ФИЗИКА Ю.Н. Прошин кафедра т еорет ической физики Казанского федерального университ ет а

ФИЗИКА
Ю.Н. Прошин
кафедра т еорет ической физики
Казанского федерального университ ет а
yurii.proshin@kpfu.ru
2004-2013, Казань
1804-2004
Kazan
University
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6
#1
Решение
дифференциальных
уравнений
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
#2
Основные определения
dy
 f ( y, x) (1)
dx
y ( x0 )  y0
(2)
где
y – зависимая переменная,
x – независимая переменная,
f(y,x ) – функция производной = правая часть,
x0 - начальное значение независимой переменной,
y0 - начальное значение зависимой переменной.
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
#3
Основные определения
• Пусть задано уравнение
dy
 f (t, y ),
dt
Метод Эйлера
t0  t  tn ,
Решение будет искаться в виде
yk 1  y (tk )  h  f (tk , yk ),
y (t0 )  y0
yk+1
yk
δk
Δyk
αk
где h – шаг сетки, f (tk, yk) = tg αk
и h*tg αk = Δyk
• Ошибка дискретизации δ ~ h
h
tk
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
tk+1
#4
Основные определения
dy
  e t y (3)
dt
y (t0 )  y0
(4)
Уравнение (3) – дифференциальное уравнение
•первого порядка
•линейное
•в обыкновенных производных
•с зависящими от нез. переменной коэффициентами
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
#5
Основные определения
dy
  e t y (3)
dt
y (t0 )  y0
(4)
Метод численного решения – замена производных разностями
Простейший метод – метод Эйлера –> погрешность ~Δt = h
yk 1  yk
 f (tk )  yk 1  yk   tk 1  tk  f (tk ) (5)
tk 1  tk
y (t0 )  y0 , tk 1  tk  t  h (6)
yk 1  yk   exp( tk ) yk h,
y(t0 )  y0 (7)
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
#6
y
Решения
2.6
2.4
2.2
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
Euler
RK4
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6
t
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
#7
y
Решения
2.6
2.4
2.2
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
Euler
RK4
Точное решение
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6
t
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
#8
Дифференциальные уравнения.
• Общий случай
dy
 F( y , x, a, b, c,...,  ,  ,  ,...)
dx
y(x 0 )  y 0
•Роль дифф. уравнений в физике (рост, убывание, стремление к
равновесию,…, механика, молекулярная физика, квантовая механика,
электродинамика, …. ).
•Примеры
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
#9
Танцы звезд
• Задача многих тел.
Уравнения Ньютона или Гамильтона.
2
d ri
mi 2  mi ri 
dt
H

 p j   q
j

,

q j  H

p j

N

N
Fij   
j 1
j 1
mi m j
rij3

N
j  1,
,n
H
i 1
rij , i  1,
pix2

piy2

2mi
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
piz2
,N

N

i ,k 1
i k
mi mk
rik
# 10
Танцы звезд
• Задача многих тел. (3 тела).
Уравнения Ньютона или Гамильтона
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
# 11
Танцы звезд
• Задача многих тел. (3 тела и чуть больше).
Уравнения Ньютона или Гамильтона.
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
# 12
Танцы звезд
• Задача многих тел. (3 тела и чуть больше).
Уравнения Ньютона или Гамильтона.
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
# 13
Танцы звезд
• Задача многих тел. (3 тела и чуть больше).
Уравнения Ньютона или Гамильтона.
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
# 14
Сеточные функции
y
yn
y0 y1 y2
g(x)
...
a
•
x
b
Пусть задана непрерывная функция g(x) на участке [a,b].
•
Введем дискретный набор точек xi, сетку.
•
Точки {x0,x1,x2,…xn} – узлы сетки
x1 x2
•
Сетка с одинаковым расстоянием между произвольной парой
соседних точек – равномерная сетка.
• yi=g(xi) – сеточная функция, задаваемая в виде таблицы.
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
# 15
Разности
• Можно
ввести аналог производной для сеточной функции
df
dx  yi  yi 1  yi - правая разность
dx xi
•
Также задается
yi  yi  yi 1
- левая разность
1
1
 yi  (yi  yi )  ( yi 1  yi 1 )
2
2
•
- центральная разность
В общем случае
m yi  ( m1 yi )
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
# 16
Разности
Полезные выражения
• Производные
второго порядка
2 yi  yi 2  2 yi 1  yi
•
yi  yi 1  2 yi  yi 1 yi  2 yi 1
Дифференцирование произведения
( yi vi )  yi vi  vi 1yi  yi 1vi  vi yi
( yi vi )  yivi  vi 1yi  yi 1vi  viyi
•
Суммирование по частям
N 1
 y v
i 0
i
i
N 1
N
i 1
i 0
  vi yi  y N 1vN  y0v1   vi yi  y N vN  y0v0
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
# 17
Разностные уравнения
• Линейное
разностное уравнение m-го порядка
a0 (i) yi  a1 (i) yi 1  a2 (i) yi  2  ...  am (i) yi  m  f (i)
или
 0 (i) yi  1 (i)yi   2 (i )yi2  ...   m (i )yim  f (i )
•
Например
a0 (i) yi  a1 (i) yi 1  f (i) - уравнение первого порядка
Решение
yi 1   (i)   (i) yi
Если задано граничное условие y0=const,
все остальные значения находятся последовательно
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
# 18
Разностные уравнения
• Аналогично
Граничные условия
дифференциальным уравнениям чтобы найти частное
решение требуется задать граничные условия.
- уравнение первого порядка – один параметр
- уравнение второго порядка – два параметра и т.д.
•
Согласно заданным условиям уравнения второго порядка можно
классифицировать как
- Задача Коши. Заданы граничные условия в двух соседних
точках.
- Краевая задача. Заданные точки не являются соседними.
•
Граничные условия могут быть первого, второго и третьего рода.
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
# 19
Уравнения первого порядка
• Пусть
Метод Эйлера
задана система уравнений
dyi
 fi ( x, y1( x ), y2 ( x ),... yn ( x )),
dx
i  1,...,n ,
a  x  b,
yi (a )  i
(здесь yi – разные функции)
•
Решение будет искаться в виде
yi ( xk 1 )  yi ( xk )  h  f i ( xk , y1 ( xk ), y2 ( xk ),... yn ( xk )),
где h – шаг сетки
•
Ошибка дискретизации ~h
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
# 20
Методы Рунге-Кутта
q
y( xk 1 )  y( xk )   pi ki (h) - общая формула, где
i 1
k1 (h)  h  f x; y ;
k2 (h)  h  f x   2 h; y  21k1 ;
k3 (h)  h  f x   3h; y  31k1  32k2 ;
..........................................................
kn (h)  h  f x   3h; y   n1k1   n 2 k2   n3k3  ...;
 2 ... q
p1... pq
 ij
0 jiq
- константы
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
# 21
Методы Рунге-Кутта
Выбор параметров
Введем функцию погрешности метода
i (h)  y( x  h)  y( x)  p1k1 (h)  p2 k2 (h)  ...  pi ki (h);
Будем искать коэффициенты из условия чтобы
  (0)   (0)  ...   ( s ) (0)  0,  ( s 1) (0)  0
тогда
s
 (h)  
i 1
 ( s ) (0)
s!
h 
s
 ( s 1) (h)
(s  1)!
h
s 1

 ( s 1) (h)
( s  1)!
h s 1
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
# 22
Уравнения первого порядка
• Метод
Методы Рунге-Кутта
Рунге-Кутта второго порядка (Метод Хьюна) ε ~ h2
h
y ( xk 1 )  y ( xk )    f ( xk , y ( xk ))  f  xk 1 , y ( xk )  h  f ( xk , y ( xk )) ,
2
•
Метод Рунге-Кутта-Фельберга ε ~ h5
1
9
16
1
y ( xi 1 )  y ( xi )  k0  k 2  k3  k 4
9
20
45
12
2
2 

k1  h  f  xi  h; yi  k0 ;
9
9 

k0  h  f xi ; yi ;
1
1
1 

k 2  h  f  xi  h; yi  k0  k1 ;
3
12
4 

3
69
143
135 

k3  h  f  xi  h; yi 
k0 
k1 
k 2 ;
4
128
128
64 

17
27
27
16 

k 4  h  f  xi  h; yi  k0  k1  k 2  k3 ;
12 Лекция
4 6 5
15 
Ю.Н. Прошини С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ.
# 24
Линейные уравнения второго порядка
•
Например уравнение дрифт-диффузии
n J

0
t x
J  q  n nE  n k BT
n
x
n
2n
n
E
 D 2  qn E  q n n
0
t
x
x
x
это уравнение в частных производных. Можно решать стационарное
уравнение, приравняв нулю производную по времени.
2n
n

A
 Bn  0
2
x
x
n( xi 1 )  2n( xi )  n( xi 1 )
n( xi 1 )  n( xi 1 )

A
 Bi n( xi )  0
i
2
h
2h
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
# 25
Линейные уравнения второго порядка
2D уравнение Пуассона
 2u  2u
 2   f ( x1 , x2 )
2
x1 x2
- уравнение в частных производных
Функция u определена на всей границе – задача Дирихле
u |B   ( x1 , x2 )
Разностное уравнение
y (i1  1, i2 )  2 y (i1 , i2 )  y (i1  1, i2 ) y (i1 , i2  1)  2 y (i1 , i2 )  y (i1 , i2  1)

  f (i1 , i2 )
2
2
h1
h2
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
# 26
Линейные уравнения второго порядка
Метод прогонки
•
Разностное уравнение
с граничными условиями
ai yi 1  ci yi  bi yi 1   f i
y0  1 y1  1 ,
y N  2 y N 1  2
можно представить в виде матричного уравнения
 1  1

 a1  c1
0 a
2

 ... ...
0
0

0
0

0
0
0
b1
 c2
...
0
0
0
...
0
...
0
...
0
...
...
...  cN  2
... a N 1
...
0
0
0  y0   1 
 


0
0  y1    f1 
0
0  y2    f 2 
 


...
...  ...    ... 
bN  2
0  y N  2    f N  2 
 cN 1 bN 1  y N 1    f N 1 
 


2
1  y N    2 
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
# 27
Метод прогонки
Алгоритм
•
Выберем соотношение
yi   i 1 yi 1  i 1
где коэффициенты определены как
 i 1 
bi
a   fi
;  i 1  i i
;
ci  ai i
ci  ai i
с граничными условиями 1  1; 1  1 ;
•
За один проход -> можно расcчитать все коэффициенты αi βi.
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
# 28
Метод прогонки
Алгоритм
•
Теперь идем <- и считаем
yi   i 1 yi 1  i 1
где yN находится из граничных условий
yN 
2  2  N
1   N 2
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
# 29
Пример
Структура
Gate Metal
Source
Schottky Layer AlxGax-1As
n
(~20nm)
Doping Layer AlxGax-1As
Buffer Layer AlxGax-1As
n+
n-
(~8nm)
Channel Layer GaAs
n-
Substrate Layer AlxGax-1As
n-
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
(~6nm)
Drain
(~20nm)
(~50nm)
# 30
Пример
Задача
Рассчитать константы спин-орбитального
взаимодействия в полупроводниковой
гетероструктуре с металлическим затвором, как
функции напряжения на затворе.
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
# 31
Спин-орбитальное взаимодействие
H SO 
(2m0 c)
2
ˆ  pˆ )
V (σ
H D   ( k zi )   k y y  k x x 
 (k zi )   k zi
2
- общий вид
- формула специфичная для III-V
полупроводниковых гетероструктур
- константа спин-орбитального взаимодействия
Параметр β определяется зонной структурой полупроводника
Задача сводится к нахождению волновых функций электронов
локализованных в квантовой яме
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
# 32
Band structure
Металл/полупроводник
Полупроводник/полупроводник
Xs
o
E
0
X
m
Xs
V
Φb
o
bi
X
s
E
c
E
METAL
Semiconductor
f
E
v
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
# 33
Уравнения
Уравнение дрифт-диффузии:
n  
qE
qE 
n 
n0
kBT
k BT
J n  qn nE  n kBT n
Уравнение Пуассона:
   0 r    e( p  n  Nd  Na )
,
Уравнение Шрёдингера:

 1


 k   (V  Ek ) k  0
2
 m*

2
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
# 34
Алгоритм
Initialize doping
concentration
Efn calculation
Poisson Equation
Schrödinger Equation
Does electron
density converge
No
Yes
Continuity and
Transport Equations
Does electron
density converge
No
Yes
Calculate Spin Orbit terms


Микроскопическая
модель
Макроскопическая
модель
End
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
# 35
Результаты
Vg = 0 V
Vg = 0.5 V
1.1
1.6
1
1.4
0.9
Energy (eV)
Energy (eV)
1.2
1
psi_sch
ef
Esub#1
Esub#2
Esub#3
0.8
0.8
psi_sch
ef
Esub#1
Esub#2
Esub#3
0.7
0.6
0.6
0.5
0.4
0.4
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
x (nm)
x (nm)
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
# 36
Результаты
Константы С-О взаимодействия
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
# 37
Литература

Д. Поттер, Вычислительные методы в физике.

Н. Н. Калиткин, Численные методы.




Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков,
Численные методы.
Р.П. Федоренко, Введение в вычислительную
физику.
Самарский А.А., Введение в численные методы.
Ортега Дж., Пул У., Введение в численные
методы решения дифференциальных уравнений.
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
# 38
The End
Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз
ЧМММ. Лекция 6
# 39