Доклад Релаксационные колебания и траектории - утки Студент группы 125

Доклад
Релаксационные колебания и
траектории - утки
Студент группы 125
Коханюков Александр
План
• Релаксационные колебания
• Уравнение Ван дер Поля
• Утки
Релаксационные колебания
• Это особый вид вынужденных периодических
колебаний. Характерной чертой таких колебаний
является существование двух временных масштабов:
медленного и быстрого. Данное явление возникает
из-за потери энергии в системе и действия
восстанавливающей силы.
• Примером могут служить прямоугольные импульсы в
электрических цепях
x
t
• или пиловидные колебания в механической системе
x
t
Уравнение Ван дер Поля
• Уравнением Ван дер
Поля называется
уравнение колебаний
электрического тока в
цепи с нелинейным
элементом. Оно
описывается уравнением
вида
d 2x
2 dx
  (1  x )  x  0
2
dt
dt

• Перейдя к медленному времени и двум
переменным, получим систему, описывающую
траектории на плоскости xOy.
x
1 dx
y   ( x  1)dx 
,
 dt
0
2
t1 
t

,

1
2
1 3
 dx
 dt  y  3 x  x

 dy   x
 dt
• здесь малый параметр

характеризует систему
• В придельном случае
при  =0, получаем
систему алгебраического
и дифференциального
уравнения. Эта система
называется
вырожденной.
1 3

 y  3 x  x

 dy   x
 dt
• Из построения и анализ векторного поля видно, что
система имеет вблизи графика функции y(x) замкнутую
траекторию.
Утки
• Рассмотрим возмущенную систему
d 2x
2 dx
  (1  x )  x  a
2
dt
dt
• Это уравнение запишется в виде
1 3
 dx
 dt  y  3 x  x

 dy  a  x
 dt
• При а близком к а=1 система меняет своё движение.
Траектория становится похожей на утку.
• Данная система имеет единственную неподвижную
точку (1,2/3). При a=1 происходит бифуркация
рождения придельного цикла. В малой окрестности
неподвижной точки проявляется явления резкого
роста амплитуды.