Лекция N. Модуляция магнитного поля

«ЯДЕРНЫЙ, ЭЛЕКТРОННЫЙ ПАРАМАГНИТНЫЙ РЕЗОНАНСЫ И СТРУКТУРА МАТЕРИАЛОВ»
Лекция №5
«Стационарное решение уравнений Блоха»
2007г.
Содержание

Стационарное решение уравнений Блоха

Стационарное решение в случае неоднородного внешнего магнитного поля
Лекция №5 «Стационарное решение уравнений Блоха»
Стационарное решение уравнений Блоха.
В лабораторной системе координат уравнения Блоха так
распишется по компонентам:
dH X
MX
  (M y H Z  M Z H Y ) 
;
dt
T2
dH Y
MY
  (M Z H X  M X H Z ) 
;
dt
T2
dH Z
M Z 0M 0
  (M X H Y  M Y H X ) 

;
dt
T2
T2
Лекция №5 «Стационарное решение уравнений Блоха»
Перейдём во вращающуюся систему координат:
  0   





 H 1  1  частота _ нутации.
{H X  2 H 1 cos t; H Y  0; H Z  H 0 }  {H X  H 1 ; H Y  0; H Z  H 0  }
( X , Y , Z )  ( X ' , Y ' , Z ' )e it
т.е.
HZ  H0 

В литературе часто используется следующие обозначения

поперечных составляющих, введённых Блохом:
MX M X u

 
M Y  M Y  V0   M Y




dMX
MX
   M Y 
;
dt
T2



dMY
MY
 1  M Z    M X 
;
dt
T2

dM Z
M Z H00
 1  M Y 

;
dt
T1
T1
Лекция №5 «Стационарное решение уравнений Блоха»
du
u
   V  ;
dt
T2
dV
V
 1  M Z    u  ;
T2
Систему можно перезаписать так: dt
dM Z
M Z H00
 1  V 

;
dt
T1
T1
Решение системы:
0
V 
0

M0
Т1

1
 u
Т2
 1
1

0
Т2
1 ; u   

1
Т1
0
0
0
M
 0
Т1
0
M0
 
 1
M0
Т1
Т1
M 0 ( ) 2
1
V  
M 0 ; M Z   2 
M0;
Т 1Т 2
Т1
Т 2 Т1
1  (Т 2 ) 2
M Z  
M0
Т 22Т 1 уравнений Блоха»
Лекция №5 «Стационарное решение
1
Т2

0
1
1 ; M Z    
0 ;
Т2
1
M0

0



Т1
1
Т1
1  12Т 1Т 2  (Т 2 ) 2
 1 12  2
 2 

 (
);
2
Т1
Т 2 Т1 Т 2
Т 1Т 2
u  1

Т.о., по истечении достаточно длительного времени,
необходимого для затухания нестационарных членов,
стационарное решение можно записать в виде:
1 M 0Т 1Т 22
1 Т 22
u
u


M0
2
2
2
2
 Т 1 [1  1 Т 1Т 2  (Т 2 ) ] 1  (Т 2 )  1 Т 1Т 2
1 M 0Т 1Т 22
1Т 2
V
V


M0
2
2
2
2
 Т 1Т 2 [1  1 Т 1Т 2  (Т 2 ) ] 1  (Т 2 )  1 Т 1Т 2
[1  (Т 2 ) 2 ]M 0Т 1Т 22
1  (Т 2 ) 2
MZ 

M0
2
2
2
2
2
Т 1Т 2 [1  1 Т 1Т 2  (Т 2 )
1  (Т 2 )  1 Т 1Т 2
Лекция №5 «Стационарное решение уравнений Блоха»
Исследуя функцию на экстремум в зависимости от расстройки:
1Т 22 [1  (Т 2 ) 2  12Т 1Т 2 ]  1 Т 1Т 2 2Т 22 
du

M0  0
d ( )
[] 2
1  (Т 2 ) 2  12Т 1Т 2  Т 22 2  0
1  (Т 2 ) 2  12Т 1Т 2  0
(1  12Т 1Т 2 )
  
Т2
u
max
min
max
u min
1
2
;
1
1Т 2 (1   Т Т 2 ) 2
1
1
2
2

M



Т
M
(
1


Т
Т
)
;
0
1
2
2
1
1
2
2
2
2
1  1  1 Т 1Т 2  1 Т 1Т 2
1Т 2 M 0

;
1
2(1  12Т 1Т 2 ) 2
2
1 1
При увеличении H1, максимальное
1Т 2 M 0
Т2M 0
M2
и минимальное значение функции u max 


min
lim
1
2
2 Т 1Т 2
1  2(1   2Т Т ) 2
возрастает линейно с H1:
1 1 2
Лекция №5 «Стационарное решение уравнений Блоха»
Т2
;
Т1
Для функции поглощения V имеем:
V
1Т 2
M0;
2
2
1  (Т 2 )  1 Т 1Т 2
dVmax Т 2 (1  12Т 1Т 2 )  1Т 2 21Т 1Т 2

0
2
2
d1
(1  1 Т 1Т 2 )
Т.о. оптимальная величина поля H1
такая:
1
H 1Э 
1  12Э Т 1Т 2  212Э Т 1Т 2  0
1  12Э Т 1Т 2  0
1Э 
1
Т 1Т 2
Т.о. если Т1=Т2, то H 1Э
(Vmax ) max 
Vmax
1Т 2 M 0

;
2
1  1 Т 1Т 2
 Т 1Т 2
1

;
Т 2
Т2M 0
M T
 0 2;
Т 2Т 1
2 T1
Т 2Т 1 (1 
)
Т 2Т 1
Лекция №5 «Стационарное решение уравнений Блоха»
;
Предельные значения функций U и V равны, но ведут
себя они по разному:
U
Vmax
Лекция №5 «Стационарное решение уравнений Блоха»
Функцию V можно привести к Лоренцовой кривой,
т.е. к виду
T2
1
f (  0 ) 
;
2
2
 1  Т 2 ( )
(1   H Т 1Т 2 )
1

T2 H
1  Т 22 ( ) 2
2
2
1
1
2
;
V 
H 1 M 0Т 2
H 1 M 0
Т 2H
1

1


;
1   2 H 12Т 1Т 2 1  (Т 2 H ) 2 
(1   2 H 12Т 1Т 2 ) 2  1  (Т 2 H ) 2
V 
H 1 M 0
f T ( );
(1   2 H 12Т 1Т 2 ) 2
2H
f T2 H ( ) 
Т 2H
1
;функция _ Лоренца
2
 1  (Т 2 H )
Vmax
Т 2H
1/2Vmax
Т 2H Т 2H
1
fT2 H (0) 
: т.о. _

;

2
 1  (  T )
2H
2
δω
ωo
1 (
ω
Лекция №5 «Стационарное решение уравнений Блоха»

2
2
2
2H
) T
 2:

2
 T2H1
Сигнал дисперсии u можно выразить через Лоренцовскую
формулу линии. Но это будет справедливо лишь для
жидкостей:
1Т 22
1Т 2 M Т 2 H
1
u
M

;
0
2
2
1
2
1  (Т 2 )  1 Т 1Т 2
(1  12Т 1Т 2 ) 2  1  (Т 2 H )
u  H 1 Т 2 H M 0 f Т 2 H ( )

   0 Т 2 H  0 f Т ( ), т.к.
'
u   2 H1    2 H1
'
''
2
M 0  H 0  0  0  0
 
''
Лекция №5 «Стационарное решение уравнений Блоха»
2H
0  0
2(1   2 H 12Т1Т 2 )
1
2
f Т 2 H ( );
P.ч. мощность, поглощаемая системой спинов,
определяется соотношением:
dE
dH
  p  M
;
dt
dt

H12M 0
H120  0
dH
p  M
  M Y H1  VH1 
fT2 H ( ) 
fT2 H ( )
1
1
2
2
2
2
dt
(1   H Т Т ) 2
(1   H Т Т ) 2
1
1 2
1
1 2
 0 H 12 0T2
 0 0T2  0H 0  0 H 02
p  lim
 2


2
2
2
H  1  (T  )   H T T
T1
T1
 T1T2

2
1 1 2
т.к. _    0
1
Лекция №5 «Стационарное решение уравнений Блоха»
Стационарное решение в случае
неоднородного
внешнего магнитного поля.
     0    x   00
имеем
Vi 
H 1 M 0
(1   H Т 1Т 2 )
2
2
1
1
f T2 H (  x   )
0
0
2
V

H 1 M 0
(1   H Т 1Т 2 )
2
2
1
1

2 
f T2 H (  x  00 )h( x)dx; (1)
H 1 M 0
Если ширина линии
V 
h(   0 );
1
полностью определяется
2
2
2
(
1


H
Т
Т
)
1
1
2
неоднородностью поля, то:
Vmax 
H 1 M 0
(1   H Т 1Т 2 )
2
2
1
1
h(0);
2
Лекция №5 «Стационарное решение уравнений Блоха»
(Vmax )  
h(0)
Т 1Т 2
M0
В дальнейшем полезно ради простоты предложить,
что функция h(x) характеризующая неоднородность
поля, также имеет лоренцову форму, т.е.
Т 2
1
h( x ) 
 1  xТ 2
1
Т 2H

1
Т 2H

1
;

Т2
V
H 1 M 0
(1   H Т 1Т 2 )
2
2
1
1
2
Т 2 
1

f Т  (   00 );
2H
В случае отсутствия насыщения, т.е. H1 малы:
V  H 1 M 0 f Т  (   00 );
2
Vmax 
H 1 M 0
(1   H Т 1Т 2 )
2
2
1
M 0Т 2H
(Vmax ) 
;
Т1Т 2
Т 2H
1
2

M0
(Vmax )  
2
Т 2 Т 2H
Т2
Лекция №5 «Стационарное решение уравнений Блоха»
M0

2
Т 1Т 2
Т 2 Т 2H
2
;
Т1 Т 2
Выводы:
Т.о. из этих рассуждений можно сделать следующие
выводы:
1) Из вышесказанного следует, что будет не
правильным, как это иногда делают, даже
качественно учитывать неоднородность внешнего
поля, введя в уравнение Блоха обобщённое время
поперечной релаксации.
2) При сильном уширении за счёт неоднородности
поля форма сигнала поглощения V не изменяется с
насыщением и его абсолютное значение
1
пропорционально H 1 (1   2 H 12Т 1Т 2 )  2 и стремится к
предельному значению.
3) Величина сигнала значительно меньше, чем в
случае однородного поля (предельное значение).
Лекция №5 «Стационарное решение уравнений Блоха»
Ключевые моменты

Получили стационарное решение уравнений
Блоха и решение в случае неоднородного
внешнего магнитного поля.
Лекция №5 «Стационарное решение уравнений Блоха»
Список литературы
1. Абрагам, Ядерный Магнетизм. ИЛ, М., 1963г.
2. Сликтер, Основы теории магнитного резонанса. Изд. Мир М. 1967г.
3. Э. Эндрю, Ядерный магнитный резонанс. ИЛ, М., 1957г.