Взаимные развороты кристаллов и квазикристаллов

УДК 621.7/.9(06) Физика, химия и компьютерная разработка материалов
В.Н. ЯЛЬЦЕВ, В.И. СКРЫТНЫЙ, Т.П. ХРАМЦОВА
Московский инженерно-физический институт (государственный университет)
ВЗАИМНЫЕ РАЗВОРОТЫ
КРИСТАЛЛОВ И КВАЗИКРИСТАЛЛОВ
Рассмотрены особенности описания взаимных разворотов кристаллов с использованием кватернионов. Получено распределение предельных углов разворота для икосаэдрических квазикристаллов, для кубических и гексагональных кристаллов с икосаэдрическими квазикристаллами.
Для описания взаимных разворотов кристаллов удобно использовать
кватернионы [1]. Поворот на угол α вокруг оси l с кристаллографическими индексами [mnp] и направляющими косинусами l1, l2, l3 задается кватернионом R. Кватернион R можно представить в виде суммы скалярной
и векторной частей: R = scal R + vect R, где scal R = cos(α/2), а vect R =
l1sin(α/2) i1 + l2sin(α/2) i2 + l3sin(α/2) i3, причем i1·i1 = – 1, i1·i2 = – i2·i1 =
i3·и т.д.
Произведением двух кватернионов L и M является кватернион N. Если
L = λ0 + λ1 i1+ λ2 i2+ λ3 i3 , M = μ0 + μ1 i1+ μ2 i2 + μ3 i3 , то N = ν0 + ν1 i1 + ν2 +
i2 + ν3 i3 , где ν0 = λ0 μ0 – λ1 μ1 – λ2 μ2 – λ3 μ3 , ν1 = λ0 μ1 + λ1 μ0 + λ2 μ3 –
– λ3 μ2 , ν2 = λ0 μ2 + λ2 μ0 + λ3 μ1 – λ1 μ3 , ν3 = λ0 μ3 + λ3 μ0 + λ1 μ2 – λ2 μ1 .
116
ISBN 5-7262-0710-6. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2007. Том 9
УДК 621.7/.9(06) Физика, химия и компьютерная разработка материалов
Рис. 1. Распределение предельных
углов разворота
Если разворот двух кристаллов задан кватернионом R0, то вследствие
симметрии кристаллов возникают эквивалентные развороты Ri = R0 Ci-1,
где Ci – кватернион, задающий один из элементов группы чистых вращений кристалла. Каждый эквивалентный разворот характеризуется осью
эквивалентного разворота li и углом эквивалентного разворота αi. При
рассмотрении разворота соседних зерен обычно интересуются минимальным значением угла эквивалентного разворота, поэтому среди{α i} выбирают наименьшее значение αmin, которое соответствует развороту вокруг
оси lmin c кристаллографическими индексами [mnp]. Предельным углом
разворота αпр вокруг оси [mnp] является максимальное значение αmin.
Предельный угол разворота αпр можно получить при сравнении скалярных частей кватернионов Ri и R0 Ci-1. Так из-за поворотной оси четвертого порядка вокруг [100] кватернион C-1[100] имеет вид C-1[100] =
= cos45o – sin45o i1. Scal Ri = cos(αпр/2) = scal R0 Ci-1 = cos45o cos(αпр/2) +
+ l1sin45o sin(αпр/2), откуда tg(αпр/2) = (√2 –1)/ l1.
Из-за поворотной оси третьего порядка вокруг [111] кватернион
C-1[111] = ½ – l1(√3 /2) i1 – l2(√3 /2) i2 – l3(√3 /2) i3 и tg(αпр/2) = 1/(l1 + l2 + l3),
точно также из-за поворотной оси второго порядка вокруг [110]
tg(αпр/2) = √2 / (l1 + l2).
ISBN 5-7262-0710-6. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2007. Том 9
117
УДК 621.7/.9(06) Физика, химия и компьютерная разработка материалов
Аналогично из-за поворотной оси шестого порядка вокруг [100]
tg(αпр/2) = (2 – √3) / l1 , а из-за поворотной оси пятого порядка вокруг
[100] tg(αпр/2) = (1 – cos36o) / (l1 sin36o) или tg(αпр/2) = 0,32492/l1.
В качестве примера на рис.1 приведено распределение предельных углов разворота для квазикристаллов с икосаэдрической симметрией, когда
оси пятого порядка с предельным углом 36 о имеют направляющие косинусы [AB0], [B0A], [0AB], где A = (1+τ2)1/2, B = τ / (1+τ2)1/2, τ = (√5+1) / 2
[2].
Список литературы
1. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации
твердого тела. М.: Наука. 1973. С.320.
2. Чупрунов Е.В., Хохлов А.Ф., Фаддеев М.А. Основы кристаллографии. М.: Физматлит.
2004. С.500.
118
ISBN 5-7262-0710-6. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2007. Том 9