Кожевникова В.И., учитель математики высшей категории МОУ «Средняя общеобразовательная школа №8

Кожевникова В.И., учитель математики
высшей категории МОУ «Средняя
общеобразовательная школа №8
им. А.С.Пушкина», г.Черемхово
Иркутской области
Проект урока в курсе «Алгебры и начал
анализа», открывающего тему
«ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ»
Микромодуль мотивации в технологии
личностно ориентированного обучения
2006 – 2007 уч.год
Задачи на отыскание наибольшего, наименьшего значения функции имеют
важное значение не только потому что поясняют теорию, но и потому что
приносят пользу, т.к. усилия почти всякой человеческой деятельности
направлены на то, чтобы с наименьшей затратой сил, средств достигать
наивыгоднейшего результата.
Сегодня мы рассмотрим несколько производственных задач. Наша цель –
научиться анализировать реальные ситуации с помощью того
математического аппарата, которым вы владеете, соотнося с реальностью.
Это будут задачи на проектирование желоба для очистных сооружений, где
необходимо выбрать минимальные размеры при максимальной пропускной
способности желоба; задача с экономическим содержанием на
проектирование открытого ящика для перевозки гравия и выполнение
определенного объема работы.
1.
х
в
Периметр прямоугольника, открытого сверху,
равен 20. Выразить сторону в через х.
в = 20 – 2 х
2.
Выразить площадь боковой поверхности
прямоугольного параллелепипеда.
5
S = ( a + x ) 10
а
3.
х
Площадь боковой поверхности равна 60 кв.ед. Выразить сторону а через х.
а=6-х
4.
Выразить объем V этого же прямоугольного параллелепипеда через х.
V = - 5 x2 + 30 x
Периметр прямоугольника равен 26. Выразить площадь S
прямоугольника через х.
5.
х
6.
S = - x2 + 13 x
Изобразить схематически график квадратичной функции при
положительном дискриминанте и различных значениях старшего
коэффициента.
у
(хв;ув)
a>0; D>0
х
a<0; D>0
(хв;ув)
Вывод. Квадратичная функция
принимает экстремальные
значения в вершине параболы.
Если существует максимальное
значение, то не существует
минимального значения и
наоборот.
Хв= -в/2а; ув= у(хв)
В рассказе Л.Н.Толстого «Много ли человеку земли надо» говорится о том,
как крестьянин Пахом, который мечтал о собственной земле и собрал
наконец желанную сумму, предстал перед требованием старшины:
«Сколько за день земли обойдешь, вся твоя будет за 1000 руб. Но если к
заходу солнца не возвратишься на место, с которого вышел, пропали твои
деньги». Выбежал утром Пахом, прибежал на место и упал без чувств,
обежав четырехугольник периметром 40 км.
В
13
2
С
Он заработал участок площадью:
S= (2 + 10) : 2 ∙13 = 78 кв.м
10
А
15
D
у
х
(х + у) ∙ 2 = 40
х + у = 20
у = 20 - х
S = х∙у
S(х) = х (20 – х) = - х2 + 20х
Хв= -20/ -2 = 10, тогда у= 20 – 10 = 10
S = 100кв.км
Ответ: при х = у = 10м S = 100кв.км
Задача1. Необходимо построить отрытый желоб прямоугольного сечения
для стока воды. Длина периметра поперечного сечения желоба должна
равняться 6м. Какой высоты должны быть стенки желоба, чтобы получился
максимальный слив?
х
х
х
в
в
в
Площадь поперечного сечения должна быть наибольшей при каком значении х?
Задача 2. Заготовленной плиткой нужно облицевать 6000 кв.м боковых
стенок и дна желоба с прямоугольным поперечным сечением длиной
1000 м. Каковы должны быть размеры сечения, чтобы пропускная
способность желоба была наибольшей?
1000м
S1
S3
S2
х
1000м
в
х
в
х
Решение задачи №2.
V= Sсеч∙ 1000
6000 = ( в + 2 х)∙1000
в + 2х = 6
в = 6 – 2х
V(х) = х ( 6 – 2х) 1000 = -2000х2 + 6000 х
Хв= - 6000/ -4000 = 1,5
S1 + S2 + S3 = 6000 кв.м
Vmax= yв = 1000∙1,5 (6 – 2 ∙1,5) = 4500 куб.м
V наибольший при каких размерах сечения?
Задача. Требуется переправить через реку 150 куб.м гравия. Гравий
грузится в открытый ящик длиной 1,5м, шириной 1м и высотой h. Боковые
стороны (длиной 1,5м ) и дно ящика изготовлены из материала, кв.м
которого стоит 20 д.е., а передняя и задняя стенки (длиной 1м) – из
материала, кв.м которого стоит 15 д.е. После использования ящик не будет
иметь остаточной стоимости, а каждая перевозка ящика с одного берега на
другой и обратно стоит 0,1 д.е. При каком значении h стоимость
транспортировки гравия будет наиболее экономичной? Чему равна
минимальная транспортировка гравия?
0,1 д.е.-каждая
перевозка (n)
150 куб.м.
15 д.е.-1м2
20 д.е.- каждый кв.м
15
д.е.-1м2
1м
1,5 м
h
Решение задачи №1 конструкторского бюро «Очистные сооружения»
Т. к. площадь поперечного сечения S = в ∙ х, а периметр равен 6, то
2х +в = 6, в = 6 – 2х, S(х) = (6 – 2х) х = - 2х2 + 6х, а = -2 < 0, следовательно
Sнаиб.= ув при хв= -6/-4 = 1,5 S= -2∙1,52 + 6 ∙ 1,5 = 4,5
Ответ: при высоте желоба 1,5 м площадь поперечного сечения максимальная
и равна 4,5 кв.м
Домашняя задача №1328. В правильной четырехугольной призме диагональ
равна 2√3. При какой высоте призмы её объем наибольший?
Р Е Ш Е Н И Е.
h
V = a∙a ∙h = a2
2√3
a
a
V = (6 – ½ h2)∙h
V = 6h - ½ h3
d2 = a2+a2+h2
12 = 2a2+h2
a2=6 – ½ h2
1
Стоимость транспортировки ( f(h) ) = стоимость ящика ( g(h) ) + стоимость
всех перевозок ( t(h) )
f(h) = g(h) + t(h)
S1
2.
h
1,5м
4.
2
h 1м -15д.е.
1м2 – 20д.е
h
3.
S2
1м
1м
t(h) = 0,1n,
h
g(h)= 20 S1 + 15 S2 =
20 ∙ 1,5 ∙ (1 + 2h) + 15 ∙ 1 ∙ 2h
= 90h + 30
g(h)=90h + 30 – линейная функция
где n – количество перевозок.
n-?
n =150 / Vящика = 150 / 1∙1,5∙h = 100 / h
t(h) = 0,1∙ 100/h = 10 / h
t(h) = 10 / h – обратно пропорциональная
зависимость
f(h) = g(h) + t(h) = 90h + 30 + 10 / h
f(h) = 90h + 30 + 10 / h - сумма
двух функций
При решении задач были составлены функции:
1. Задача про Пахома.
S(x) = -x2 + 20x
2. Задача конструкторского отдела №1.
3. Задача конструкторского отдела №2 .
4. Задача экономического отдела.
5. Домашняя задача №1328.
S(x) = -2x2 + 6x
V(x) = -2000 x2 + 6000x
f(h) = 90 h + 30 + 10/h
V(h) = 6h+1/2 h3
Задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения требуют
составления математической модели задачи, а именно, определения
нужной зависимости и составления аналитической формы задания функции.
Знание свойств квадратичной функции позволяет дать ответ и его
интерпретацию. Но появление функций другого вида говорит о том, что
знаний недостаточно и, следовательно, необходим другой аппарат
исследования функций на наибольшее и наименьшее значения.
С таким аппаратом исследования мы познакомимся при изучении темы
«П Р О И З В О Д Н А Я»
Домашнее задание (из текстов ЕГЭ)
Для монтажа оборудования требуется подставка объемом 48куб.дм в форме
прямоугольного параллелепипеда с основанием в виде квадрата. Основание
подставки будет вмонтировано в пол, а задняя стенка подставки – в стену
цеха. Для соединения подставки по тем ребрам, которые не вмонтированы в
пол, используют сварку. Найдите размеры подставки, при которых общая
длина сварочного шва будет наименьшей.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К УРОКУ
Данный проект рассчитан на 2 урока. Он предшествует теме «Производная».
Основная цель: на основе имеющихся знаний, рассмотреть блок практических задач на
нахождение экстремальных значений функции. Проанализировав заключительные
этапы решенных задач подвести к выводу, что имеющихся знаний по исследованию
функций у учащихся не достаточно, так как при решении могут появиться самые
разные функции, в которых судить об экстремальном значении сложно.
Данному уроку должен предшествовать урок на повторение свойств всех элементарных
функций школьного курса с акцентом на квадратичную функцию, к которой можно применить
пословицу: «Выше крыши не прыгнешь», и фразу: «Ниже дна не нырнешь». Целесообразно
домашнее задание дать именно на повторение свойств квадратичной функции и задачи на
составление функции, которую учащиеся не могут дорешать до конца, но могут проделать
определенные вычисления, чтобы предположить при каком значении аргумента функция
будет принимать экстремальное значение. Так по учебнику Алимова Ш.А. это №№1282 (1-4),
№1328.
Форма урока: деловая игра, в которой учащиеся через содержание урока проживают
жизнь: выпускник ВУЗа → молодой специалист → специалист отдела.
Учащиеся рассаживаются в три однородные группы. Третью группу нужно сделать
посильнее, так как им достанется наиболее трудная экономическая задача с несколькими
этапами решения.
Этапы игры
1этап. Сдача выпускного экзамена ( билет– несложные задания на актуализацию
знаний и умений выражать одну переменную через другую, составлять функцию,
находить экстремальные значения квадратичной функции). Используются слайды
№3 и №4. Учащимся билеты в каждую группу выдаются одинаковые, но при этом
они их вытягивают, как на экзамене.
2 этап. «Вы получили диплом, пришли устраиваться на работу. Руководители
любят проверять на профпригодность», - говорит учитель. Предлагается задача
на слайде №5. Проверяется решение задачи. «Вы приняты на работу, стали
молодыми специалистами. Но продвижение по службе зарабатывается вашим
профессионализмом и умением работать с коллективом».
3 этап. Учитель. «Одни из вас- это сотрудники конструкторского отдела №1 и
№2 «Очистные сооружения», а другие – это сотрудники экономического
отдела. Вы получаете производственное задание от выполнения которого и
зависит ваше продвижение по службе».Озвучиваются задачи слайдов №6,
№7, №8. Учитель помогает осмыслить каждую задачу. Тексты задач
раздаются в группы для решения в парах, либо другим, возможным для
взаимодействия, составом. Задачу экономического отдела целесообразно
разбить на две составляющие: одни обсчитывают стоимость ящика, другие –
количество и стоимость перевозок. Учитель помогает решать задачи,
поскольку достаточного навыка решения таких задач у учащихся нет (речь
идет об общеобразовательных классах с программой 2 часа в неделю).
4 этап. Проверка решений задач с подробным объяснением на доске.
Используются слайды:
•для проверки задачи конструкторского отдела №1 – слайд №7
• для проверки задачи конструкторского отдела №2 – слайд №9
• для проверки домашней задачи №1328 – слайд №9
• для проверки задачи экономического отдела – слайд №10
5 этап. Подведение итогов.
•После обсуждения используется слайд №11 по содержанию учебного
материала урока.
• После каждого этапа учитель фиксировал достижения учащихся, здесь
он должен озвучить свои выводы и наблюдения за успехами учащихся и
дать им оценки. Это как прогноз: кто-то быстро получит продвижение по
службе благодаря хорошим знаниям, кто-то очень трудолюбивый и этим
добьется своего признания, а кто-то будет искать применения своих
способностей в других областях человеческой деятельности. Пожелать
успехов, поблагодарить за урок.
Таким образом, остаются незавершенными решения двух задач и некоторых
домашних задач, взятых из текстов ЕГЭ. На следующем уроке следует об этом
напомнить, чтобы поддержать эмоциональное состояние ожидания – как же
завершить решение? Учащиеся должны набраться терпения, чтобы освоить
понятие производной функции , навыки дифференцирования и применение
свойств производной для исследования функции.