СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Приложение 2.
СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Если тело переместить из точки А в точку В, а потом из точки В в точку
С, то суммарное перемещение из А в С представляется вектором АС (рис.1). Так
складывают векторы AB и BC :
AB  BC  AC
В рассмотренном случае конец первого вектора
вектора BC .
В общем же случае векторы
точки А вектор
АB ,
aиb
равный вектору
(1)
AB
является началом второго
складываются так: откладывают от какой- либо
Потом от точки В откладывают вектор BC ,
равный b . Тогда вектор AC является суммой векторов a и b :
(2)
a + b = AB  BC  AC
Это правило получения суммы двух векторов называется правилом треугольника.
Определение: суммой двух векторов называется вектор, построенный по правилу
треугольника.
С
a.
рис. 1
А
В
Если сумму данных векторов строить, откладывая ее из другой точки, то результат
получится равным прежнему.
1 остановка.
1
Чтобы найти суммарное перемещение тела, одновременно испытывающего два
перемещения (например, лодки, пересекающей реку /перемещение лодки слагается из
перемещений поперек реки и по течению реки) нужно каждое из этих слагаемых
перемещений (за один и тот же промежуток времени) изобразить вектором, отложенным от
точки А, т.е. AB  a и AD  b (рис.3). Рассматриваем лишь случай, когда векторы a и b
неколлинеарны. Тогда суммарное перемещение изобразится диагональю
AC
параллелограмма АВСD, построенного на векторах AB  a и AD  b .
Убедимся, что вектор AC будет суммой векторов a и b , построенной по правилу
треугольника. Действительно, т.к. АВСD – параллелограмм, то BC  ÀD . Поэтому BC  b .
По правилу треугольника AC  AB  BC , т.е. AC  a  b .
Мы доказали правило параллелограмма: если векторы неколлинеарны, то их сумма
представляется диагональю построенного на них параллелограмма.
рис.3
Интересно, что у операции сложения векторов те же свойства, что и у операции
сложения чисел.
1. Для любых векторов a и b
ab ba
(3)
(переместительный закон, или коммутативность сложения)
Для любых векторов a , b и c
(4)
(a  b)  c  a  (b  c)
(сочетательный закон, или ассоциативность сложения)
Пользуясь этим законом для трех векторов, можно как угодно группировать
слагаемые при любом их числе, т.е. заключать их в скобки любым образом. Поэтому сумму
2.
векторов пишут, никак не объединяя слагаемые скобками: a  b  c, a  b  c  d и т.д.
Из сочетательного и переместительного законов следует, что, складывая любое число
векторов, можно как угодно переставлять и группировать слагаемые.
2 остановка.
2
Правило многоугольника: Чтобы построить сумму нескольких векторов, нужно
построить сумму двух первых векторов, к полученному вектору прибавить третий вектор и
т.д.
Правило цепочки: Чтобы сложить несколько векторов, например, векторы a, b, c, d ,
удобно построить векторную ломаную (рис. 4,а). Эта ломанная состоит из направленных
отрезков AB  a , BC  b , CD  c , DE  d . Вектор AE , идущий из начала ломаной ABCDE
в ее конец, и является суммой:
AE  a  b  c  d .
рис. 4, а
Если ломаная получилась замкнутой, то сумма векторов равна нуль-вектору (рис.4,б).
рис.4, б
3. Для любого вектора a выполняется равенство a  0  a .
3