Presentation_28012016

Анализ и прогнозирование
разностно-стационарных рядов
динамики
к.э.н., доцент
Ичкитидзе Ю.Р.
Модели ряда динамики
1. Тренд-стационарные модели
(trend-stationary, TS models)
Y  Yˆ  S  
Тренд (Yˆ ) выявляется с помощью
аналитической функции
Устраняется сезонность ( S )
Ряд остатков (  ) должен иметь
автокорреляцию
существенно
ниже 1
Если автокорреляция остатков
близка к 1 (выше 0,9) - остатки
нестационарные, то есть в
будущем
тренд
сместится
(полученная оценка параметров
тренда имеет смещение).
В этом случае, используют
разностно-стационарные модели.
2. Разностно-стационарные модели
(difference-stationary, DS models)
Вычисляются логарифмические
первые разности (first difference)
Yt  ln( Yt / Yt 1 )
Yt
Если
стационарен
(автокорреляция
значительно
меньше 1), то строят модель на
первых разностях, если нет, то
переходят ко вторым разностям 2Yt
2Yt  Yt  Yt 1
и проверяют их на стационарность.
При
необходимости,
шаги
повторяются (третьи, четвёртые
разности, и так далее…)
Построение модели первых
на разностях
Если логарифмические первые разности (first difference) Y стационарны, то
t
модель на первых разностях выглядит следующим образом.
Yt 1  Yt  r  
(прогноз первых разностей есть предыдущая разность умножить на
коэффициент автокорреляции плюс случайная величина “кси”)
  N (  , )
(случайная величина “кси” имеет нормальное распределение с
параметрами  - среднее,  - среднеквадратическое отклонение)
оценка параметров происходит по ретроспективному ряду   Yt  Yt 1  r

Yt 1  Yt  e Yt 1
(имитационный прогноз ряда есть предыдущий элемент ряда
умножить на экспоненту в степени прогноз первых разностей)
Имитационное
моделирование
Имитационное моделирование используется для оценки параметров (и вида)
распределения случайной величины, если параметры (и вид) её распределения
невозможно вычислить аналитически.
Для этого:
1. Строится модель имитации (например, имитационный прогноз с
предыдущего слайда.)
2. Проводится значительное число имитаций (например, 1000)
3. По полученным исходам имитаций делается оценка параметров
(и вида) распределения случайной величины
Имитационное моделирование легко можно выполнить в Excel с
помощью элементарных макросов (см. файл p5_imit.xlsm).
Итоги можно посмотреть в файле p5_itog.xlsm.
Корректировка на инфляцию
Перед тем, как анализировать экономические показатели, рекомендуется сделать
их корректировку на инфляцию.
Yt н - номинальный показатель (в текущих ценах)
Yt р
Pt
- реальный показатель (в постоянных ценах, ценах базисного
периода, например, в ценах последнего периода)
- уровень цен на конец t-ого периода
t
Pt  P0   I k
Pt  Pt 1  I t
Ik
k 1
- уровень инфляции (темп роста цен) в k-ом периоде (ед. за период)
Pб
Yt  Yt 
Pt
p
Pt
н
- уровень цен в выбранном базовом периоде
Прогноз номинального
показателя
С помощью моделей рядов динамики (TS или DS) рекомендуется прогнозировать
реальные показатели ( Yt р ). В таком случае прогноз номинального показателя (Yt н )
происходит с помощью формулы
Yt н
 Yt р

Pt 
Pб

Pt   Pt   Iˆk
k 1
Iˆk
- прогноз уровня инфляции (темп роста цен) в k-ом периоде (ед. за
период)
Прогноз номинального
показателя
С помощью моделей рядов динамики (TS или DS) рекомендуется прогнозировать
реальные показатели ( Yt р ). В таком случае прогноз номинального показателя (Yt н )
происходит с помощью формулы
Yt н
 Yt р

Pt 
Pб

Pt   Pt   Iˆk
k 1
Iˆk
- прогноз уровня инфляции (темп роста цен) в k-ом периоде (ед. за
период)
Прогнозирование рыночных цен
биржевых инструментов (акций, валют,
товаров)
finance.yahoo.com
Наименование компании
finance.yahoo.com / Historical Prices
Последняя цена за период
Цена, скорректированная
(динамика цены без учета
выплаченных дивидендов) на выплаченные дивидендов
Динамика цен акций IBM c декабря
2005 по декабрь 2015
213.3
129.43
82.20
81.6
Oct 31 ‘08
Mar 1 ‘13
Модель случайного блуждания цен
акций (Random walk model)*
Pt
– ряд динамики цен акций (t-время)
yt 
Pt
 1 – доходность акций (без учёта выплаченных дивидендов**)
Pt 1
t  ln( 1  y )  ln( Pt P ) – непрерывно начисляемая доходность акций
t 1
Эмпирические исследования (Osborne, 1954; Fama, 1965) показали, что  t имеет
распределение, близкое к нормальному, т.е. можно принять что t  N (  ,  ) .
Эксцесс
(kurtosis)
*модель случайного
Асимметрия
(skewness)
Толстые
хвосты
(fat tails)
блуждания это частный
случай разностностационарных моделей с
r =0
**с учётом дивидендов Pt
должно быть скорректировано
(adjusted price)
Модель случайного блуждания
цен акций (Random walk model)
t  ln( Pt P )
t 1
t
Pt  Pt  2 e e
 t 1
Pt  Pt 1e t
t
 Pt  2 e
По свойствам нормального
распределения знаем, что
t

i 1
i
 i
 t   t 1
 N ( t ,  t )
Pt  P0e i1
4000
3500
3000
Сводный индекс ММВБ
Оптимистический сценарий
Пессимистический сценарий
Случайный исход (имитация)
2500
2000
1500
1000
Pt  P0e
N ( t , t )
500
0
сен.97
сен.00
сен.03
сен.06
сен.09
сен.12
Вычисление прогнозных траекторий
цены акции с уровнем значимости 
Оптимистический сценарий (верхняя граница траектории):
Pt  P0e
Нормобр(1 ; t ; t )
 P0e
t  k  t
Средний сценарий (наиболее вероятная траектория):
Pt  P0e Нормобр( 0,5; t ;
t)
 P0e t
Пессимистический сценарий (нижняя граница траектории):
Pt  P0e
Нормобр( ; t ; t )
 P0e
t  k  t

0,25
0,1
0,05
0,01
k
0,674
1,28
1,645
2,32
Спасибо за внимание
Контакт: Юрий Ичкитидзе
ichkitidze@reflexivity.ru