лекции 5-8
реклама
Физические основы естествознания Василий Семёнович Бескин Лекции 5-6 Эйнштейн • Гравитация есть проявление кривизны пространства • Кривизна определяется материей • Уравнения должны выглядеть одинаково во всех системах координат Кривизна И.К.Ф.Гаусс (1777-1855) Гауссова кривизна Кривизна Что более искривлено? Кривизна Определение кривизны Кривизна Определение кривизны Можно ли определить кривизну поверхности, не выходя за ее пределы? Кривизна НА ПЛОСКОСТИ • Сумма углов в треугольнике равна p и не зависит от размера треугольника. • Отношение длины окружности к радиусу равно 2p и не зависит от размера окружности. В ПРОИЗВОЛЬНОМ СЛУЧАЕ ЭТО НЕ ТАК Кривизна Геодезические Чтобы измерять углы и длины, нужно обобщить понятие отрезка. Кривые, вдоль которых расстояние наименьшее. Могут быть определены, только если введена метрика. Кривизна Сумма углов Кривизна Сумма углов Это возможно лишь имея метрику: Кривизна Отношение длина окружности – радиус ПЛОСКОСТЬ Космическая струна Кривизна Отношение длина окружности – радиус R СФЕРА R R Кривизна Отношение длина окружности – радиус СФЕРА Кривизна Три важных замечания • Кривизна k определяется второй производной. • Физический результат не должен зависеть от выбора системы координат. • Мы свободны в выборе двух величин в метрическом тензоре. Кривизна Гауссова кривизна (ОТВЕТ НЕ ЗАВИСИТ ОТ ВЫБОРА КООРДИНАТ) Кривизна Гауссова кривизна ПЛОСКОСТЬ Кривизна Гауссова кривизна СФЕРА Эйнштейн • Гравитация есть проявление кривизны пространства • Кривизна определяется материей <K>=<T> • Уравнения должны выглядеть одинаково во всех системах координат Уравнение Эйнштейна Наводящие соображения • Теория Ньютона – предельный случай. • По какому параметру? малы скорости мал гравитационный потенциал Уравнение Эйнштейна Наводящие соображения По какому параметру? малы скорости мал гравитационный потенциал П.С.Лаплас (1749-1827) Дж.Мичел (1724-1793) Уравнение Эйнштейна Наводящие соображения • Теория Ньютона – предельный случай. • Скалярная, векторная или тензорная? Уравнение Эйнштейна Наводящие соображения • Теория Ньютона – предельный случай. • Скалярная, векторная или тензорная теория? Не скалярная: для света = 0. Не векторная – одноименные заряды притягиваются. ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ ДОЛЖНА БЫТЬ ТЕНЗОРНОЙ Уравнение Эйнштейна Наводящие соображения • Тензорная теория – значит, метрический тензор. Уравнение Эйнштейна Принцип Ферма у x1 x2 x Уравнение Эйнштейна Принцип наименьшего действия П.Ферма (1601-1665) П.Л.Мопертюи́ (1698-1759) Л.Эйлер (1707-1783) Уравнение Эйнштейна Д.Гильберт (1862-1943) Принцип экстремального действия Уравнение Эйнштейна Принцип экстремального действия 2 Ж.Л.Лагранж (1736-1813 ) Функция Лагранжа Уравнение Эйнштейна Наводящие соображения • Гравитация есть кривизна. Уравнение Эйнштейна Наводящие соображения • Гравитация есть кривизна. А где инвариантность? трехмерный мир четырехмерный мир Уравнение Эйнштейна Наводящие соображения • Гравитация есть кривизна. ГРАВИТАЦИЯ СВЯЗАНА С КРИВИЗНОЙ ЧЕТЫРЕХМЕРНОГО МИРА Кривизна Теория поля Э.Мах (1838-1916) Г.Ми (1868-1957) М.Абрагам (1875-1922) Г.Норстрем (1881-1923) Уравнение Эйнштейна Наводящие соображения • Принцип эквивалентности Экспериментальная основа – равенство инерционной и гравитационной масс (10-12) Уравнение Эйнштейна Наводящие соображения • Принцип эквивалентности Гравитацию нельзя ввести как поле (исчезает в свободно падающей системе координат) РАВНОПРАВИЕ ИНЕРЦИОННЫХ И НЕИНЕРЦИОННЫХ КООРДИНАТ Уравнение Эйнштейна Наводящие соображения <K>=<T> • Предельный переход a Уравнение Эйнштейна Наводящие соображения <K>=<T> • Предельный переход НЕУДАЧА Уравнение Эйнштейна Наводящие соображения <K>=<T> • При ковариантном дифференцировании константа есть НЕУДАЧА Кривизна Дифференциальная геометрия Г.Ф.Риман Н.И.Лобачевский (1826-1866) (1792-1856) Э.Б.Кристоффель (1829-1900) Г.Риччи (1853-1925) Уравнение Эйнштейна М.Гросман В дифференциальной геометрии есть и другие тензоры. ЯЗЫКОМ ОТО ДОЛЖНА БЫТЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Уравнение Эйнштейна М.Гросман Тензор Римана <<R >> Уравнение Эйнштейна Тензор Римана Двумерие – 1 параметр Трехмерие – 3 параметра Четырехмерие – 14 параметров Тензор Риччи <R > = Sp <<R >> Скалярная кривизна Уравнение Эйнштейна Тензор Римана Уравнение Эйнштейна Уравнение Эйнштейна Уравнение Эйнштейна Уравнение Эйнштейна Предельный переход Уравнение Эйнштейна Д.Гильберт (1862-1943) А.Эйнштейн (1879-1955) 1915 29.06 -07.07 – Эйнштейн в Геттингене 4.11 (11.11) – Эйнштейн “К ОТО” 18.11 – Эйнштейн (перигелий) 20.11 – Доклад Гильберта (Действие) 25.11 (2.12) – Эйнштейн “Уравнения..” 26.11 Эйнштейн (письмо Цангеру) 06.12 Гильберт (корректура) 10.12 Эйнштейн (письмо Гильберту) Уравнение Эйнштейна Д.Гильберт (1862-1943) Действие для гравитационного поля S = S m + Sg Уравнение Эйнштейна Несколько простых вопросов • Сколько уравнений, сколько неизвестных? • Что описывает это уравнение? • Есть ли свобода? Уравнение Эйнштейна Сколько уравнений, сколько неизвестных? 10 уравнений на 10 неизвестных ? Уравнение Эйнштейна Сколько уравнений, сколько неизвестных? 10 уравнений на 10 неизвестных ? НЕВЕРНО! Свобода в выборе координат – четыре лишних. Уравнение Эйнштейна Что описывает это уравнение? И ЭВОЛЮЦИЮ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ, И ДИНАМИКУ МАТЕРИИ Уравнение Эйнштейна Есть ли свобода? + ЕСТЬ! Бескрайние возможности КОСМОЛОГИЯ Однородная изотропная Вселенная Метрика Фридмана-Робертсона-Уокера собственное время масштабный фактор Бескрайние возможности КОСМОЛОГИЯ Уравнения Фридмана А.А.Фридман (1888-1922)
