Умножение вектора на число

УРОК №9
УМНОЖЕНИЕ
ВЕКТОРА НА ЧИСЛО
ЗАДАЧА№1
Найдите:
B
a) AB  BC 
C
б ) CB  CD 
в ) AC  DA 
г ) DC  BD  AB 
д) AB  AD 
е) AC  DC 
D
A
ЗАДАЧА№2
Докажите:
B
C
а)  AB  AD  CB  CD
б ) AD  BD  AC  BC
D
A
ЗАДАЧА№3
ABCD-прямоугольник
AB=5; AD=12.
Докажите:
C
B
a) AB  BC  2  AO
O
б ) BA  DA  OD  OB
Найдите:
AO  DO  CD
A
D
Умножение вектора на число.
Произведением ненулевого вектора
a
на число
k
b, длина которого равна k a ,
причем векторы a и b сонаправлены при k>0 и
притивоположно направлены при k<0.
называется такой вектор
a
3a
1
12
a
- 2a
Умножение вектора на число.
b
2b
a
2b b
2b = 2 b
1
a
2
1
a
2
1
a
2
a
=
1
2
a
Умножение вектора на число.
Для любого числа
kи
a
ka
любого вектора
векторы
a
и
коллинеарны.
1
2
- a
a
1
12
a
- 2a
Произведение нулевого вектора на любое число
считается нулевой вектор.
k o=o
Произведение любого вектора на число нуль есть
нулевой вектор.
o a=o
Назовите вектор, который получится в результате
умножения.
A
B
C
D
N
M
R
E
S
F
Q
I
H
V
O
J
T
P
K
Y
X
L
U
G
Z
JO  3
1
ML
3
4 AB
 4 ЕУ
3
 NZ
4
х  JO
СК = -4
JO = – х1
4 CK
XD =– х3
4 CK
A
B
C
D
N
0  XD
NN = х
M
R
E
S
F
ХТ = х XD
Q
V
T
Y
U
х не существует
х XT
XT = 1
I
O
P
X
G
х XT
TX = -1
H
J
K
L
Z
О – точка пересечения медиан треугольника.
3  ОК
ВК = х
B
КO =– х1
3 ВK
2  КО
ОВ = х
T
O
A
K
C
T
A
B
7
3
C
TВ = 7
AC = 3
х  TВ
AC = 3
7
х AC
TB = 7
3
10
D
O
DO = 10
2,5
K
F
KF = 2,5
KF = – х1
4 DO
х  KF
DO = –4
Длина вектора TB на 25% больше длины вектора АС
T
B
х  АС
ТВ = 1,25
A
C
Длина вектора SD на 25% меньше длины вектора LK
L
K
х  LK
SD =-0,75
D
S
ABCD – трапеция.
В
С
8
х  DA
BC = –0,8
х  BC
DA = – 10
8
А
10
D
ABCD – параллелограмм. CS : SB = 5 : 3
В
А
С
S
D
3
BS = – х
8
 DA
8
DA = – х
3
 BS
Умножение вектора на число обладает следующими
основными свойствами.
Для любых
равенства:
a, b
и любых чисел
1
(kl)a = k (l a)
2
(k+l)a = ka + la
k, l
справедливы
Сочетательный закон
Первый распределительный закон
3
k (a + b) = ka + kb
Второй распределительный закон
Рисунок иллюстрирует сочетательный закон.
Представлен случай, когда
k = 2, l = 3.
1
Сочетательный закон
(kl)a = k (l a)
a
a
a
A
O
OВ = 2OA = 2(3
a a
B
a)
a a a a
B
O
OВ = 6
a = (2 3) a
Рисунок иллюстрирует первый распределительный
закон. Представлен случай, когда
2
(k+l)a = ka + la
Первый
распределительный закон
B
la
a
ka
k = 3, l = 2.
A
OA =
ka;
AB =
la
O
OB =
(k+l)a = ka + la
3
k (a + b) = ka + kb
Второй
распределительный
закон
Рисунок иллюстрирует второй распределительный закон.
 ОА1В1, коэффициент подобия
На рисунке  ОАВ
k
A
OA =
ka
AB =
kb
OB =
k(a+b)
OB = OA + AB =
ka+kb
A1
a
O
b
a+b
B1
С другой стороны,
Таким образом,
B
k(a+b) = ka+kb
№ 781
Пусть х = m + n, y = m – n
Выразите через m и n
векторы
2х – 2у  2(m  n )  2(m  n )  2m  2n  2m  2n  4n
1
1
1
 2(m  n )  (m  n )  2m  2n  m  n 
2
2
2
1
1
 2 m 1 n
2
2
1
1
1
–х – 1 у  (m  n )  (m  n )   m  n  m  n 
3
3
3
3
1
2
 1 m  n
3
3
2х + 1 у
2
ЗАДАЧА №4
Построить вектор
3
1
3
3
1
ВС  АВ  АС  ( ВС  АС )  АВ 
7
14
7
7
14
В
С
3
1
 ( ВС  СА)  АВ 
7
14
3
1
7
 ВА  ВА 
ВА 
7
14
14
А
1
 ВА
2
ЗАДАЧА №5
Построить вектор
5
1
5 1
5
1
 ( АВ  ВС  АС )   ( АС  АС )    АС 
2
2
2 2
2
2
В
5
  АС
С
4
А
ЗАДАЧА№6
Построить вектор.
В
2
1
2
1
СD  DA  BС  AB =
9
3
9
3
С
2
1
 (СD  BС )  ( АВ  DA) 
9
3
CA
AC
2
1
 (СD  СB)  ( АВ  AD) 
9
3
А
D
2
1
2
1
 CA  AC  СА  СА 
9
3
9
3
АВСD – параллелограмм.
1
  СА
9
ЗАДАЧА№7
Построить вектор.
2
1
2
АВ  СA  DA
5
10
5
В
2
1
 ( АВ  DA)  CА 
5
10
С
AC
2
1
 ( АВ  AD)  CА 
5
10
2
1
5
 AС  AC 
АС 
5
10
10
А
D
АВСD – параллелограмм.
1
 АС
2
АВСD – ромб. Е ВС, ВЕ : ЕС =3 : 1,
К – середина DC, АВ =
векторы
a
и
b
b. Выразите через
3
AE  AB  BE  AB  BC  a  b
4
из  АВЕ
a
1
AK  AD  DK  AD  DС 
2
из  АDK
E
А
С
K
D
AD =
векторы:
В
b
a,
1
b a
2
1
KE  KA  AE  (b  a )  (a  b) 
2
из  АEK
1
 a
2
Естественно
считать,
что одно
вектор
2v получается
Если мы чем
изобразим
первого
автомобиля
Прежде,
ввести скорость
еще
действие
– умножение
умножением
v на число
2, а вектор
-2v получается
вектором
v, число,
товектора
естественно
изобразить
скорость
второго
вектора на
обратимся
к примеру.
Представим
себе,
умножением
вектора vдвижется
число прямолинейно
-2.
Этот пример
автомобиля
вектором,
унакоторого
направление
что один автомобиль
стакое же,
показывает
каким
образом
вести виумножение
как
у вектора
v, а длина
в 2 следует
разадвижется
больше,
обозначить
этот
постоянной
скоростью,
второй
том
же
вектора
наСкорость
число
и что
при умножении
получается
вектор.
вектор
2v.
третьего
автомобиля
изобразиться
направлении
со скоростью,
вдвое
большей,
а третий
вектором,
противоположным
вектору т.е.
2v, в
т.е. вектором -2v.
автомобиль
движется им навстречу,
противоположном направлении, и величина его скорости
такая же, как у второго автомобиля.
v
2v
-2v