ИТМ - LanCats

Министерство образования и науки Российской Федерации.
Федеральное агентство по образованию.
ГОУ ВПО Нижегородский Государственный Педагогический Университет.
Факультет математики, информатики, физики.
Кафедра алгебры и геометрии.
«Двойной интеграл и его применение»
Выполнила студентка
очного отделения, 4 курса
Герасимова Д.П.
Проверила:
Клюева Е.Ю.
Нижний Новгород,
2007
Содержание.
1. Теоретический монолог.
2. Калейдоскоп примеров.
3. Лист для заметок.
4. Оценка + Я.
1.Теоретический монолог.
Определение двойного интеграла:
Пусть F:D→R, D- квадратичная, замкнутая, ограниченная область.
Σ- интегральная сумма;
{ σ(f,τ{Ак})}-для одной и той же точки мн-во интегралов.
Определение 1.
Число Ј=limd→0σ(f,τ{Ак}), если для любого ε>0 существует δ=δ(ε)>0:│ Јσ(f,τ{Ак})│<ε
D=max(d1,d2,….dn),dk=diamDk,k=1…n.-мелкость дробления
Объем цилиндрического тела. Определение двойного интеграла.
Рассмотрим задачу об определении объема цилиндрического тела.
Цилиндрическим телом будем называть ограниченное плоскостью ХОУ,
цилиндрической поверхностью с образующей // осей OZ и плоскостью
z=f(x,y)
В основании этого цилиндра область D. Если тело разбивается на
конечное число частей, то V его будет равен сумме объемов его частей.
Пусть поверхность z=f(x,y) ограничивает цилиндрическое тело сверху,
при этом f(x,y)≥0 в области D (для всех точек).
При этом f(x,y) непрерывна в D, которая представляет собой
замкнутую область.
Обозначим , через V- объем цилиндра тела.
Разобьем цилиндрическое тело на n-частей произвольным образом, где
на каждой из этих площадок строится цилиндр и рассматривается значение
функции в этой точке.
D:
∆S1,
∆S2
∆Si
∆Sn
P1
P2
Pi
Pn
f(x1,y1)
f(x2,y2)
f(xi,yi)
f(xn,yn)
f(P1) ∆S1 f(P2) ∆S2
f(Pi) ∆Si
f(Pn) ∆Sn
Vn=∑ f(Pi) ∆Si
(1),
Где Рi- точка с координатами (хi,yi)
Эта сумма является интегральной суммой для функции f(x,y) в
области D . Геометрически это есть объем ступенчатого тела состоящего из
n-частичных объемов.
Рассмотрим последовательность с законом (1).
Vn1, Vn2, Vnk
(2)
Теорема существования двойного интеграла: Если функция f(x,y)непрерывна в
замкнутой областиD, то предел последовательности (2)интегральных сумм
существует, если тах{∆Si}→0 и n→∞. Этот предел один и тот же для
любой последовательности вида (1), т.е. он не зависит ни от способа
разбиения области D, ни от выбора точек Pi внутри площадок разбиения.
Определение: Предел к которому стремиться n-ая интегральная
сумма (1) при n→∞ и при стремлении тах{∆Si}→0 называется двойным
интегралом от функции Р(х,у) по области D.
limn→∞Vn=limтах{∆Si}→0∑f (хi,yi )∆Si=∫∫f(x,y)ds=∫∫f(x,y)dxdy
ds=dxdy
Свойства двойных интегралов.
1. Двойной интеграл зависит от подынтегральной функции и области
интегрирования и не зависит от обозначения переменных
интегрирования.
 f ( x, y)dxdy   f (u, v)dudv
D
D
2. Двойной интеграл от суммы конечного числа слагаемых равен сумме
двойных интегралов этих слагаемых
 ( f  g )dxdy   fdxdy   gdxdy
D
D
D
3. Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла
 cf ( x, y)dxdy  c f ( x, y)dxdy
D
D
4. Если область интегрирования D представляет собой прямую сумму
областей, D1 u D2 (D=D1+D2),то
 f ( x, y)dxdy   f ( x, y)dxdy   f ( x, y)dxdy
D
D1
D2
5. Если во всех точках области D значение функции f(x,y)≥g(x,y) (в
точках области D), то
 f ( x, y)dxdy   g ( x, y)dxdy
D
D
6. Если функция f(x,y)=1 во всех точках области D,то
 dxdy  S
D
D
7. Если функция f(x,y) ограничивается наибольшими и наименьшими
значением во всех точках области D
m  f ( x, y )  M , то
mS D   f ( x, y)dxdy  MS D
D
M,m-наиб.,наим. значение ф-ии в области D.
8. Теорема о среднем значении
 f ( x, y)dxdy  f (c)S
D
D
Т.е. в области D найдется некоторая точка С(α,β), что двойной интеграл
будет равен произведению значения функции в этой точке на площадь
области D.
Вычисление двойного интеграла в прямоугольных координатах
Пусть область В такова, что она ограничена следующими линиями:
Причем функции непрерывны на [a,b]
Предполагается, что область В правильная, т.е. всякая прямая
параллельная оси ОУ имеет с границей области D не > 2-x точек
пересечения.
Пусть функция f(x,y) непрерывна в области D. Рассмотрим
выражение:
 2 ( x )

 D     f ( x, y )dy dx - двукратный интеграл от функции f(x,y) в области


a  1 ( x )

b
D.
Теорема: двойной интеграл от непрерывной функции f(x,y) по
правильной области D= двукратному интегралу от этой функции по
области D.
Двойной интеграл в полярных координатах
 f ( x, y)dxdy
D
 x   cos 
 y   sin 
D: 
Разобьем область D на частичные области ∆Si линиями ρ=const и
φ=const, частичные области будут прямоугольные, криволинейными,
ограниченные дугами окружностями и их радиусами.
1
 i   i 2   i  1  i2  i  1  i2  i  1  i2  i   i  i  i  1  i2  i 
2
2
2
2
2
 i 

  i 
 i   i
2 


Обозначим  i  i   i'  S i   i'   i   i
2
Выбираем на этом среднем радиусе точку  i xi , yi 
S i 
xi   i'  cos  i
yi   i'  sin  i

D
n
f ( x, y)dxdy  lim  f (  i' cos  i ,  i' sin  i )  S i   f (  cos  ,  sin  )dd
i 1
D
Т.о. формула перехода от прямоугольных координат к полярным,
выглядит следующим образом.
 f ( x, y)dxdy   f (  cos  ,  sin  )dd
D
D
Как расставляются пределы интегрирования в полярных системах
координат:
1. если полюс находится вне области D
 1     2
D:
 1       2  
2
 2  
 f (  cos  ,  sin  )dd   d   f  cos  ,  sin  d
D
1
1
2. если полюс находится внутри области D причем область D
ограничена прямой
 0    2
D:
 0      
2
  
0
0
   d
 f (  , )d
2.Калейдоскоп примеров.
1. Переменить порядок интегрирования
1
3 y
0
dy 2
 dy

x
2
2
3
3 x
2
0
f ( x, y )dx   dx  f ( x, y )dy   dx  f ( x, y )dy
0
0

0  y 1
2y  x  3  y
D: 
2

 0 x2
D1: 
;
x
0  y 

2
 2 x3
0  y  3  x
D2: 
В любом интеграле в прямоугольной системе координат можно
поменять порядок интегрирования.
2. Вычислить объем тела ограниченного поверхностями
z=0, z=1-y, y=x2
V=  f ( x, y)dxdy   (1  y)dxdy
D
D
1  x  1
2
x  y 1
D: 
1
1
 dx  (1  y)dy 
1

x
2
1

 y  12
dx(
1
)
x2
1
2
1

1
x
2

2
1
1
dx   x 4  2 x 2  1 dx 
2
2 1
1


1 1 2
1  x5
x3
8
  2  x     1 
2 5
3
15
 1 5 3
3. Вычислить площадь области ограниченной кривыми.
y=-x2+4;
2x-y+1=0;
S D   dxdy
D
2x+x4-4+1=0
x1=-3, x2=1
x2+2x-3=0

3  x 1
D:
2
 2x  1  y  x  4
 x2 4
 x3
1
S D   dx  dy   dx y   dx  x  4  2 x  1    x  2 x  3 dx    x 2  3x  
2 x 1
 3
 3
3
2 x 1
3
3
3
1
2
   1  3  9  9  9  10
3
3
1
1
 x2 4
1

2

1

2

4. Вычислить объем тела ограниченного следующими поверхностями
z2=4x – параболический цилиндр параллельный ОУ x2+y2=2x –
круговой цилиндр с образующей параллельной OZ
2
x -2x+1+y2=1
( x-1)2+y2=1
V  2 4 xdxdy
D
 x   cos 

 y   sin 
 2 cos 2   sin 2    2 cos 

 





2
D: 2
0



2
cos




2
 2 

2
d
  2 cos 

2 cos 
2
 2  cos  d  4  d cos  2

0


5
5
2 2 cos 

0
2
5
5
8 2
32 2
  cos   2 2 cos 2 d 
5  2
5



 1  sin  d sin  

2
2

2
32 2 
sin   2 32 2 
1 1  32 2  4 128 2
 sin  



1  1    
5 
3  
5 
3 3
15
15
3
2
3.Лист для заметок.
1. Лекции по высшей математики.
Под ред. Герасимовой А.П., изд. Н.-Н.2006г.
4.Оценка + Я.
Работа оказалась не очень сложной, мною было рассмотрено
определение двойного интеграла, его свойства, вычисление объема
цилиндрического тела, вычисление двойного интеграла в прямоугольных
координатах, двойной интеграл в полярных координатах. Интересно было бы
еще рассмотреть применение двойных интегралов к задачам механики.
Работа была интересная и поучительная.