Данко, А. Г. Попов. Высшая математика в упражнениях и задачах в 2-х частях.
М. 1986.
М. Л. Краснов. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.
1978.
В. Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. М. 1977.
В. Е. Гмурман. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистики. М. 1979.
М. Я. Выгодский. Справочник по высшей математике. М. 1975.
Ю. С. Арутюнов, А. П. Полозков, Д. П. Полозков. Высшая математика: методические
указания и контрольные задания (с программой) для студентов – заочников
инженерно – технических специальностей высших учебных заведений/ Под ред. Ю. С.
Арутюнова. М.: Высшая школа. 1981.
ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ЛЕКЦИОННОГО МАТЕРИАЛА
Специальность – химия
I семестр (3 ч в неделю, всего 54 ч.)
Линейная и векторная алгебра (18 ч)
1 – 2.
3 – 4.
5 – 6.
7 – 8.
9 –10.
11 – 12.
13 – 14.
15 – 16.
17 – 18.
Определители второго и третьего порядков. Минор. Алгебраические
дополнения. Свойства определителя.
Матрицы и действия над ними. Ранг матрицы и его вычисление.
Системы линейных уравнений. Правило Крамера. Число решений системы
(исследование с помощью определителей).
Матричное уравнение. Матричный метод решения систем линейных
уравнений. Обратная матрица. Метод Гаусса. Число решений системы (по
методу Гаусса).
Эквивалентные системы. Теорема о базисном миноре (без доказательства).
Теорема Кронекера – Капелли (без доказательства). Исследование систем
линейных уравнений.
Прямоугольная система координат. Понятие вектора. Проекция вектора на ось
и на оси координат. Направляющие косинусы вектора.
Линейные операции над векторами и их свойства. Теоремы о проекциях
векторов. Разложение вектора по базису.
Скалярное произведение векторов. Выражение через декартовы координаты.
Ориентация тройки векторов. Векторное и смешанное произведение векторов.
Выражение через декартовы координаты. Геометрический смысл.
Аналитическая геометрия (22 ч)
19 – 20.
21 – 22.
23 – 24.
25 – 26.
27 – 28.
29 – 30.
31 – 32.
33 – 34.
Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости (расстояние между
двумя точками, площадь треугольника, деление отрезка в данном отношении).
Полярные координаты. Преобразование прямоугольных координат.
Уравнение линии на плоскости. Линии первого порядка (уравнение прямой с
угловым коэффициентом, уравнение прямой, проходящей через данную точку,
с данным угловым коэффициентом, уравнение прямой, проходящей через две
данные точки, угол между двумя прямыми, условие параллельности и
перпендикулярности двух прямых).
Линии первого порядка (общее уравнение прямой, неполное уравнение первой
степени, уравнение прямой в «отрезках», нормальное уравнение прямой).
Расстояние от точки до прямой.
Линии второго порядка. Эллипс. Вывод канонического уравнения и
исследование формы кривой. Окружность – как частный случай эллипса.
Гипербола. Вывод канонического уравнения и исследование формы кривой.
Парабола. Вывод канонического уравнения и исследование формы кривой.
Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.
Классификация линий второго порядка.
Уравнения плоскости (общее уравнение плоскости, исследование общего
уравнения плоскости, уравнение плоскости в «отрезках», уравнение плоскости,
35 – 36.
37 – 38.
39 –40.
проходящей через три точки, нормальное уравнение плоскости). Расстояние от
точки до плоскости. Угол между двумя плоскостями. Взаимное расположение
плоскостей.
Прямая в пространстве (векторно – параметрическое уравнение прямой,
параметрические уравнения прямой, канонические уравнения прямой,
уравнения прямой, проходящей через две данные точки). Угол между двумя
прямыми. Взаимное расположение прямых в пространстве.
Задачи на прямую и плоскость в пространстве (прямая как пересечение двух
плоскостей, взаимное расположение прямой и плоскости, угол между прямой и
плоскостью).
Уравнение цилиндрической поверхности. Поверхности второго порядка
(эллипсоид, однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид,
эллиптический параболоид, гиперболический параболоид, конус второго
порядка).
Теория пределов (14 ч)
41 – 42.
43 – 44.
45 – 46.
47 – 48.
49 – 50.
51 – 52.
53 – 54.
Числовые множества. Понятие функции.
Предел функции. Бесконечно малые функции и их свойства.
Бесконечно большие функции. Связь бесконечно малых и бесконечно больших
функций. Основные теоремы о пределах.
Раскрытие неопределенностей. Непрерывность функции в точке. Точки
разрыва функции. Непрерывность функции на промежутке.
Предел последовательности.
Число е как предел последовательности. Замечательные пределы.
Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые и
использование их при вычислении пределов.
II семестр (3 ч в неделю, всего 51 ч.)
Производная и ее приложения (12 ч)
1 – 2.
3 – 4.
5 – 6.
7 – 8.
9 –10.
11 – 12.
Задачи, приводящие к понятию производной. Понятие производной, ее
геометрический и физический смысл.
Производные некоторых функций. Основные правила дифференцирования.
Производная сложной функции.
Основные формулы дифференцирования (логарифмической функции,
показательной
функции,
тригонометрических
функций,
обратных
тригонометрических функций, неявной функции, параметрической функции).
Производные высших порядков.
Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Свойства
дифференциала. Дифференциалы высших порядков.
Теоремы Лагранжа, Ролля, Коши. Правило Лопиталя – Бернулли.
Приближенное решение алгебраических уравнений. Отделение корней.
Методы хорд, касательных, комбинированный.
Комплексные числа (2 ч.)
13 – 14.
Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная
формы комплексного числа. Операции с комплексными числами.
Интегралы (26 ч.)
15 – 16.
17 – 18.
19 – 20.
21 – 22.
23 – 24.
25 – 26.
27 – 28.
29 – 30.
31 – 32.
33 – 34.
35 – 36.
37 – 38.
39 – 40.
Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства интеграла. Таблица
основных интегралов. Независимость вида неопределенного интеграла от
выбора аргумента.
Понятия об основных методах интегрирования.
Интегрирование рациональных дробей с квадратным трехчленом в
знаменателе.
Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование тригонометрических выражений.
Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций.
Задачи, приводящие к интегральным суммам и их пределам. Понятие
определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла.
Основные свойства определенного интеграла. Оценка определенного
интеграла. Теорема о среднем.
Существование первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона
– Лейбница.
Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.
Приближенное вычисление определенного интеграла.
Несобственные интегралы.
Приложения определенного интеграла.
Функции нескольких переменных (11 ч.)
41 – 42.
43 – 44.
45 – 46.
47 – 48.
49 – 51.
Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Частные
производные функции нескольких переменных. Полный дифференциал
функции нескольких переменных.
Дифференциалы высших порядков. Дифференцирование сложных функций.
Дифференцирование неявных функций.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл
полного дифференциала первого порядка.
Производная по направлению. Градиент скалярного поля.
Экстремум функции нескольких переменных. Условный экстремум. Семейства
линий на плоскости. Огибающая однопараметрического семейства линий.
Метод наименьших квадратов.
III семестр (3 ч в неделю, всего 54 ч.)
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.
Элементы теории поля (24 ч)
1 – 2.
3 – 4.
5 – 6.
7 – 8.
9 –10.
Задачи, приводящие к двойным интегралам. Двойной интеграл.
Свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла в
прямоугольных декартовых координатах.
Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных
координатах. Приложения двойного интеграла.
Тройной интеграл. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл
в цилиндрических и сферических координатах.
Приложения тройного интеграла.
11 – 12.
13 – 14.
15 – 16.
17 – 18.
19 – 20.
21 – 22.
23 – 24.
Задачи, приводящие к понятию криволинейного интеграла. Криволинейный
интеграл первого рода.
Криволинейный интеграл второго рода. Связь между криволинейными
интегралами первого и второго рода.
Приложения криволинейных интегралов. Формула Грина.
Задачи, приводящие к понятиям интегралов по поверхности. Понятия
интегралов по поверхности.
Вычисление интегралов по поверхности. Приложения интегралов по
поверхности.
Формула Стокса. Формула Остроградского.
Поток, расходимость, циркуляция, вихрь. Векторная формулировка теорем
Остроградского и Стокса. Признак полного дифференциала.
Ряды (18 ч.)
25 – 26.
27 – 28.
29 – 30.
31 – 32.
33 – 34.
35 – 36.
37 – 38.
39 – 40.
41 – 42.
Сходимость и расходимость числовых рядов. Необходимый признак
сходимости ряда.
Признаки сходимости рядов с положительными членами. Признак Даламбера.
Признак Коши.
Интегральный признак сходимости. Знакочередующиеся ряды. Признак
Лейбница.
Абсолютная сходимость рядов. Действия над рядами.
Сходимость функциональных последовательностей и рядов. Равномерная
сходимость функциональных последовательностей и рядов.
Свойства равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля.
Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
Непрерывность
суммы
степенного
ряда.
Интегрирование
и
дифференцирование степенных рядов. Разложение в степенные ряды
некоторых функций.
Ряды Тейлора и Маклорена. Приложения рядов.
Тригонометрический ряд Фурье. Сходимость ряда Фурье для кусочно –
дифференцируемой функции. Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Ряд
Фурье для функции, заданной на отрезке [-l, l].
Дифференциальные уравнения (12 ч.)
43 – 44.
45 – 46.
47 – 48.
49 – 50.
51 – 52.
53 – 54.
Основные сведения о дифференциальных уравнениях. Дифференциальные
уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.
Однородные и приводящиеся к ним дифференциальные уравнения первого
порядка.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение
Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
Приближенные методы интегрирования дифференциальных уравнений.
Некоторые интегрируемые типы дифференциальных уравнений n-го порядка.
Уравнения, допускающие понижение порядка.
Линейные однородные уравнения n-го порядка. Линейные однородные
уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Линейные неоднородные
уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Метод
вариации
произвольных
постоянных.
Системы
линейных
дифференциальных уравнений первого порядка.
IV семестр (2 ч в неделю, всего 34 ч.)
Случайные события (12 ч)
1 – 2.
3 – 4.
5 – 6.
7 – 8.
9 –10.
11 – 12.
Испытания и события. Виды случайных событий. Классическое определение
вероятности. Основные формулы комбинаторики. Примеры непосредственного
вычисления вероятностей.
Относительная
частота.
Устойчивость
относительной
частоты.
Ограниченность классического определения вероятности. Статистическая
вероятность. Геометрическая вероятность.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Полная группа
событий. Противоположные события. Принцип практической невозможности
маловероятных событий.
Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения
вероятностей. Независимые события. Теорема умножения для независимых
событий. Вероятность появления хотя бы одного события.
Теорема сложения вероятностей совместных событий. Формула полной
вероятности. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса.
Формула Бернулли. Локальная теорема Лапласа. Интегральная теорема
Лапласа. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной
вероятности в независимых испытаниях.
Случайные величины (22 ч.)
13 – 14.
15 – 16.
17 – 18.
19 – 20.
21 – 22.
23 – 24.
25 – 26.
27 – 28.
Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон
распределения вероятностей дискретной случайной величины. Биноминальное
распределение. Распределение Пуассона. Простейший поток событий.
Числовые характеристики дискретных случайных величин. Математическое
ожидание дискретной случайной величины. Вероятностный смысл
математического
ожидания.
Свойства
математического
ожидания.
Математическое ожидание числа появлений события в независимых
испытаниях.
Целесообразность введения числовой характеристики рассеяния случайной
величины. Отклонение случайной величины от ее математического ожидания.
Дисперсия дискретной случайной величины. Формула для вычисления
дисперсии. Свойства дисперсии.
Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях. Среднее
квадратическое отклонение. Среднее квадратическое отклонение суммы
взаимно независимых случайных величин. Одинаково распределенные
независимые случайные величины. Начальные и центральные теоретические
моменты.
Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева.
Сущность теоремы Чебышева. Значение теоремы Чебышева для практики.
Теорема Бернулли.
Определение функции распределения. Свойства функции распределения.
График функции распределения.
Определение плотности распределения. Вероятность попадания непрерывной
случайной величины в заданный интервал. Нахождение функции
распределения по известной плотности распределения. Свойства плотности
распределения. Вероятностный смысл плотности распределения. Закон
равномерного распределения вероятностей.
29 – 30.
31 – 32.
33 – 34.
Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Нормальное
распределение. Нормальная кривая. Влияние параметров нормального
распределения на форму нормальной кривой. Вероятность попадания в
заданный интервал нормальной случайной величины.
Вычисление вероятности заданного отклонения. Правило трех сигм. Понятие о
теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы. Оценка
отклонения теоретического распределения от нормального.
Функция одного случайного аргумента и ее распределение. Математическое
ожидание функции одного случайного аргумента. Функция двух случайных
аргументов. Распределение суммы независимых слагаемых. Устойчивость
нормального распределения. Распределение «хи квадрат». Распределение
Стьюдента. Распределение F Фишера – Снедекора.
ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
Специальность – химия
I семестр (3 ч в неделю, всего 54 ч.)
Линейная и векторная алгебра (18 ч)
1 – 2.
3 – 4.
5 – 6.
7 – 8.
9 –10.
11 – 12.
13 – 14.
15 – 16.
17 – 18.
Определители второго и третьего порядков. Минор, алгебраические
дополнения. Вычисления определителей с числовыми элементами.
Системы линейных уравнений. Правило Крамера.
Матрицы и действия над ними. Ранг матрицы и его вычисление.
Матричное уравнение. Матричный метод решения систем линейных
уравнений. Обратная матрица.
Метод Гаусса. Число решений системы (по методу Гаусса).
Сложение векторов. Умножение вектора на скаляр.
Прямоугольные координаты точки и вектора в пространстве.
Скалярное произведение векторов. Выражение через декартовы координаты.
Векторное и смешанное произведение векторов. Выражение через декартовы
координаты. Геометрический смысл.
Аналитическая геометрия (22 ч)
19 – 20.
21 – 22.
23 – 24.
25 – 26.
27 – 28.
29 – 30.
31 – 32.
33 – 34.
35 – 36.
37 – 38.
39 –40.
Координаты точки на прямой и на плоскости. Расстояние между двумя
точками. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника.
Уравнение линии как геометрического места точек.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом, общее и уравнение прямой в
«отрезках».
Угол между прямыми. Уравнение прямой, проходящей через данную точку, с
данным угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через две
данные точки.
Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.
Эллипс.
Гипербола.
Парабола.
Уравнения плоскости. Основные задачи на плоскость.
Уравнения прямой в пространстве.
Задачи на прямую и плоскость в пространстве.
Теория пределов (14 ч)
41 – 42.
Свойства пределов. Раскрытие неопределенностей вида
43 – 44.
Предел отношения
45 – 46.
47 – 48.
49 – 50.
51 – 52.
53 – 54.
sin 
0

и .
0

при   0 .

Неопределенности вида    и 0   .
Смешанные примеры на вычисление пределов.
Сравнение бесконечно малых.
Непрерывность функции.
Число е.
II семестр (3 ч в неделю, всего 51 ч.)
Производная и ее приложения (12 ч)
1 – 2.
3 – 4.
5 – 6.
7 – 8.
9 –10.
11 – 12.
Производные алгебраических и тригонометрических функций. Производная
сложной функции.
Касательная и нормаль к плоской кривой. Производные логарифмических и
показательных функций.
Производные обратных тригонометрических функций. Смешанные примеры и
задачи на дифференцирование.
Производные высших порядков. Производная неявной функции.
Дифференциал функции. Производная параметрической функции.
Правило Лопиталя – Бернулли. Задачи о наибольших и наименьших значениях
величин.
Комплексные числа (2 ч.)
13 – 14.
Комплексные числа. Алгебраическая и тригонометрическая
комплексного числа. Операции с комплексными числами.
Интегралы (26 ч.)
15 – 16.
17 – 18.
19 – 20.
21 – 22.
23 – 24.
25 – 26.
27 – 28.
29 – 30.
31 – 32.
33 – 34.
35 – 36.
37 – 38.
39 – 40.
Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование.
Интегрирование подстановкой.
dx
dx
dx
Интегралы вида  2
, 
, 
и к ним приводящиеся.
2
2
2
x a
a x
x2  k
Интегрирование по частям.
Интегрирование тригонометрических функций.
Интегрирование рациональных алгебраических функций.
Интегрирование некоторых иррациональных алгебраических функций.
Интегрирование некоторых трансцендентных функций.
Смешанные примеры на интегрирование.
Вычисление определенного интеграла. Вычисление площадей.
Объем тела вращения.
Длина дуги плоской кривой. Площадь поверхности вращения.
Несобственные интегралы.
формы
Функции нескольких переменных (11 ч.)
41 – 42.
43 – 44.
45 – 46.
47 – 48.
49 – 51.
Частные производные 1-го порядка. Полный дифференциал 1-го порядка.
Дифференцирование сложных функций. Дифференцирование неявных
функций.
Дифференциалы высших порядков. Огибающая семейства плоских кривых.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Производная по
направлению. Градиент скалярного поля.
Экстремум функции нескольких переменных. Условный экстремум.
III семестр (3 ч в неделю, всего 54 ч.)
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.
Элементы теории поля (24 ч)
1 – 2.
3 – 4.
5 – 6.
7 – 8.
9 –10.
11 – 12.
13 – 14.
15 – 16.
17 – 18.
19 – 20.
21 – 22.
23 – 24.
Вычисление двойного интеграла.
Замена переменных в двойных интегралах. Двойные интегралы в полярных
координатах.
Приложения двойных интегралов.
Вычисление тройных интегралов.
Приложения тройных интегралов.
Вычисление криволинейных интегралов.
Формула Остроградского - Грина. Условия независимости криволинейного
интеграла от пути интегрирования.
Приложения криволинейных интегралов.
Вычисление интегралов по поверхности.
Приложения интегралов по поверхности.
Дивергенция векторного поля. Ротор векторного поля.
Поток векторного поля. Работа векторного поля.
Ряды (10 ч.)
25 – 26.
27 – 28.
29 – 30.
31 – 32.
33 – 34.
Сходимость числовых рядов. Признаки сходимости рядов с положительными
членами.
Степенные ряды.
Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.
Применение рядов в приближенных вычислениях.
Ряды Фурье.
Дифференциальные уравнения (20 ч.)
35 – 36.
37 – 38.
39 – 40.
41 – 42.
43 – 44.
45 – 46.
47 – 48.
Уравнения с разделяющимися переменными.
Однородные уравнения.
Линейные уравнения. Уравнение Бернулли.
Уравнения в полных дифференциалах.
Разные дифференциальные уравнения первого порядка.
Простейшие типы интегрируемых дифференциальных уравнений второго
порядка. Случаи понижения порядка.
Простейшие интегрируемые дифференциальные уравнения высших порядков.
49 – 50.
51 – 52.
53 – 54.
Линейные однородные уравнения n-го порядка
коэффициентами.
Линейные неоднородные уравнения n-го порядка
коэффициентами.
Системы линейных дифференциальных уравнений
коэффициентами.
с
постоянными
с
постоянными
с
постоянными
IV семестр (2 ч в неделю, всего 34 ч.)
Случайные события (12 ч)
1 – 2.
3 – 4.
5 – 6.
7 – 8.
9 –10.
11 – 12.
Классическое и статистическое определение вероятности. Геометрические
вероятности.
Теорема сложения и умножения вероятностей. Вероятность появления хотя бы
одного события.
Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
Формула Бернулли.
Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых
испытаниях. Наивероятнейшее число появлений события в независимых
испытаниях.
Случайные величины (22 ч.)
13 – 14.
27 – 28.
29 – 30.
Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Законы
биноминальный и Пуассона.
Простейший поток событий.
Числовые характеристики дискретных случайных величин.
Теоретические моменты.
Неравенство Чебышева.
Теорема Чебышева.
Функция распределения вероятностей случайной величины. Плотность
распределения вероятностей непрерывной случайной величины.
Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
Равномерное распределение.
31 – 32.
33 – 34.
Нормальное распределение.
Показательное распределение и его числовые характеристики.
15 – 16.
17 – 18.
19 – 20.
21 – 22.
23 – 24.
25 – 26.
Примерные экзаменационные вопросы
I семестр
1.
2.
3.
4.
Определители второго и третьего порядков.
Минор. Алгебраические дополнения.
Свойства определителя.
Матрицы и действия над ними.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
Ранг матрицы и его вычисление.
Системы линейных уравнений.
Правило Крамера.
Число решений системы (исследование с помощью определителей).
Матричное уравнение. Матричный метод решения систем линейных
уравнений.
Обратная матрица.
Метод Гаусса. Число решений системы (по методу Гаусса).
Эквивалентные системы. Теорема о базисном миноре (без доказательства).
Теорема Кронекера – Капелли (без доказательства). Исследование систем
линейных уравнений.
Прямоугольная система координат. Понятие вектора.
Проекция вектора на ось и на оси координат.
Направляющие косинусы вектора.
Линейные операции над векторами и их свойства.
Теоремы о проекциях векторов. Разложение вектора по базису.
Скалярное произведение векторов. Выражение через декартовы координаты.
Ориентация тройки векторов. Векторное произведение векторов. Выражение
через декартовы координаты. Геометрический смысл.
Смешанное произведение векторов. Выражение через декартовы координаты.
Геометрический смысл.
Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости (расстояние между
двумя точками, площадь треугольника, деление отрезка в данном отношении).
Полярные координаты.
Преобразование прямоугольных координат.
Уравнение линии на плоскости.
Линии первого порядка (уравнение прямой с угловым коэффициентом,
уравнение прямой, проходящей через данную точку, с данным угловым
коэффициентом, уравнение прямой, проходящей через две данные точки).
Угол между двумя прямыми, условие параллельности и перпендикулярности
двух прямых.
Линии первого порядка (общее уравнение прямой, неполное уравнение первой
степени, уравнение прямой в «отрезках»).
Нормальное уравнение прямой.
Расстояние от точки до прямой.
Линии второго порядка. Эллипс. Вывод канонического уравнения и
исследование формы кривой. Окружность – как частный случай эллипса.
Гипербола. Вывод канонического уравнения и исследование формы кривой.
Парабола. Вывод канонического уравнения и исследование формы кривой.
Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.
Классификация линий второго порядка.
Уравнения плоскости (общее уравнение плоскости, исследование общего
уравнения плоскости).
Уравнения плоскости (уравнение плоскости в «отрезках», уравнение
плоскости, проходящей через три точки).
Нормальное уравнение плоскости.
Расстояние от точки до плоскости.
Угол между двумя плоскостями. Взаимное расположение плоскостей.
Прямая в пространстве (векторно – параметрическое уравнение прямой,
параметрические уравнения прямой).
Прямая в пространстве (канонические уравнения прямой, уравнения прямой,
проходящей через две данные точки).
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение прямых в пространстве.
Прямая как пересечение двух плоскостей.
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Угол между прямой и плоскостью.
Уравнение цилиндрической поверхности.
Эллипсоид.
Однополостный гиперболоид.
Двуполостный гиперболоид.
Эллиптический параболоид.
Гиперболический параболоид.
Конус второго порядка.
Числовые множества. Понятие функции.
Предел функции.
Бесконечно малые функции и их свойства.
Бесконечно большие функции.
Связь бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Основные теоремы о пределах.
Непрерывность функции в точке.
Точки разрыва функции.
Непрерывность функции на промежутке.
Предел последовательности.
Число е как предел последовательности.
Замечательные пределы.
Сравнение бесконечно малых.
Эквивалентные бесконечно малые и использование их при вычислении
пределов.
II семестр
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Задачи, приводящие к понятию производной.
Понятие производной, ее геометрический и физический смысл.
Производные некоторых функций.
Основные правила дифференцирования.
Производная сложной функции.
Основные формулы дифференцирования (логарифмической функции,
показательной
функции,
тригонометрических
функций,
обратных
тригонометрических функций).
Дифференцирование неявной функции, параметрической функции.
Производные высших порядков.
Дифференциал функции.
Геометрический смысл дифференциала.
Свойства дифференциала.
Дифференциалы высших порядков.
Теоремы Лагранжа, Ролля, Коши.
Правило Лопиталя – Бернулли.
Приближенное решение алгебраических уравнений. Отделение корней.
Методы хорд, касательных, комбинированный.
Признаки постоянства, возрастания и убывания функции.
Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.
Достаточное условие экстремума.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
Направления выпуклости, точки перегиба.
Асимптоты.
Комплексные числа.
Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного
числа.
Операции с комплексными числами.
Первообразная и неопределенный интеграл.
Свойства интеграла.
Таблица основных интегралов. Независимость вида неопределенного
интеграла от выбора аргумента.
Понятия об основных методах интегрирования (метод непосредственного
интегрирования, метод замены переменной).
Понятия об основных методах интегрирования (интегрирование по частям).
Интегрирование рациональных дробей с квадратным трехчленом в
знаменателе.
Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование тригонометрических выражений.
Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций.
Задачи, приводящие к интегральным суммам и их пределам.
Понятие определенного интеграла.
Геометрический смысл определенного интеграла.
Основные свойства определенного интеграла.
Оценка определенного интеграла. Теорема о среднем.
Существование первообразной для непрерывной функции.
Формула Ньютона – Лейбница.
Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.
Приближенное вычисление определенного интеграла.
Несобственные интегралы.
Приложения определенного интеграла (площадь криволинейной фигуры в
прямоугольных декартовых координатах, площадь в полярных координатах,
длина дуги кривой).
Приложения определенного интеграла (объем тела, площадь поверхности
вращения, работа переменной силы).
Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
Частные производные функции нескольких переменных.
Полный дифференциал функции нескольких переменных.
Дифференциалы высших порядков.
Дифференцирование сложных функций.
Дифференцирование неявных функций.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл
полного дифференциала первого порядка.
Производная по направлению.
Градиент скалярного поля.
Экстремум функции нескольких переменных.
Условный экстремум.
Семейства линий на плоскости. Огибающая однопараметрического семейства
линий.
Метод наименьших квадратов.
III семестр
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
Задачи, приводящие к двойным интегралам.
Двойной интеграл.
Свойства двойного интеграла.
Вычисление двойного интеграла в прямоугольных декартовых координатах.
Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных
координатах.
Приложения двойного интеграла.
Тройной интеграл.
Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрических
и сферических координатах.
Приложения тройного интеграла.
Задачи, приводящие к понятию криволинейного интеграла.
Криволинейный интеграл первого рода.
Криволинейный интеграл второго рода.
Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода.
Приложения криволинейных интегралов.
Формула Грина.
Задачи, приводящие к понятиям интегралов по поверхности.
Понятия интегралов по поверхности.
Вычисление интегралов по поверхности.
Приложения интегралов по поверхности.
Формула Стокса.
Формула Остроградского.
Поток, расходимость, циркуляция, вихрь. Векторная формулировка теорем
Остроградского и Стокса.
Признак полного дифференциала.
Сходимость и расходимость числовых рядов.
Необходимый признак сходимости ряда.
Признаки сходимости рядов с положительными членами.
Признак Даламбера. Признак Коши.
Интегральный признак сходимости.
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Абсолютная сходимость рядов.
Действия над рядами.
Сходимость функциональных последовательностей и рядов.
Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов.
Свойства равномерно сходящихся рядов.
Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного
ряда.
Непрерывность
суммы
степенного
ряда.
Интегрирование
и
дифференцирование степенных рядов.
Разложение в степенные ряды некоторых функций.
Ряды Тейлора и Маклорена.
Приложения рядов.
Тригонометрический ряд Фурье.
Сходимость ряда Фурье для кусочно – дифференцируемой функции.
Ряд Фурье для четных и нечетных функций.
Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке [-l, l].
Основные сведения о дифференциальных уравнениях.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися
переменными.
Однородные и приводящиеся к ним дифференциальные уравнения первого
порядка.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение
Бернулли.
Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
Приближенные методы интегрирования дифференциальных уравнений.
Некоторые интегрируемые типы дифференциальных уравнений n-го порядка.
Уравнения, допускающие понижение порядка.
Линейные однородные уравнения n-го порядка.
Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными
коэффициентами.
Линейные неоднородные уравнения n-го порядка.
Линейные неоднородные уравнения n-го порядка с постоянными
коэффициентами.
Метод вариации произвольных постоянных.
Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
IV семестр
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
Испытания и события.
Виды случайных событий.
Классическое определение вероятности.
Основные формулы комбинаторики. Примеры непосредственного вычисления
вероятностей.
Относительная частота. Устойчивость относительной частоты.
Ограниченность классического определения вероятности. Статистическая
вероятность.
Геометрическая вероятность.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
Полная группа событий.
Противоположные события.
Принцип практической невозможности маловероятных событий.
Произведение событий.
Условная вероятность.
Теорема умножения вероятностей.
Независимые события. Теорема умножения для независимых событий.
Вероятность появления хотя бы одного события.
Теорема сложения вероятностей совместных событий.
Формула полной вероятности.
Вероятность гипотез. Формулы Бейеса.
Формула Бернулли.
Локальная теорема Лапласа.
Интегральная теорема Лапласа.
Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в
независимых испытаниях.
Случайная величина.
Дискретные и непрерывные случайные величины.
Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
Биноминальное распределение.
Распределение Пуассона.
Простейший поток событий.
Числовые характеристики дискретных случайных величин.
Математическое ожидание дискретной случайной величины.
Вероятностный смысл математического ожидания.
Свойства математического ожидания.
Математическое ожидание числа появлений события в независимых
испытаниях.
Отклонение случайной величины от ее математического ожидания.
Дисперсия дискретной случайной величины.
Формула для вычисления дисперсии.
Свойства дисперсии.
Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях.
Среднее квадратическое отклонение.
Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных
величин.
Одинаково распределенные независимые случайные величины.
Начальные и центральные теоретические моменты.
Неравенство Чебышева.
Теорема Чебышева.
Сущность теоремы Чебышева.
Значение теоремы Чебышева для практики.
Теорема Бернулли.
Определение функции распределения.
Свойства функции распределения.
График функции распределения.
Определение плотности распределения.
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный
интервал.
Нахождение функции распределения по известной плотности распределения.
Свойства плотности распределения.
Вероятностный смысл плотности распределения.
Закон равномерного распределения вероятностей.
Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
Нормальное распределение.
Нормальная кривая.
Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной
кривой.
Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины.
Вычисление вероятности заданного отклонения.
Правило трех сигм.
Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной
теоремы.
Оценка отклонения теоретического распределения от нормального.
Функция одного случайного аргумента и ее распределение.
Математическое ожидание функции одного случайного аргумента.
Функция двух случайных аргументов. Распределение суммы независимых
слагаемых. Устойчивость нормального распределения.
Распределение «хи квадрат».
Распределение Стьюдента.
Распределение F Фишера – Снедекора.
УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Студент должен выполнять контрольные работы по варианту, номер которого ему
присваивает преподаватель.
При выполнении и оформлении контрольных работ необходимо соблюдать
следующие правила:
1. На титульном листе должны быть ясно написаны фамилия студента, его
инициалы, номер контрольной работы и дата сдачи работы преподавателю.
2. Контрольная работа выполняется в тетради, а не на листах, обязательно
шариковой ручкой (не красной), с полями для замечаний преподавателя.
3. Решения задач контрольной работы располагаются в порядке номеров, указанных
в контрольных работах, перед решением задачи должно быть записано полностью
ее условие, исходя из данных своего варианта задания. В том случае, когда
несколько задач имеют общую формулировку, переписывая условие задачи,
следует заменить общие данные конкретными из своего варианта.
4. Каждая задача контрольной работы должна начинаться с новой страницы, в конце
решения должен быть обязательно подробный ответ.
5. Решения задач и объяснения к ним должны быть подробными, аккуратными, без
сокращения слов; чертежи можно выполнять от руки.
Контрольные работы, выполненные с нарушением изложенных правил или
выполненные студентом не по своему варианту, не зачитываются и возвращаются без
проверки.
Получив от преподавателя проверенную работу, студент должен исправить в ней все
отмеченные ошибки и недочеты. Если работа не зачтена, она должна быть в короткий срок
либо выполнена заново целиком, либо должны быть заново решены задачи, указанные
преподавателем. Исправленную работу следует сдать вместе с незачтенной.
Зачтенные контрольные работы предъявляются преподавателю на зачете или
экзамене.
Контрольные работы №1 и №3 должны быть сданы до 10 декабря текущего учебного
года.
Контрольные работы №2 и №4 должны быть сданы до 10 мая текущего учебного года.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
В задачах 1-20 даны координаты вершин треугольника АВС. Найти:
1)
длину стороны АВ;
2)
уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;
3)
внутренний угол В;
4)
уравнение медианы АЕ;
5)
уравнение и длину высоты CD.
Сделать чертеж.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
А(1; -1), В(4; 3), С(5; 1).
А(0; -1), В(3; 3), С(4; 1).
А(1; -2), В(4; 2), С(5; 0).
А(2; -2), В(5; 2), С(6; 0).
А(0; 0), В(3; 4), С(4; 2).
А(0; 1), В(3; 5), С(4; 3).
А(3; -2), В(6; 2), С(7; 0).
А(3; -3), В(6; 1), С(7; -1).
А(-1; 1), В(2; 5), С(3; 3).
А(4; 0), В(7; 4), С(8; 2).
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
А(2; 2), В(5; 6), С(6; 4).
А(4; -2), В(7; 2), С(8; 0).
А(0; 2), В(3; 6), С(4; 4).
А(4; 1), В(7; 5), С(8; 3).
А(3; 2), В(6; 6), С(7; 4).
А(-2; 1), В(1; 5), С(2; 3).
А(4; -3), В(7; 1), С(8; -1).
А(-2; 2), В(1; 6), С(2; 4).
А(5; 0), В(8; 4), С(9; 2).
А(2; 3), В(5; 7), С(6; 5).
В задачах 21-40 даны координаты вершин пирамиды ABCD. Требуется:
1)
записать векторы AB , AC , AD в системе орт i , j , k и найти модули этих
векторов;
2)
найти угол между векторами AB , AC ;
3)
найти проекцию вектора AD на вектор AB ;
4)
найти площадь грани АВС;
5)
найти объем пирамиды ABCD;
6)
составить уравнение ребра АС;
7)
составить уравнение грани АВС.
Сделать чертеж.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
А(1; 2; 1), В(-1; 5; 1), С(-1; 2; 7), D(1; 5; 9).
А(2; 3; 2), В(0; 6; 2), С(0; 3; 8), D(2; 6; 10).
А(0; 3; 2), В(-2; 6; 2), С(-2; 3; 8), D(0; 6; 10).
А(2; 1; 2), В(0; 4; 2), С(0; 1; 8), D(2; 4; 10).
А(2; 3; 0), В(0; 6; 0), С(0; 3; 6), D(2; 6; 8).
А(2; 2; 1), В(0; 5; 1), С(0; 2; 7), D(2; 5; 9).
А(1; 3; 1), В(-1; 6; 1), С(-1; 3; 7), D(1; 6; 9).
А(1; 2; 2), В(-1; 5; 2), С(-1; 2; 8), D(1; 5; 10).
А(2; 3; 1), В(0; 6; 1), С(0; 3; 7), D(2; 6; 9).
А(2; 2; 2), В(0; 5; 2), С(0; 2; 8), D(2; 5; 10).
А(1; 3; 2), В(-1; 6; 2), С(-1; 3; 8), D(1; 6; 10).
А(0; 1; 2), В(-2; 4; 2), С(-2; 1; 8), D(0; 4; 10).
А(0; 3; 0), В(-2; 6; 0), С(-2; 3; 6), D(0; 6; 8).
А(2; 1; 0), В(0; 4; 0), С(0; 1; 6), D(2; 4; 8).
А(0; 2; 1), В(-2; 5; 1), С(-2; 2; 7), D(0; 5; 9).
А(1; 1; 1), В(-1; 4; 1), С(-1; 1; 7), D(1; 4; 9).
А(1; 2; 0), В(-1; 5; 0), С(-1; 2; 6), D(1; 5; 8).
А(0; 1; 0), В(-2; 4; 0), С(-2; 1; 6), D(0; 4; 8).
А(0; 1; 1), В(-2; 4; 1), С(-2; 1; 7), D(0; 4; 9).
40.
А(0; 2; 0), В(-2; 5; 0), С(-2; 2; 6), D(0; 5; 8).
a11x  a12 y  a13 z  b1 ,

В задачах 41-60 дана система линейных уравнений: a21x  a22 y  a23 z  b2 ,
a x  a y  a z  b .
32
33
3
 31
Доказать ее совместимость и решить тремя способами:
1)
методом Гаусса;
2)
средствами матричного исчисления;
3)
правилом Крамера.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
5 x  8 y  z  3 ,

 x  2 y  3z  3 ,
2 x  3 y  2 z  5 .

x  2 y  z  4 ,

3x  5 y  3z  1,
2 x  7 y  z  8 .

3x  2 y  z  5 ,

2 x  3 y  z  1,
2 x  y  3z  11.

 x  2 y  4 z  31 ,

5 x  y  2 z  29 ,
3x  y  z  10.

4 x  3 y  2 z  9 ,

2 x  5 y  3z  4 ,
5 x  6 y  2 z  18.

2 x  y  z  4 ,

3x  4 y  2 z  11,
3x  2 y  4 z  11.

 x  y  2 z  1 ,

2 x  y  2 z  4 ,
4 x  y  4 z  2 .

3x  y  5 ,

 2 x  y  z  0 ,
2 x  y  4 z  15.

3x  y  z  4 ,

2 x  5 y  3z  17 ,
 x  y  z  0.

x  y  z  2 ,

2 x  y  6 z  1,
3x  2 y  8.

51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
2 x  y  z  1 ,

x  y  z  6 ,
3x  y  z  4 .

2 x  y  3z  8 ,

3x  4 y  5 z  18 ,
2 y  7 z  5.

 x  5 y  z  7 ,

2 x  y  z  0 ,
 x  2 y  z  2.

 x  2 y  3z  6 ,

2 x  3 y  4 z  16 ,
3x  2 y  5 z  12 .

3x  4 y  2 z  7 ,

2 x  y  3z  4 ,
 x  5 y  z  1.

2 x  y  3z  7 ,

x  3 y  2z  0 ,
2 y  z  2 .

2 x  y  4 z  20 ,

2 x  y  3z  3 ,
3x  4 y  5 z  8.

x  y  4 ,

2 x  3 y  z  1,
2 x  y  3z  11.

59.
x  5 y  z  7 ,

2 x  y  z  4 ,
3x  2 y  4 z  11.

60.
11x  3 y  z  2 ,

2 x  5 y  5 z  0 ,
 x  y  z  2.

В задачах 61-80 найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
61.
1)
2)
62.
1)
2)
63.
1)
2)
64.
1)
2)
65.
1)
2)
66.
1)
2)
67.
1)
2)
68.
1)
2)
69.
1)
2)
70.
1)
2)
2x2  x  1
; а) x0 = 2; б) x0 = -1; в) x0   .
x  x0 x 2  3x  4
x
tg 2 x
 x 3
lim 
lim
.
3)
 .
x  0 sin 3 x
x  x  2


lim
x 2  3x  2
; а) x0 = -1; б) x0 = 1; в) x0   .
x  x0  3x 2  x  4
x
sin 4 x
 2x  1 
lim
lim 
.
3)
 .
x  0 2 x cos 3 x
x  2 x  1


lim
2 x 2  x  10
; а) x0 = 2; б) x0 = -2; в) x0   .
x  x0 x 2  3x  2
2x
x tg 3 x
 4x  1
lim
lim 
.
3)
 .
x  0 sin 2 2 x
x
 4x 
lim
x 2  3x  2
lim
; а) x0 = 1; б) x0 = 2; в) x0   .
x  x 0  3 x 2  x  14
1
sin 5 xtg 3x
lim
.
3)
lim 1  2 x  x .
2
x 0
x 0
x
2
x  5x  4
; а) x0 = -2; б) x0 = -1; в) x0   .
lim
x  x0 2 x 2  3x  5
sin 6 x
lim
.
3)
lim x  ln x  1  ln x  .
x  0 tg 2 x
x 
4 x2  5x  1
; а) x0 = -1; б) x0 = 1; в) x0   .
x  x0  x 2  3x  2
3 x cos 5 x
lim
.
3)
lim 1  2 x  ln x  3  ln x .
x  0 sin 3 x
x  
lim
x2  5x  6
; а) x0 = 2; б) x0 = -2; в) x0   .
x  x 0 3 x 2  x  14
2 xtg 4 x
lim
.
3)
lim x  5  ln x  3  ln x  .
x  0 sin 2 6 x
x  
lim
2x2  7 x  6
; а) x0 = 1; б) x0 = 2; в) x0   .
x  x0  x 2  x  6
x
sin 2 xtg 4 x
lim
.
3)
lim 7  6 x  3 x 3 .
2
x0
x

1
x
2
x  6x  7
lim
; а) x0 = -2; б) x0 = -1; в) x0   .
x  x0 3x 2  x  2
2x
sin 8 x
lim
.
3)
lim 3x  5 x 2  4  .
x  0 tg 5 x
x 2
lim
3x 2  x  4
lim
; а) x0 = -1; б) x0 = 1; в) x0   .
x  x0  x 2  4 x  3
2
4 x cos 7 x
lim
.
3)
lim 3x  8  x 3 .
x  0 sin 2 x
x 3
71.
1)
2)
72.
1)
2)
73.
1)
2)
74.
1)
2)
75.
1)
2)
76.
1)
2)
77.
1)
2)
78.
1)
2)
79.
1)
2)
80.
x 2  5 x  14
; а) x0 = 2; б) x0 = -2; в) x0   .
x  x0 2 x 2  x  6
x
3 xtg 2 x
 3x  1 
lim 
lim
.
3)
 .
x  0 sin 2 3 x
x  4 x  5


lim
3x 2  7 x  2
; а) x0 = 1; б) x0 = 2; в) x0   .
x  x0  x 2  x  6
x
sin 3xtg 2 x
 5x  3 
lim
lim 
.
3)
 .
x 0
x  2 x  1
x2


lim
x2  7 x  8
; а) x0 = -2; б) x0 = -1; в) x0   .
lim
x  x0 2 x 2  5 x  3
x
sin 6 x
 3x  8 
lim
lim 
.
3)
 .
x  0 tg x
x  3x  2


4 x 2  3x  1
; а) x0 = -1; б) x0 = 1; в) x0   .
x  x0  x 2  5 x  4
x 5
5 x cos 8 x
 x  3
lim
lim 
.
3)
 .
x  0 sin 10 x
x  x  3


lim
x 2  3x  2
; а) x0 = 2; б) x0 = -2; в) x0   .
x  x 0 3 x 2  2 x  16
x 6
2 xtg 4 x
 4x  3 
lim
lim 
.
3)
 .
x  0 sin 2 6 x
x 4 x  5


lim
2x2  x  6
; а) x0 = 1; б) x0 = 2; в) x0   .
x  x0  x 2  5 x  6
sin 2 xtg 3x
lim
lim x 1  4 x .
.
3)
2
x 0
x 0
x
x2  8x  7
lim
; а) x0 = -2; б) x0 = -1; в) x0   .
x  x0 3x 2  x  4
lim
sin 7 x
lim
.
x  0 tg 3 x
3)
lim cos 4 x 
1
sin 2 2 x
x 0
.
5x2  x  4
; а) x0 = -1; б) x0 = 1; в) x0   .
x  x0  x 2  3x  2
1
4 x cos 5 x
2 2x3
lim
lim 1  2 x
.
3)
.
x 0
x 0
sin 8 x
lim


x 2  5 x  14
; а) x0 = 2; б) x0 = -2; в) x0   .
x  x0 2 x 2  3x  2
3x
5 xtg 2 x
 2x 
lim
lim 
.
3)
 .
x  0 sin 2 4 x
x  2 x  3


lim
1)
3x 2  x  10
lim
; а) x0 = 1; б) x0 = 2; в) x0   .
x  x 0  x 2  7 x  10
2)
sin 6 xtg 2 x
lim
.
x0
x2
x2
3)
 x2  2 
 .
lim  2
x  x  1 


В задачах 81-90 заданы функция y = f (x) и два значения аргумента x1 и x2 .
Требуется:
1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для
каждого из данных значений аргументов;
2)
в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа;
3)
сделать схематический чертеж.
81.
f ( x)  9
1
(2 x)
1
(3 x )
82.
f ( x)  4
83.
f ( x)  12 x ,
84.
85.
1
f ( x)  3
f ( x)  8
1
1
(4 x)
(5 x )
, x1 = 0, x2 = 2.
86.
f ( x)  10
, x1 = 1, x2 = 3.
87.
f ( x)  14
x1 = 0, x2 = 2.
88.
f ( x)  15
, x1 = 2, x2 = 4.
, x1 = 3, x2 = 5.
89.
90.
f ( x)  11
f ( x)  13
1
(7  x)
, x1 = 5, x2 = 7.
(6 x)
, x1 = 4, x2 = 6.
(8  x )
, x1 = 6, x2 = 8.
(4 x)
, x1 = -4, x2 = -2.
1
1
1
1
(5 x )
, x1 = -5, x2 = -3.
В задачах 91-100 задана функция y = f (x). Найти точки разрыва функции, если они
существуют. Сделать чертеж.
91.
 x  4, x  1;

f ( x)   x 2  2,  1  x  1;
2 x,
x  1.

96.
92.
 x  2, x  1;

f ( x)   x 2  1,  1  x  1;
 x  3, x  1.

97.
93.
x  0;
 x ,

2
f ( x)    x  1 , 0  x  2;
 x  3,
x  2.

98.
94.
cos x, x  0;

f ( x)   x 2  1, 0  x  1;
 x,
x  1.

99.
95.
x  0;
 x,
 2
f ( x)   x ,
0  x  2;
 x  1, x  2.

100.
 x, x  0;

f ( x)  sin x, 0  x   ;
 x  2, x   .

 x  1, x  1;

2
f ( x)  x  1 ,  1  x  0;
 x,
x  0.

 x 2 , x  0;


f ( x)  tg x, 0  x   ;
4

x  .
2,
4
 2 x, x  0;

f ( x)   x 2  1, 0  x  1;
2,
x  1.

 2 x, x  0;

f ( x)   x , 0  x  4;
1,
x  4.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2
dy
, пользуясь правилами и формулами
dx
В задачах 1-20 найти производные
дифференцирования.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.


а)
y  3 x  43 x  2 4 ;
б)
г)
y  ln arctg 2 x ;
д)
а)
y  3x3  23 x 2  1 2 ;


y  23 x  tg 2 x ;
y  cos ln 5 x ;
г)
д)
1


y   x 2  3  5 x  4 ; б)
а)
x


г)
y  cos x 2  3 ;
а)
3


y   4x2 
 4 3 ;
x


г)
y  arcsin ln 4 x ;
а)
г)
д)
y
4 x  7tg x
;
в)
1  9x
 y
tg    5 x .
x
arcsin 3 x
y
б)
;
1  8x2
2
x  y  arctg y  0 .
arcsin 7 x
y 4
;
x  ex
y sin x  cos x  y .
sin 2 x
y
б)
;
cos 5 x
д)
x
y
 arctg   .
x
 y
y  x5  3 x  1 5 ;
б)
y
y  sin ln 5 x ;
2


y   6x2  4  5 2 ;
x


д)
e
г)
y  ln sin 6 x ;
д)
а)
y  x3  44 x3  2 3 ; б)
г)
y  sin ln 2 x ;
а)
y  x 2 x 4 ;
б)
г)
y  ln cos 5 x ;
5


y   3x5  3  2  5 ;
x


д)
г)
y  arcsin ln 2 x ;
д)
 x
ln y  arctg   .
 y
а)
y  x 4  23 x  1 2 ;
б)
y
г)
y  ln cos 7 x ;
д)
x  y  e y arctg x  0 .
а)
а)





2
5

б)
д)


4
б)
1  4x2
;
2 x  tg x

в)
в)
в)
y  etg x  ln 2 x ;
в)
y  28 x  tg 3x ;
y  ectg x  sin 4 x ;

1 ey 1 1  0.
cos 3 x
y
;
в)
3x 2  4
x
y  cos 3x  esin x ;
 
y  3tg x  arcsin x 2 ;
y
y2x  e x .
arctg 7 x
y
;
2  9x2
x3  y 3  2axy  0 .
y
x3  e x
;
4  9x
x  y  a sin y  0 .
cos 6 x
y
;
sin 3 x
5
3  5 x3
;
e x  ctg x
в)
y  ectg x  cos 6 x ;
в)
y  4cos x  arctg 2 x ;
в)
y  e x  tg 7 x ;
в)
y  2sin x  arcsin 2 x ;
3
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
1


y   3x5  4  7  3 ;
x


б)
y
г)
y  arctg ln 8 x ;
д)
y  xx .
а)
y  2 x 4  33 x  1 4 ;
б)
y
г)
y  ln arcsin 3x ;
д)
а)
y  3 x 5  24 x  8 5 ; б)
г)
y  arctg ln 5 x ;
д)
y  x x.
ctg x  cos x
y
;
5x2  1
y  x ln x .
б)
y
д)
y  x tg x .




4x  7
2
2  x2
; в)
cos 2 x
2  3x5
;
sin 2 x
а)
y  5 x 2  35 x 2  2 3 ; б)
г)
y  arctg ln 7 x ;
а)
2


y   2 x 4  3  7  4 ; б)
x


г)
y  ln sin 7 x ;
а)
y  3x 2  24 x  5 5 ; б)
y
г)
y  arctg ln 5 x ;
д)
y  x  x2 .
а)
3


y   x6  4  8  2 ;
x


б)
y
г)
y  ln arcsin 2 x ;
д)
y  sin x 
а)
y  4 x  3 x  7 ; б)
г)
y  sin ln 7 x ;
д)
8  7x
x
y  cos x  .
а)
5


y   3x 2  3  1 4 ;
x


б)
y
г)
y  ln cos 6 x ;
д)
y  cos x  .

д)



t
 x  cos  
2;

 y  t  sin t

д)

5
5
2

3
в)
y  earcsin x  ctg 3x ;
в)
y  5arctg x  sin 4 x ;
в)
y  e x  arcsin 2 x ;
в)
y  4tg x  arctg 3x ;
в)
y  esin x  arccos 3x ;
в)
y  56 x  arcsin 5 x ;
в)
y  earcsin x  cos 4 x ;
в)
y  4arctg x  cos 6 x ;
в)
y  esin x  arctg 3x ;
в)
y  2arctg x  arcsin 2 x ;
1
г)

;
x
3


y   x3  2  4  2 ;
x


y  ln cos 4 x ;
а)
В задачах 21-40 найти
21.
x 4  tg x
а)
y
2 x  ctg x
;
4  2x
ln x
y  arctg x  .
3
1  7 x5
;
y
cos 4 x
3
y  arctg x  .
x
2 x 2  ctg x
6x  5
2


x
2  5x
;
sin 3 x
ln x
y
;
.
cos x  4 x 3
5
4 x5  2
;
sin 7 x
;
x2
 x   t 
dy
d2y
и
для функции заданной параметрически 
.
2
dx
dx
 y   t 
22.
 x  t 3  8
;

 y  t 5  2t
24.
23.
 x  t  sin t
;

 y  1  cos t
25.
 x  e 2t
;

 y  cos t
 x  3 cos 2 t
;

 y  2 sin 3 t
26.
27.
28.
29.
30.
31.
 x  3 cos t
;

2
 y  4 sin t
 x  3t  t 2
;

 y  3t 2
 x  2t  t 3
;

 y  2t 2
 x  t  ln cos t
;

 y  t  ln sin t
 x  ln t

1  1 ;

y

t  

2 t 

 x  2t  1
;

3
y  t
32.
33.
34.
35.
1

x


t 1


2 ;
 y   t 

 t 1
2at

x


1 t2
;

2
a
1

t
y 
1 t2

3at

x


1  t3
;

2
3
at
y 

1  t3
 x  t
;

 y  3 t


36.
37.
x  t 2  1


t 1 ;
y


t2 1

 x  a cos t  t sin t 

 y  a sin t  t cos t 
38.
 x  a cos 2 t
;

 y  b sin 2 t
39.
 x  a cos 3 t
;

 y  b sin 3 t
40.

cos 3 t
x 
cos 2t

.

3
 y  sin t

cos 2t

В задачах 41-60 исследовать методами дифференциального исчисления функцию
y  f x  и, используя результаты, построить ее график.
41.
y
42.
y
43.
y
44.
y
45.
y
46.
y
4x
.
4  x2
x2  1
.
x2  1
x  12 .
x2  1
x2
.
x 1
x3
.
x2  1
4 x3  5
.
x
x2  5
.
x3
x4
.
x3  1
4 x3
.
x3  1
2  4x2
.
1  4x2
ln x
.
x
47.
y
48.
y
49.
y
50.
y
51.
y
52.
y  x e x .
53.
y  e2 x  x .
54.
55.
y  x 2  2 ln x .
y  ln x 2  4.
1
56.
57.
58.
59.
60.
y  e 2  x  .
y  ln x 2  1 .


2
y  2  x 2 e x .
y  ln 9  x 2  .
y  x  1 e3 x 1 .
2
2
В задачах 61-80 по условию задачи составить функцию и исследовать ее на
экстремум.
61.
62.
Требуется изготовить из жести ведро цилиндрической формы без крышки данного
объема V. Каковы должны быть высота ведра и радиус его дна, чтобы на его
изготовление ушло наименьшее количество жести?
Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиуса R, вращается вокруг
прямой, которая проходит через его вершину параллельно основанию. Какова должна
быть высота этого треугольника, чтобы тело, полученное в результате его вращения,
имело наибольший объем?
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
Прямоугольник вписан в эллипс с осями 2a и 2b. Каковы должны быть стороны
прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно
вписать в шар радиуса R.
Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около
шара радиуса R.
При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V
будет иметь наименьшую полную поверхность?
Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен
a. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее
количество света?
Сосуд, состоящий из цилиндра, заканчивающегося снизу полусферой, должен
вмещать 18 л воды. Найти размеры сосуда, при которых на его изготовление пойдет
наименьшее количество материала.
Требуется поставить палатку данного объема V, имеющую форму прямого кругового
конуса. Найти отношение высоты конуса к радиусу его основания, при котором на
палатку уйдет наименьшее количество материала.
Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объема V. Стоимость
1 кв. м металла, идущего на изготовление дна бака, равна p1 , а стенок - p2 руб.
Каковы должны быть радиус дна и высота бака, чтобы затраты на материал для его
изготовления были наименьшими?
Каковы должны быть размеры прямоугольника наибольшей площади, вписанного в
круг радиуса 6 см?
Проволока длиной 40 см согнута в прямоугольник. Каковы должны быть размеры
этого прямоугольника, чтобы площадь его была наибольшей?
Канал, ширина которого 27 м, под прямым углом впадает в другой канал шириной
64 м. Какова наибольшая длина бревен, которые можно сплавлять по этой
системе каналов?
Найти наибольший объем цилиндра, у которого полная поверхность равна
S  24 м 2 .
 
Найти наибольший объем конуса, образующая которого равна l  3  м  .
 
Объем правильной треугольной призмы равен V  16 м3 . Какова должна быть длина
стороны основания призмы, чтобы ее полная поверхность была наименьшей?
Открытый чан имеет форму цилиндра объема S  27  м3 . Каковы должны быть
радиус основания и высота чана, чтобы на его изготовление ушло наименьшее
количество материала?
Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20 см. Какова
должна быть высота воронки, чтобы ее объем был наибольшим?
Найти прямоугольник наибольшей площади, если сумма длин его катета и
гипотенузы постоянна и равна 4 см.
Деталь из листового железа имеет форму равнобедренного треугольника с боковой
стороной 10 см. Каким должно быть основание треугольника, чтобы его площадь
была наибольшей?
 
В задачах 81-100 найти неопределенные интегралы.
81.
а)

cos x sin x dx ;
б)
x
2
4x  1
dx ;
 4x  8
в)
 ln x dx ;
г)
82.
а)
г)
83.
а)
г)
84.
а)
г)
85.
86.
а)
e
г)
x
а)
г)
87.
а)
г)
88.
а)
г)
89.
а)
г)
90.
а)
г)
91.
x
dx ;
1
3 dx
 ln x  x ;
x  20
 x3  8 dx ;
arctg x
 1  x 2 dx ;
3x  1
 x3  x dx ;
cos x
 3 sin x dx ;
2x  5
 x3  2 x dx ;
x
а)
г)
3
x2
x dx ;
3x  1
dx ;
3
 3x
д)
б)
д)
б)
д)
б)
dx
 3  5 cos x .
5x  8
dx ;
 2x  5
dx
 sin x  cos x .
3x  2
 x 2  4 x  8 dx ;
cos x
 1  cos x dx .
8x  3
 x 2  6 x  10 dx ;
x
2
 2 x  1 sin 3x dx ;
в)
 x  1 e
в)
 x cos 2 x dx ;
2x
dx ;
sin x
д)
 1  sin x dx .
б)
x
д)
в)
7x  3
dx ;
в)
 4x  5
dx
 8  4 sin x  7 cos x .
2
9 x  10
dx ;
в)
 6 x  10
dx
 2 sin x  cos x  3 .
3 x  10
 x 2  8 x  10 dx ; в)
1  tg x
 1  tg x dx .
3x  7
 x 2  8 x  17 dx ; в)
sin x
 1  cos x  3 dx .
x3
б)
 2  x 4 dx ;
8x  5
 x3  x 2  2 x  2 dx ; д)
dx
б)
 ln x x ;
7x  2
 x3  3x 2  x  3 dx ; д)
x
б)
 1  2 x 2 dx ;
5 x  11
д)
 x3  4 x dx ;
x
x3
б)
 2 x 4  5 dx ;
3x
 x3  x 2  3x  3 dx ; д)
dx
б)
 x ln x ;
2x
д)
 x3  1 dx ;
sin x
б)
 cos 2 x dx ;
3x  1
д)
 x3  3x dx ;
5x  2
dx ;
в)
 2x  5
sin 2 x
 1  sin 2 x dx .
7x  3
 x 2  6 x  13 dx ; в)
cos 2 x
 cos 4 x  sin 4 x dx .
8x  7
 x 2  10 x  29 dx ; в)
cos x
 sin 2 x  6 sin x  5 dx .
x
2
2
 arctg 2 x dx ;
 5 x  1 ln x dx ;
 8 x  2 sin 5 x dx ;
 x  3e

2 x
x ln 3 x dx ;
 2 x  8 e
x
dx ;
3
7 x
ln x dx ;
dx ;
92.
а)
г)
93.
94.
95.
а)

г)
x
а)
x
г)
x
а)
г)
96.
а)
г)
97.
98.
100.
б)
д)
5 x 4  3 x3 dx ;
2x  1
dx ;
3
x
2
ex
3
1
б)
д)
б)
dx ;
2x  5
dx ;
3
 4x
д)
x3

dx ;
8x4  1
x
 x3  5 x 2  3x  15 dx ;
x
dx ;
б)
3
x 1
 x3  x 2  4 x  4 dx ; д)
 2x
2
а)
 arcsin
г)
x
а)

г)
99.
x2
 2 x3  3 dx ;
5x  1
 x3  1 dx ;
3
2
x
dx
1  x2
; б)
x
dx ;
 3x  10 x  30
2
arctg x
dx ;
1  x2
2x  5
 x3  6 x dx ;
ln x  3
dx ;
x
б)
д)
11x  3
dx ;
 6 x  13
dx
 1  sin x  cos x .
10 x  7
 x 2  8x  20 dx ;
x

3
2
 x 1  2x
x3
 x3  2 x 2  5x  10 dx ;
д)
а)

б)
г)
x
x2
dx ;
 2 x 2  3x  6
2
в)
 12 x  2 sin 3x dx ;
dx .
2

3
в)
x ln 2 x dx ;
 x sin 8 x dx ;
 arccos 5x dx ;
 arcsin 2 x dx ;

12 x  7
dx ;
 16 x  65
dx
 33 4 3.
x 1 x
8x  7
 x 2  2 x  17 dx ;
x
г)
3
3
 3x  7  cos 5 x dx ;
2


1  x 2 x dx ;

в)
3 x  11
dx ; в)
 16 x  68
dx
 4 1  x4 .
5 x  16
б)
 x 2  2 x  17 dx ;
dx
д)
 x4 1  x2 .
3x  11
 x 2  8x  20 dx ; в)
dx
 x 3 1  x5 .
17 x  5
 x 2  12 x  40 dx ; в)
dx
д)
.
5
 2
x 2  x3 3
x
а)
б)
2
в)
 2 x  1 cos 3x dx ;
в)
 8 x  10 sin 7 x dx ;
1 4 x
 x dx .
17 x  3
 x 2  8x  32 dx ;
dx
 3 cos x  4 sin x .
3
д)
в)
 ln 8x dx ;
В задачах 101-120 вычислить площадь, ограниченную заданными параболами.
101.
y
1 2
x  x  1;
2
1
y   x 2  3x  6 .
2
102.
103.
104.
105.
106.
107.
108.
109.
110.
111.
112.
113.
114.
115.
116.
117.
118.
119.
120.
1 2
x  x  7;
2
1
y  x 2  3x  2 ;
3
y  2x2  6x  3 ;
1
y   x2  5x  2 .
2
2
y   x2  2x  4 .
3
y   x2  x  5 .
y  3x 2  5 x  1 ;
y  x 2  3x  1 ;
y  2x2  6x  1;
1
y  x2  2x  2 ;
3
y  x2  5x  3 ;
y  x2  2x  5 ;
1
y  x2  2x  5 ;
4
1 2
y  x  3x  2 ;
2
y  2x2  6x  3 ;
y  x 2  3x  4 ;
1
y  x 2  3x  1 ;
2
y  2x2  4x  7 ;
y  2 x 2  3x  1 ;
y  2x2  6x  2 ;
y  x2  2x  4 ;
1
y  x 2  3x  2 ;
2
y   x2  2x  1 .
y   x2  2x  5 .
y
y   x2  x  1 .
2
y   x2  x  4 .
3
y  3x 2  2 x  1.
y   x2  x  1 .
3
y   x2  x  1 .
4
1 2
y   x  x3.
2
y  2 x 2  x  5 .
y   x2  x  8 .
1
y   x2  x  2 .
2
y   x2  x  1 .
y   x2  2x  9 .
y   x2  x  4 .
y   x2  x  2 .
1
y   x2  7 x  3 .
2
В задачах 121-140 найти несобственные интегралы или доказать их расходимость.
1
121.

0

dx
;
x
127.

2
122.
dx
0 x ;
128.
129.
dx
0 x  1 2 ;
1
125.

0
dx
1  x2
dx
1 x ;
133.
dx
  1  x 2 ;
dx
;
x

4
x

9


2
131.
 sin x dx ;
0
1
132.
dx
 x ln
2
x
;

134.
dx
 x ln x a  1 ;
a

135.
136.
dx
 x ln
a

2
x
a  1 ;
2
 ctg x dx ;
0

;
2
0

130.

126.
;
p
1

dx
0 x p ;
3
124.
dx
x
1
1
123.
dx
1 x 2 ;

137.
e
 kx
dx
k  0 ;
0
2
dx
0 x ln x ;

138.
arctg x
dx ;
2
0 x 1


139.
 x
2

140.
x
0
2
dx
;
 1 2
dx
.
1
3
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3
В задачах 1-10 вычислить частные производные первого и второго порядков от
заданных функций.


1.
2.
z  3 sin x3  y 2  5x3 y  7 ;
z  8 ln xy2  10 xy2  8x ;
3.
4.
z  2 e3 x  y  2 x2 y 2  9 y ;
z  8 cos xy  3x  12 x 4 y ;
5.
z  3 x 2  y 2  5 xy3  8 y ;
 
2
z  x sin xy  5 x 2 y 2  7 x ;
6.
7.
z  0,5 ln x3  y 2  9 x3 y  2 x ;
8.
z  x  2 y  3x 4 y  8 x  2 ;
9.
z  8 e x  y  3xy3  7 x  3 ;
z  8 ln x 2  y 2   6 x 2 y 3  8x  1 .
10.


3
В задачах 11-20 дана функция z  f x, y  , показать, что она удовлетворяет
уравнению.
2
2 z
2  z

y
0.
x 2
y 2
11.
z  e xy
x2
12.
z  e  cos ax  y 
2
2 z
2  z

a
.
x 2
y 2
13.
z  ln x 2  y 2  2 y  1
2 z 2 z

 0.
x 2 y 2
14.
z  sin 2  y  ax 
2
2 z
2  z

a
.
x 2
y 2
15.
z

y
x
x2
16.
z
y
x
17.
z
x
y
18.
19.
20.
 y
z  arctg  
x
sin  x  y 
z
x
ze
y

x
2
2 z
2 z
2  z

2
xy

y
 0.
x 2
x y
y 2
2
2 z
2  z
x
 3y
 0.
x 2
y 2
x2
2
 2 z   2 z 
  0.
 y
x 2 y  y 
2 z 2 z

 0.
x 2 y 2
  2 z  2  2 z
 0.
x
x
x  x 
y 2
2
  2 z 
2  z
 0.
x
 y
x  x 
y 2
В задачах 21-40 задана функция z  f ( x, y ) . Найти градиент и производную этой

функции в заданной точке M ( x0 , y0 ) в направлении вектора l или в направлении

вектора l , составляющего угол  с положительным направлением оси Ox .
1 2 1 3

x  xy , M (1,1),   ;
3
4
4
21.
z
22.
z  tgx  x  2 sin y, M ( , ),   ;
4 3
4
23.
30.
 
z  3 x 2 y  xy , M (2,2),  
 


;
6
31.
32.
33.

24.
z  2 cos( x  y )  2 x, M ( , ),   ;
6 6
3
34.
25.
z  x sin( x  y )  1, M ( , ),   ;
6 6
4
36.
z  ln( x 2  y 2 ), M (3,4),  
37.
26.
27.
28.
29.
 


6
;
x
y

 , M (1,2),   ;
3
4
4
 

z  xtgy  cos x, M ( , ),   ;
6 4
4

z  ln( x  2 y )  xy, M (1,1),   ;
3
z
3
4
35.
38.
39.
40.
z  ex
2
 y2
, M (2,2),  

;
3
z  x 2  xy  y 2 , M 1;1, l 2;1 ;
z  2 x 2  3xy  y 2 , M 2;1, l 3;4 ;

z  ln 5 x

 4 y , M 1;1, l 2;1 ;
z  ln 5 x 2  3 y 2 , M 1;1, l 3;2  ;
2
2
z  5 x 2  6 xy, M 2;1, l 1;2  ;
 
z  arctg xy2 , M 2;3, l 4;3 ;
 x2 
z  arcsin  , M 1;2, l 5;12 ;
 y
z  ln 3x 2  4 y 2 , M 1;3, l 2;1 ;
z  3x 4  2 x 2 y 3 , M  1;2, l 4;3 ;
z  3 x 2 y 2  5 xy2 , M 1;1, l 2;1 .
В задачах 41-60 найти экстремум заданной функции.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
z  x 2  xy  y 2  3x  6 y  2;
z  2 x 2  xy  y 2  3x  y  1;
z  3x 2  2 xy  y 2  2 x  2 y  3;
z  2 x 2  xy  y 2  7 x  5 y  2;
z  x 2  3xy  y 2  4 x  6 y  1;
z  3x 2  xy  6 y 2  6 x  y  9;
z  x 2  3xy  2 y 2  4 x  6 y  2;
z  4 x 2  2 xy  y 2  2 x  4 y  1;
z  0,5 x 2  xy  y 2  x  2 y  8;
z  8 x 2  xy  2 y 2  16 x  y  1;
В задачах 61-80 изменить порядок
интегрирования изобразить на чертеже.
61.
1
3 x
0
2x2
 dx

f x, y  dy .
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
z  2 x 2  3 y 2  2 xy  2 x  16 y  3;
z  6 xy  2 x 2  y 2  14 x  5;
z  2 x 2  y 2  3xy  2 x  7 y  6;
z  10 xy  3x 2  2 y 2  26 x  18 y  1;
z  3x 2  2 y 2  2 xy  14 x  8 y  1;
z  3  3x 2  5 y 2  8xy  4 x  26 y;
z  2 x 2  3 y 2  2 xy  8x  10 y  6;
z  5 x 2  3 y 2  2 xy  18x  10 y  4;
z  5  7 x 2  5 y 2  2 xy  34 x  34 y;
z  2 x 2  3 y 2  2 xy  10 x  16 y  7.
интегрирования
3
62.
2
y 3
в
интеграле.
 dy  f x, y  dx .
0
2y2
Область
63.
64.
0
3 x
1
1
2x2
3 y
0
2y2
 dx  f x, y  dy .
 dy

0
65.
 dx
3
66.
67.
68.
69.
70.
2
3 x

74.
f x, y  dy .
75.
2x2
0
5 4  y
2
0
3 4 x
0
3 y
4
 9 y 2
1
x 2 1

y2
9
1
 dy  f x, y  dx .
y2
f  x, y  dx .
4
25  y 2
y2
 dy
78.
 2
79.
 3  12  4 x  x 2
 3  12  4 x  x
1
1
y 2 1
f x, y  dy .
80.
2
 f x, y  dx .
2
y 1
3
 dx  f x, y  dy .
3
3 4 y
1 y 2
x2 4
2
 dy  f x, y  dx .
2
3
 dx  f x, y  dy .
7

0
x2
2
2
f x, y  dy .
1
9
x2
2
 dx  f x, y  dy .
10
77.
0
 dx
 dy  f x, y  dx .
2
f x, y  dy .


y
2
76.
25 x
 dx
4x x2
1
4
 dy
0
1
 dx  f x, y  dy .
3
 dy  f x, y  dx .
 dx
16  x 2
0
9 y 2
6
72.
f  x, y  dx .
4
0
71.
73.
4
9
9
x
10  x
7
9
 dx  f x, y  dy .
x
2
 dy  f x, y  dx .
В задачах 81-100 с помощью двойного интеграла вычислить координаты центра
тяжести фигуры, ограниченной заданными линиями (поверхностную плотность
считать равной единице; в задачах 81-90 вычислить координаты центра тяжести
меньшей по площади фигуры).
81.
x2  4 y 2  1 ;
2
82.
83.
84.
86.
87.
88.
90.
x2 y 2

 1;
25 9
x2  y 2  4 ;
91.
y 2  x  1;
x y
  1.
7 2
x  5y  1.
92.
y2  2x  4 ;
93.
y2  x  4 ;
x  3y  3 .
94.
95.
96.
y2  9x  9 ;
x
y

 1;
16 9
9 x 2  16 y 2  1 ;
x y
  1.
4 3
3x  4 y  1 .
x  y  9;
x  y  3.
2
2
85.
2
 x  2 y  1.
2
2
x
y

 1;
49 4
x 2  25 y 2  1 ;
x2
 y 2  1;
9
4 x 2  25 y 2  1 ;
2x  5 y  1 .
89.
y 2  2 x  16 ;
x2  2 y  4 ;
x y
  1.
5 3
x  y  2  0.
1
y2   x  1.
2
1
y2   x  4 .
2
1
y2   x  4 .
3
2
y  x  9 .
y 2  x  16 .
x2   y  4 .
97.
98.
x2  9 y  3 ;
x2  3 y  9 ;
x2   y  3 .
x2   y  9 .
99.
100.
x 2  16 y  1 ;
x 2  25 y  25 ;
x 2  y  1.
x 2  5 y  25 .
В задачах 101-110 вычислить работу, совершаемую переменной силой
F  P( x, y )i  Q( x, y ) j на криволинейном пути L, соединяющем заданные точки M
и N.
101.
F  (3 x  y 2 )i  (5 xy  1) j ;
L – дуга параболы y  x 2  2 x ;
102.
F  (8 x 2  y )i  (3x 2 y  x) j ;
L – дуга параболы y  2 x 2  1 ;
103.
106.
F  (8 x y  x)i  (2 y  1) j ;
M (0; 0), N (2; 32).
F  (5 x  y )i  ( xy  1) j ;
L – отрезок прямой, соединяющий точки M (1; 2) и N (3; 5).
F  ( xy  3)i  (2 x 2  y ) j ;
3
L – дуга параболы y  3x 2  x ;
107.
M (0; 0), N (2; 8).
2
L – дуга параболы y  7 x 2  2 x ;
105.
M (0; 1), N (2; 9).
F  (3xy  x 2 )i  (8 y  x) j ;
L – дуга кубической параболы y  x 3 ;
104.
M (0; 0), N (1; 3).
M (1; 4), N (3; 30).
F  ( x 2 y  x)i  (3x 3  y ) j ;
L – дуга кубической параболы y  x3  1 ; M (0; 1), N (1; 2).
108.
F  (3 y  x 2 )i  (2 xy  1) j ;
L – дуга кубической параболы y  x3  2 ;
109.
2
L – дуга параболы y  x 2  x ;
110.
M (1; 3), N (2; 10).
F  ( xy  x )i  (5 x  y ) j ;
3
M (1; 2), N (3; 12).
F  (2 x 2 y  1)i  (3x  y ) j ;
L – дуга параболы y  3x 2  2 ;
M (2; 14), N (3; 29).
В задачах 111-120 установить независимость от пути интегрирования и вычислить
криволинейный интеграл по контуру, связывающему точки M (1; 2) и N (3; 5).
111.
112.
113.
114.
115.
 ( x  2 y)dx  (2 x  5)dy ;
 (1  2 xy)dx  ( x  y)dy ;
 (x  y)dx  ( x  3 y)dy ;
3
2
2
1
 (3  xy)dx  ( 2 x  2 y )dy ;
 (5x  2 y)dx  (2 x  y)dy ;
2
116.
117.
118.
119.
120.
 (3x  y)dx  ( x  3 y)dy ;
 (4 xy  3)dx  (2 x  y)dy ;
 (4  xy )dx  ( x y  2 y)dy ;
 (2 xy  8)dx  ( x  2 y)dy ;
 (5x  3 y)dx  ( y  3x)dy .
2
2
2
2
2
2
2
В задачах 121-140 1)
найти
общее
решение
(общий
интеграл)
дифференциальных уравнений первого порядка;
2)
найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее
указанному начальному условию.
x  8y
;
8x  y
/
2 x
2) y  2 xy  3x e , y 0  0 ;
2
121.
1) y / 
122.
1) xy y /  x 2  y 2 ;
123.
1) y / 
124.
1) xy/  x tg
y
 y;
x
/
2) y  y ctg x 
125.
1) xy/  y ln
y
 0;
x
  
/
2
2) xy  y  x  sin x , y    ;
2 2
126.
1) y / 
127.
1) xy y /  x 2  y 2 ;
/
2) y 
128.
1) x  y  y /  2 x  y ;
2
/
2
2) 1  x y  y  y arctg x , y 0  1 ;
129.
1) xy/  y ln 2
130.
1) xy/ ln
131.
1) xy/  y  2 x ctg
132.
1) y / 
133.
1) xy y /  2 x 2  y 2 ;
/
2) y 
134.
1) x 2 y /  y 2  xy  x 2 ;
/
2) y  3 y tg 3x  sin 6 x , y 0  
135.
1) 2 x  y y /  x  2 y ;
2
/
2) 1  x y  y  arctg x , y 0  1 ;
136.
1) y / 
137.
1) x  2 y  y /  x  y ;
  
/
2
2) xy  y  y  sin x , y    ;
2 2
x y
;
x y
/
x
2) y  2 xy  x ln x e , y 1  0 ;
2
y
y
 sin ;
x
x
1
 
, y    0;
sin x
2
/
2
2) y cos x  y  tg x , y 0  1 ;
y
 0;
x
y
y
 x  y ln ;
x
x
y
;
x
x  2y
;
2x  y
y
y2
 1 2 ;
x
x

1
y  xy2 , y 1  1 ;
x

/
2
3 x
2) y  3x y  x e , y 0  0 ;
3
  
/
2
2) xy  y  x  cos x , y    ;
2 2
 
/
2
2) y sin x  y  ctg x , y    1 ;
2
2
/
2
2) 1  x y  y  y arcsin x , y 0  1 ;

/
2) y 
2x
y  arctg 2 x , y 0  0 ;
2
1 x
1
;
3

2 xy
arctg x
4
2
1 x
1  x2
/
2) y 
y , y 0  1 ;
1
ctg x
 
 y  y2
, y    1;
2
2
sin x
sin x
2
y
;
x
138.
1) xy/  y  3x sin
139.
1) xy/  y  y ln
140.
1) 3x  y  y /  x  3 y ;
y
;
x
/
2) y 
/
2) y 
1
1 x
2
2
y  x 2 y 2 , y 1  1 ;
x
y
arcsin x
1  x2
, y 0  1 ;
/
2
2
2) y cos x  y  y tg x , y 0  1 .
В задачах 141–160 найти: а) частное решение линейного однородного
дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами,
удовлетворяющее заданным начальным условиям;
б) общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами.
141.
142.
143.
144.
145.
146.
147.
148.
149.
150.
151.
152.
153.
154.
а) y //  7 y /  10 y  0 ; y 0  2 ; y / 0  1 ;
б) y //  2 y /  3x 2  1 ;
 
 
а) y //  2 y /  10 y  0 ; y    0 ; y /    1 ;
2
2
//
/
x
б) y  5 y  6 y  2 x e ;
а) y //  6 y /  9 y  0 ; y 0  1 ; y / 0  0 ;
б) y //  8 y /  x  1 e2 x ;
а) y //  8 y /  7 y  0 ; y 0  2 ; y / 0  1 ;
б) y //  6 y /  8 y  3e4 x ;
а)
б)
а)
б)
а)
б)
а)
б)
а)
б)
а)
б)
а)
б)
а)
y //  9 y  0 ; y    0 ; y /    1 ;
y //  2 y /  3 y  x e x ;
y //  7 y /  12 y  0 ; y 0  2 ; y / 0  2 ;
y //  y /  2 y  x  2 e2 x ;
y //  9 y /  0 ; y 0  1 ; y / 0  3 ;
y //  2 y /  8 y  3x  1 e2 x ;
y //  3 y /  2 y  0 ; y 0  0 ; y / 0  1 ;
y //  7 y /  2 x 2  x ;
y //  5 y /  6 y  0 ; y 0  5 ; y / 0  0 ;
y //  y /  8x 2 e x ;
y //  2 y /  5 y  0 ; y 0  1 ; y / 0  0 ;
y //  3 y /  10 y  2 x 2 e x ;
y //  16 y  0 ; y    1; y /    0 ;
y //  2 y /  x 2  3x  1 ;
y //  10 y /  25 y  0 ; y 0  1 ; y / 0  1 ;
y //  5 y /  24 y  2 x  3 e x ;
б)
а) y //  6 y /  0 ; y 0  2 ; y / 0  2 ;
б) y //  2 y /  3 y  8 e3 x ;
а) y //  4 y /  4 y  0 ; y 0  1 ; y / 0  3 ;
155.
156.
157.
158.
159.
160.
б) y //  2 y /  3 y  2 e3 x ;
а) y //  8 y /  15 y  0 ; y 0  1 ; y / 0  2 ;
б) y //  8 y /  x 2  1 e x ;
 
 
а) y //  4 y /  5 y  0 ; y    0 ; y /    1 ;
2
2
//
/
x
б) y  4 y  3 y   x e ;
а) y //  2 y /  y  0 ; y 1  0 ; y / 1  2 ;
б) y //  2 y /  3 y  x  2 e x ;
а) y //  y  0 ; y    1; y /    4 ;
б) y //  y /  6 y  2 x  1 e2 x ;
а) y //  7 y /  6 y  0 ; y 0  2 ; y / 0  0 ;


б) y //  4 y /  2 x 2  3x  1 ;
а) y //  8 y /  16 y  0 ; y 0  1 ; y / 0  0 ;
б) y //  5 y /  6 y  2 x e3 x .
В задачах 161-180: а) исследовать на сходимость с помощью признака Даламбера
числовой ряд;
б) исследовать на сходимость с помощью признака Лейбница знакочередующийся
ряд;
в) найти радиус сходимости степного ряда и определить тип сходимости ряда на
концах интервала сходимости.
161.
162.
163.
164.
165.
166.
167.
2n
;

2
n 1 n

2n
а)  n 1 ;
n 1 n 5
а)


1
;

n
n 1 n  2 5

n
а)  n  2 ;
n 1 3

3n
а)  2 ;
n 1 n

1
а) 
;
n
n 1 n  1 7
а)
а)
7n
;

n 1 n  3


168.
а)
2
n
 n  1
n 1
n2
а)  n ;
n 1 2

169.
170.
;
2
а)

б)
  1 n
n 1

б)
  1
n
n 1
б)

  1
n
n 1

1
;
n5
в)
1
;
2
n 3
в)
1
;
n2
в)
1
;
n
n 1

1
б)   1 n
;
n 1
n 1

2
б)   1 n 2
;
n 1
n 1
б)
  1
б)
  1

n
n
n 1

2
;
n
3
;
n2
n 1

n
б)   1 n 2
;
n 1
n 1
б)
n 1
5
;

2
n 1 n

  1

б)
n
  1 n
n 1
n
;
n3

n
5
n 1
xn ;
n
3n n
x ;

n 1 n

2n n
x ;

n 1 n  1

1
в)  x n ;
n 1 n

1
в)  n x n ;
n 1 2

n
в)  n x n ;
n 1 3
в)


1
n 5
n
n 1

в)
1
7
n 1

в)
n 1
в)

xn ;
n
1
5
n
xn ;
1
n 7
n 1
xn ;
n 1
xn ;
n2
;

n 1
n 1 5

n
а)  n  2 ;
n 1 3

а)
171.
172.
2
;

2
n 1 n  2 

1
а)  n ;
n 1 2  n

n 1
а)  n ;
n 1 2

1
а)  n ;
n 1 n 5
174.
175.
176.
а)
177.
а)
3
 n  2
2

5
n 1
а)
179.
а)
180.

  1 n
б)
n 1

n
n 1
  1

1
;

n
n 1 n  1 3
8
;

2
n 1 n  1
в)
б)

  1
n
3
n 1
б)

  1
n
n 1
б)

  1 n
n 1
1
n2 x

1
n 7
n
n 1
n
;
n
1
;
n2
1
;
n5
в)

n x
xn ;

1
; в)
n  2 2
n 1
n

  1

n 1
n

б)
;
;
в)
1
;
n
n 1

1
б)   1 n 3 ;
n
n 1

n
б)   1 n 2
;
n 2
n 1
б)
n

n 1
178.
  1 n
n

а)
173.

2
;
n2
n 1

1
б)   1 n 2 ;
n
n 1
б)
1
n5 x
n
;
n 1
n
;
n 1
в)

n
2
n 1
в)

n
5
n 1
xn ;
n
n
xn ;

1
1
; в)  n x n ;
n 1
n 1 3

n
в)  n x n ;
n 1 7

n 1
в)  n x n ;
n 1 8
n
;
2
n 3
в)

1
n 7
n 1
n 1
xn .
В задачах 181-200 вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем
предварительного разложения подинтегральной функции в ряд и почленного
интегрирования этого ряда.
1
4
181.

sin
0
x
2 dx ;
x
1
182.
x
0
1
9
183.

4
x e
0
1
2
184.
e
1
 x2
2
x
1
4
187.
dx ;
dx ;
0
1
4
186.
x
0
1
4
188.
2
e
 x

0
1
5
189.
 
sin x 2
0 x dx ;
 x ln 1 
sin 4 x
0 x dx ;
x cos 2 x dx ;
x e
3
 x3
dx ;
193.
194.

x dx ;
dx ;
4

0
1
8
191.
sin 2 x
x
 
sin x 2
0 x dx ;
1
9
192.
dx ;

0
x cos
x
dx ;
3

0
1
4
195.
2
x e x dx ;
sin
x
x
x
2
dx ;
ln 1  x  dx ;
0
1
3
1
190.

0
1
4
0
1
3
185.
1
196.

x sin
x dx ;
0
1
2
197.
 x cos
0
1
4
198.
x e
0
1
 x3
2
x dx ;
dx ;
1
199.

xe
 x3
dx ;
0
1
2
200.
 x ln 1  x  dx .
2
0
В задачах 201-220 разложить заданную функцию f x  в ряд Фурье по косинусам на
отрезке  0;   .
201.
202.
203.
204.
205.
206.
207.
208.
209.
f x   x  2 ;
f x  1 2 x ;
f  x   3x ;
f x   2 x  1;
f x   1  x ;
f x    x  1 ;
f x   2 x  1 ;
f x     x ;
f x     2 x ;
210.
211.
212.
213.
214.
215.
216.
f x  

 x;
2
f  x   3x  1 ;
1
f  x     x ;
4
f x   2 x  3 ;
f x   7 x  1 ;
f x   x  2 ;
f x   x  1;
217.
f x   x 
218.
f x  

219.
f x  

220.
2

2
;
 2x ;
 8x ;
2
f x  3x  8 .
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4
В задачах 1-10 найти вероятности указанных событий, пользуясь правилами сложения
и умножения вероятностей.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора.
Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95; второй
сигнализатор срабатывает с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что при
аварии сработает только один сигнализатор.
Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того,
что наугад взятое изделие окажется бракованным, равна 0,15. Проверено три изделия.
Какова вероятность того, что два из них бракованные?
В группе студентов, состоящей из 20 человек, 12 юношей и 8 девушек. Для дежурства
случайным образом отобрано двое студентов. Какова вероятность того, что среди них
будет один юноша и одна девушка?
В ящике имеется 12 деталей, из которых 5 деталей нестандартны. Сборщик наудачу
извлекает из ящика 4 детали. Какова вероятность того, что все они будут
нестандартными?
Студент знает 15 из 20 вопросов программы. Какова вероятность того, что он знает
все три вопроса, предложенные экзаменатором?
Техническое устройство содержит три независимо работающих элемента.
Вероятности отказа этих элементов соответственно равны 0,05; 0,07 и 0,09. Найти
вероятность того, что техническое устройство не сработает, если для этого
достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.
Для поражения цели достаточно одного попадания. По цели произведено три
выстрела с вероятностями попадания 0,75; 0,85; 0,9 соответственно. Найти
вероятность того, что цель будет поражена.
Вероятность попадания в мишень при трех выстрелах хотя бы один раз для
некоторого стрелка равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле.
Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что
наудачу взятое изделие окажется высшего сорта равна 0,3. Найти вероятность того,
что из трех проверенных изделий только два будут высшего сорта.
Исследователь разыскивает нужные ему сведения в трех справочниках. Вероятности
того, что эти сведения находятся в первом, во втором и в третьем справочнике равны
соответственно 0,7; 0,6; 0,9. Найти вероятность того, что требуемые сведения
содержатся хотя бы в одном справочнике.
В урне находятся 15 шаров, пять из которых красные, а остальные белые. Наудачу
друг за другом извлекаются три шара. Какова вероятность того, что все они будут
красными?
В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров. Во втором ящике 8 белых и 4 черных
шара. Из каждого ящика наудачу вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара
белые?
Три стрелка производят выстрел по цели. Вероятность попадания в цель для первого
стрелка равна 0,6, для второго – 0,8, для третьего – 0,9. Найти вероятность того, что
произойдет не менее двух попаданий.
В урне 20 шаров, из которых 7 красных, а остальные белые. Наудачу вынули три
шара. Какова вероятность, что все они белые?
Вероятность того, что электролампочка неисправна, равна 0,2. Какова вероятность
того, что хотя бы одна из четырех электролампочек исправна?
В группе из 18 студентов имеется 5 отличников. Выбираются наудачу три студента.
Какова вероятность, что все они отличники?
17.
18.
19.
20.
В ящике находятся 15 деталей, пять из которых бракованные. Наудачу отобраны три
детали. Какова вероятность, что все они не окажутся бракованными?
Имеются два ящика, в первом из которых 5 белых и 8 красных шаров, а во втором – 3
белых и 2 красных шара. Из каждого ящика вынимается наудачу по одному шару.
Какова вероятность того, что один из них будет красным, а другой белым?
Вероятность выхода из строя станка в течение одного рабочего дня равна 0,01. Какова
вероятность того, что за три рабочих дня станок ни разу не выйдет из строя?
Вероятность обнаружения цели при одном цикле обзора радиолокационной станцией
равна 0,3. Какова вероятность обнаружения цели хотя бы один раз при четырех
циклах обзора?
В задачах 21-40 дискретная величина Х может принимать только два значения: x1 и
x2 , причем x1  x2 . Известны вероятность p1 возможного значения x1 ,
математическое ожидание M  X  и дисперсия D X  . Найти закон распределения
этой случайной величины.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
p1  0,1; M  X   3,9 ; D X   0,09 ;
p1  0,2 ; M  X   3,8 ; D X   0,16 ;
p1  0,3 ; M  X   3,7 ; D X   0,21 ;
p1  0,4 ; M  X   3,6 ; D X   0,24 ;
p1  0,5 ; M  X   3,5 ; D X   0,25 ;
p1  0,6 ; M  X   3,4 ; D X   0,24 ;
p1  0,7 ; M  X   3,3 ; D X   0,21 ;
p1  0,8 ; M  X   3,2 ; D X   0,16 ;
p1  0,9 ; M  X   3,1 ; D X   0,09 ;
p1  0,9 ; M  X   2,2 ; D X   0,36 ;
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
p1  0,1; M  X   1,9 ; D X   0,09 ;
p1  0,2 ; M  X   2,6 ; D X   0,64 ;
p1  0,3 ; M  X   3,1 ; D X   1,89 ;
p1  0,4 ; M  X   3,4 ; D X   3,84 ;
p1  0,5 ; M  X   3,5 ; D X   6,25 ;
p1  0,6 ; M  X   2,4 ; D X   0,24 ;
p1  0,7 ; M  X   2,6 ; D X   0,84 ;
p1  0,8 ; M  X   2,6 ; D X   1,44 ;
p1  0,9 ; M  X   2,4 ; D X   1,44 ;
p1  0,9 ; M  X   3,2 ; D X   0,36 .
В задачах 41-60 найти вероятность того, что из 500 10  N проверенных изделий
стандартными окажутся:
а)
ровно 470 10  N изделий;
б)
не более 470 10  N и не менее 395 10  N изделий;
в)
не более 394 10  N изделий.
Вероятность того, что наудачу взятое изделие отвечает стандарту, равна 0,9.
Замечание: N – номер варианта студента с 1 по 20.
В задачах 61-80 случайная величина X задана функцией распределения вероятностей
F  X  . Найти:
1 2
а)
вероятность попадания случайной величины X в интервал  ;  ;
3 3
б)
плотность распределения f x  вероятностей случайной величины X;
в)
математическое ожидание M  X  случайной величины X;
г)
дисперсию D X  случайной величины X.
Построить график функции распределения случайной величины.
61.
0 при x  1,
1

2
F  X     x  1 при  1  x  1,
4
1 при x  1;
62.
0 при x  0,
1
4

F  X    x 2  x при 0  x  1,
5
5
1 при x  1;
63.
0 при x  2,
1

2
F  X     x  2  при  2  x  1,
9
1 при x  1;
64.
0 при x  0,
1
3

F  X    x 2  x при 0  x  1,
4
4
1 при x  1;
65.
0 при x  0,
1
6

F  X    x 2  x при 0  x  1,
7
7
1 при x  1;
66.
0 при x  2,
1

2
F  X    x  2  при  2  x  2,
16
1 при x  2;
67.
0 при x  1,
1

2
F  X     x  1 при  1  x  2,
9
1 при x  2;
68.
69.
0 при x  0,
1
5

F  X    x 2  x при 0  x  1,
6
6
1 при x  1;
1

0 при x  5 ,

2

1
1
6
F  X    x   при
x ,
5
5
5


6
1 при x  ;
5

70.
0 при x  0,
1
1

F  X    x 2  x при 0  x  2,
4
8
1 при x  2 ;
71.
0 при x  0,
1
2

F  X    x 2  x при 0  x  1,
3
3
1 при x  1;
72.
0 при x  0,
1
2

F  X    x 2  x при 0  x  3,
9
 27
1 при x  3;
73.
0 при x  2,
1

2
F  X     x  2  при  2  x  5,
 49
1 при x  5;
74.
75.
1

0 при x  4 ,

2

1
1
5
F  X    x   при
x ,
4
4
4


5
1 при x  ;
4

0 при x  1,
1

2
F  X     x  1 при  1  x  3,
16

1 при x  3;
76.
0 при x  0,
1
1

F  X    x 2  x при 0  x  1,
2
2
1 при x  1;
77.
1

0 при x   2 ,

2

1
1
1
F  X    x   при   x  ,
2
2
2


1
1 при x  ;
2

78.
0 при x  0,
1
2

F  X    x 2  x при 0  x  1,
3
3
1 при x  1;
79.
0 при x  0,
1
4

F  X    x 2  x при 0  x  1,
5
5
1 при x  1;
80.
0 при x  1,
1

2
F  X     x  1 при  1  x  4,
 25
1 при x  4.
В задачах 81-100 предполагается, что случайные отклонения контролируемого
размера детали, изготовленной станком – автоматом, от проектного размера
подчиняются нормальному закону распределения со средним квадратическим
отклонением  (мм) и математическим ожиданием а=0. Деталь, изготовленная
станком – автоматом, считается годной, если отклонение ее контролируемого
размера от проектного по абсолютной величине не превышает m (мм). Сколько
процентов годных деталей изготовляет станок?
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
m=15,
m=18,
m=20,
m=6,
m=8,
m=17,
m=12,
=7;
=10;
=10;
=3;
=5;
=10;
=8;
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
m=40,
m=25,
m=30,
m=40,
m=60,
m=50,
m=35,
=18;
=12;
=18;
=22;
=35;
=30;
=17;
95.
96.
97.
98.
99.
100.
m=45,
m=28,
m=32,
m=44,
m=50,
m=38,
=20;
=16;
=18;
=20;
=28;
=16.
В задачах 101-120 известно, что проведено n равноточных измерений некоторой
физической величины и найдено среднее арифметическое результатов измерений x .
Все измерения проведены одним и тем же прибором с известным средним
квадратическим отклонением ошибок измерений. Считая результаты измерений
нормально распределенной случайной величиной, найти с надежностью 
доверительный интервал для оценки истинного значения измеряемой физической
величины.
101.
x  40,2 ;
=2,3;
=0,9;
n=16;
102.
x  83,1 ;
=3,2;
=0,95;
n=24;
103.
x  45,7 ;
=3,7;
=0,93;
n=9;
104.
x  48,9 ;
=4,1;
=0,85;
n=15;
105.
x  20,3 ;
=1,8;
=0,95;
n=18;
106.
x  73,2 ;
=5,7;
=0,92;
n=25;
107.
x  88,3 ;
=6,1;
=0,95;
n=30;
108.
x  68,1 ;
=5,1;
=0,9;
n=17;
109.
x  72,8 ;
=4,7;
=0,92;
n=14;
110.
x  83,7 ;
=6,2;
=0,9;
n=12;
111.
x  47,2 ;
=3,4;
=0,95;
n=28;
112.
x  53,1 ;
=4,2;
=0,85;
n=8;
113.
x  37,8 ;
=6,7;
=0,8;
n=30;
114.
x  41,7 ;
=3,4;
=0,95;
n=12;
115.
x  87,4 ;
=7,1;
=0,9;
n=14;
116.
x  91,2 ;
=6,8;
=0,85;
n=17;
117.
x  48,5 ;
=4,2;
=0,95;
n=18;
118.
x  71,7 ;
=5,3;
=0,9;
n=14;
119.
x  82,5 ;
=3,4;
=0,9;
n=20;
120.
x  34,2 ;
=2,8;
=0,95;
n=22.