1.12. Спиновые системы. Квантовые спиновые модели Спиновые операторы. Матрицы Паули. Квантовые спиновые модели Спиновые операторы Причиной наличия магнитных степеней свободы у различных веществ являются некомпенсированные спины либо электронов на верхних орбиталях, либо ядер атомов Коммутационные соотношения: Для какой-либо одной из проекций оператора спина и оператора квадрата спина всегда имеется общая система собственных функций Понижающие и повышающие операторы: 2 Матричные элементы спиновых операторов Операторы квадрата спина и z-проекции спина на узле диагональны в узельном базисе: Для других операторов: 3 Матрицы Паули В важном частном случае для спина с максимальной проекцией 1/2 его компоненты часто более удобно выразить через матрицы Паули: Действие повышающих и понижающих матриц эквивалентно действию операторов рождения и уничтожения в ферми-статистике или в статистике hard-core: 4 Квантовые спиновые модели Взаимодействие спинов с внешним магнитным полем: Взаимодействие спинов между собой – обменное взаимодействие: Два электрона, локализованных на соседних узлах решетки: Кулоновская энергия взаимодействия двух электронов на узлах: 5 Квантовые спиновые модели Ферромагнитное упорядочение: Антиферромагнитное упорядочение: 6 Квантовые спиновые модели Модель Гейзенберга учитывает взаимодействие системы узельных спинов между собой и с внешним полем: Анизотропные магнетики: Ось легкого намагничивания: Плоскость легкого намагничивания: XYZ-модель: 7 Квантовые спиновые модели XXZ-модель: XY-модель – предельный случай XXZ-модели: Модель Изинга – другой предельный случай XXZ-модели: XXX-модель – полностью изотропная модель Гейзенберга: 8 Квантовые спиновые модели Магнитный кластер 9 Гамильтонова матрица для спиновой модели Фиктивные бозоны или псевдобозоны: Слагаемые гамильтониана, дающие диагональный вклад в гамильтонову матрицу: 10 Гамильтонова матрица для спиновой модели Слагаемые гамильтониана, дающие недиагональный вклад в гамильтонову матрицу: Расчет корреляторов по основному состоянию системы: Каждая собственная волновая функция гамильтониана представляет собой линейную комбинацию исходных узельных функций: Матричные элементы операторов в узельном базисе известны, поэтому 11 Инварианты в спиновых моделях Модель Гейзенберга с внешним полем, направленным вдоль оси z: В системе сохраняется проекция полного спина системы на ось z: Гамильтонова матрица разбивается на блоки, стоящие на главной диагонали и отвечающие различным суммарным проекциям спина, все элементы вне этих блоков равны нулю: 12 Инварианты в спиновых моделях Пример В системе 27 базисных состояний: Задача распадается на группу отдельных задач для каждого значения суммарной проекции спина 13