Помехоустойчивое кодирование. Свойства линейных кодов

Помехоустойчивое
кодирование
Свойства линейных кодов
Расстояние и вес Хэмминга
Пусть заданы двоичные слова
 a1 
b1 
a 
b 
2
2



, 

 
 
 
 an 
 bn 
n
Расстояние Хэмминга
d ( ,  )   (ai  bi )
i 1
n
Вес Хэмминга
w( )   ai
i 1
Расстояние Хэмминга
Пусть
С
- линейный код и
Тогда и их поразрядная сумма
Обозначим
Получим
,  C
   C
      (с1 ,...cn )  C
T
n
n
i 1
i 1
d ( ,  )   (ai  bi )   ci  w( )
Минимальное расстояние Хэмминга
минимальный вес кода
d min  min d ( ,  ) 
 ,  C
 min w( )  wmin
 C , 
Модель ошибки
• Замена
0  1 или 1  0
• В линейном пространстве n-разрядных
двоичных столбцов это равносильно
преобразованию кодового слова:
    
•
 - вектор ошибки
Модель ошибки
• Если в кодовом слове 
произошло t ошибок, то ошибочное
слово   находится на
расстоянии t от кодового. Или вес
вектора ошибки  равен t:
     
 w( )  w(   )  d ( ,  )
Синдромное декодирование
линейного кода
2
1
1
1
1
2
2
1
2
2
2nk 1
1
2nk 1
2
 
s ( )

 
s ( ) 

 
  
s
( ) 

 
1
2
2 nk 1
2 n k
1
2
2k
1
2k
2
2k
2 nk 1
2k
Корректирующая способность линейного
кода – геометрическая иллюстрация
• Шар с центром в кодовом
слове – кодовое слово +
ошибочные слова из столбца
при синдромном
декодировании
Модель ошибки –
геометрическая интерпретация
• Центры шара – кодовые слова
• Шар – кодовое слово и всевозможные
ошибочные слова, полученные из кодового
слова




 1


2
 
Корректирующая способность
линейного кода
• Случай 1. Распознаваемая и исправляемая
ошибка( ( ошибочное слово находится
ошибка
внутри «своей» сферы)
  2
 1
2
Корректирующая способность
линейного кода
• Случай 2. Распознаваемая ошибка
(ошибочное слово – вне «своей» сферы)
  2
 1
2
Корректирующая способность
линейного кода
• Случай 3. Необнаруженная ошибка
(ошибочное слово совпадает с некоторым
кодовым словом)

  1   2
2
Корректирующая способность
линейного кода
• Случай 4. Отказ от
декодирования(ошибочное слово не
принадлежит ни однму из шаров)
  2
 1
2
Модель ошибки –
геометрическая интерпретация
• Ошибка распознается и исправляется,
если шары не пересекаются и ошибочные
слова - внутри сферы.
d min  1 wmin  1
t

2
2
Пример – систематический (7,4)-код
Хэмминга - проверочная матрица
с0 
с 
 1
 1 0 1 1 1 0 0  с2 

 
 1 1 1 0 0 1 0  с3   0
 0 1 1 1 0 0 1  с 

 4
 
с5 
с 
 6
Пример – систематический (7,4)-код
Хэмминга
Кодовые слова:
1010001,
0101110,
1111111,……..
d=3,
t=1
Модель ошибки



2
 1





Совершенный код



 1


2

Совершенные коды
• Коды, в которых непересекающиеся
сферические области декодирования
покрывают все пространство двоичных слов,
называются совершенными или
плотноупакованными.
• Пусть дан (n,k)–код, исправляющий t ошибок.
• Тогда каждый шар содержит ровно
1  n  Cn2  ...  Cnt
слов (объем шара)
• Всего кодовых слов (всего шаров) - 2 k
Совершенный код
• Отсюда
(1  n  C  ...  C )2  2
2
n
t
n
• Или
2
nk
t
 C
i 1
i
n
k
n
Граница Хэмминга
• Отсюда
(1  n  C  ...  C )2  2
2
n
• Или
2
nk
t
n
k
t
 C
i 1
• Для совершенных кодов
i
n
2
nk
t
 C
i 1
i
n
n