10 класс (в формате Microsoft Word)

1.3. Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а их плоскости образуют
угол 60 . Общее основание равно 16 м, боковая сторона одного треугольника 17 м, а
боковые стороны другого перпендикулярны. Найдите расстояние между вершинами
треугольников.
1.4. Внутри двугранного угла взята точка, удаленная от граней этого угла на расстояния
12 и 15. Найдите расстояние от этой точки, до ребра двугранного угла, если его величина равна 60 .
2.3. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Вычислите угол между скрещивающимися прямыми AD1 и
A1C1.
2.4. В основании пирамиды MABCD лежит квадрат, вершина M проектируется в центр
квадрата. Все рёбра пирамиды равны a. Найдите угол, образованный плоскостями
MBC и MCD.
3.3. Единичные векторы a и b образуют угол 60 , а единичный вектор c им перпендикулярен. Найдите абсолютную величину вектора a  b  c .
3.4. Два равных равнобедренных прямоугольных треугольника ABC и ABP лежат в разных гранях двугранного угла величины 60 . Найдите длину отрезка CP , если длина
катета AB равна 4 2 .
4.3. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Двугранные углы при её основании равны 60°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
4.4. Основание правильной пирамиды PABCDEF — правильный шестиугольник ABCDEF
со стороной a. Боковое ребро пирамиды равно 2a. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми AB и PD.
5.3. Катеты прямоугольного треугольника равны 7 м и 24 м. Найдите расстояние от вершины прямого угла до плоскости, которая проходит через гипотенузу и составляет
угол 30 с плоскостью треугольника.
5.4. Лучи AB , AC и AM образуют острые угля BAC , BAM и CAM , равные  . Луч AK
образует с каждым из данных лучей равные тупые углы. Найдите величину этих тупых
углов.
6.3. В правильной пирамиде площадь основания равна 10, двугранные углы при основании равны 60 . Вычислите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
6.4. Докажите, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между их проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из них.
7.3. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние a , проведены две наклонные под
углом 30 к плоскости, причем их проекции образуют угол 120 . Найдите расстояние
между концами наклонных.
7.4. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины трех попарно
скрещивающихся ребер куба, и найдите угол между плоскостью этого сечения и плоскостью одной из граней куба.
8.3. В правильной треугольной пирамиде стороны основания равны 2, а боковые ребра 3.
Вычислите расстояние от вершины основания до противолежащей боковой грани.
8.4. В основании треугольной пирамиды лежит правильный треугольник со стороной 1.
Все боковые грани равновелики основанию. Вычислите высоту этой пирамиды.
9.3. Даны три точки A (1; 0; 1) , B (1; 1; 2) , C(0; 2;  1) . Найдите на оси z такую точку
D (0; 0; c) , чтобы векторы AB и CD были перпендикулярны.
9.4. Точки A и B лежат на разных гранях двугранного угла, величина которого равна
60 ; A1 и B1 – проекции точек A и B на ребро двугранного угла. Найдите длину отрезка AB , если AA1  A1 B1  BB1  2 .
10.3. Из точки вне плоскости проведены перпендикуляр и две равные наклонные, образующие углы α с перпендикуляром. Угол между наклонными β. Найдите угол между
проекциями наклонных.
10.4 В треугольнике ABC заданы координаты вершин: A (0; 0; 5), B (0; 4; 0) и C (0; 0; 6).
Точка M взята внутри треугольника ABC. Она удалена от плоскости xy на 3, от плоскости xz на 1. На какое расстояние удалена точка M от плоскости yz?
11.3. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние a , проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы 45 , а между собой угол 60 . Найдите расстояние между
концами наклонных.
11.4. Точка K – середина стороны AD квадрата ADCD . Квадрат «перегнули» по прямой
KC так, что образовался двугранный угол величиной 60 . Найдите отношение длины
отрезка BD к длине диагонали квадрата.
12.3. Наклонная образует с плоскостью угол 45о. Через основание наклонной в плоскости
проведена прямая под углом 45о к проекции наклонной. Найдите угол между этой
прямой и наклонной.
12.4. Треугольник ABC задан координатами своих вершин: A (–2; 3; 2), B (6; 0; 3) и
C (2; 6; 7). Найдите длину медианы AM и координаты точки пересечения медиан.
13.3. Составьте уравнение геометрического места точек пространства, равноудаленных от
точки A (1; 2; 3) и начала координат.
13.4. Стороны треугольника равны 17 см, 15 см, и 8 см. Через вершину A меньшего угла
треугольника проведена прямая AM , перпендикулярная к его плоскости. Определите
расстояние от точки M до прямой, содержащей меньшую сторону треугольника, если
известно, что AM  20 см.
14.3. Напишите уравнение плоскости, все точки которой одинаково удалены от точек:
A (4; 5; 6) и B (2; 1; 0). Принадлежит ли этой плоскости точка C (4; 10; –2)?
14.4. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точка M — середина ребра CC1. Определите косинус угла
между прямыми A1M и BD1.
15.3. Из вершин A и B острых углов прямоугольного треугольника ABC восстановлены
перпендикуляры AA1 и BB1 к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины C до середины отрезка A1 B1 , если A1 C  4 м, AA1  3 м, B1 C  6 , BB1  2 м и отрезок A1 B1 не пересекает плоскость треугольника.
15.4. Из точки K , удаленной от плоскости  на 9 см, проведены к плоскости  наклонные KL и KM , образующие между собой прямой угол, а с плоскостью  – углы в 45
и 30 соответственно. Найдите отрезок LM .
16.3. У пирамиды ABCD все ребра равны. Точки M и N — середины ребер DC и AB соответственно. Определите угол между прямыми AD и MN.
16.4. Основанием пирамиды служит прямоугольник площадь, которого 20,25. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены
к ней под углами 30о и 60о. Найдите высоту пирамиды.
17.3. Дан равнобедренный треугольник с основанием 6 м и боковой стороной 5 м. Из
центра вписанного круга восстановлен перпендикуляр к плоскости треугольника длиной 2 м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.
17.4. Точки A и B лежат на ребре данного двугранного угла, равного 120 . Отрезки AC
и BD проведены в разных гранях и перпендикулярны к ребру двугранного угла.
Найдите отрезок CD , если AB  AC  BD  a .
18.3. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка M — середина ребра AB, точка N делит ребро BB1 в
отношении BN : NB1 = = 1 : 2. Определите косинус угла между прямыми MN и AD1.
18.4. ABCD — ромб со стороной 4 см и тупым углом 150о. O — точка пересечения диагоналей. MO — перпендикуляр к плоскости ромба, MO = 1 см. Найдите расстояние от
М до сторон ромба.
19.3. Через вершину A прямоугольника ABCD проведена прямая AK , перпендикулярная
его плоскости. Расстояния от точки K до других вершин прямоугольника равны 6 м,
7 м и 9 м. Найдите отрезок AK .
19.4. Постройте сечение куба ABCDA1 B1C1 D1 плоскостью, проходящей через точку пересечения диагоналей грани ABCD параллельно прямым AB1 и BK (точка K – середина
ребра CC1 ). Сколько процентов составляет площадь сечения от площади поверхности
куба?
20.3. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см.
Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если боковые грани наклонены к
плоскости основания под углом 60о.
20.4 K плоскости треугольника ABC проведен перпендикуляр DC длиной 8 см. Найдите
расстояние от точки D до прямой AB, если AB = 16 см, AC = CB = 10 см. Каков угол
между плоскостями ABD и ABC?
21.3. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10 см и 17 см. Разность
проекций этих наклонных, равна 9 см. Найдите проекции наклонных.
21.4. Квадрат ACMD и правильный треугольник ABC расположены так, что двугранный
угол M ( AC) B  120  . Найдите расстояния от точки B до плоскости квадрата и от точки
M до плоскости треугольника, если AC  4 .
22.3. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см.
Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если боковые ребра наклонены к
плоскости основания под углом 60о.
22.4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1,
найдите косинус угла  между плоскостями ABC и BCS.
23.3. Дана параллельная проекция окружности и ее диаметра. Как построить проекцию
перпендикулярного диаметра?
23.4. MABCD – правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 10.
Найдите расстояние между прямой AC и медианой грани MDC .
24.3. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами 4,25 и
4,32 см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 30о.
Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
24.4. В правильной шестиугольной призме АBCDEFА1B1C1D1E1F1 все рёбра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВС1.
25.3. Через концы отрезка AB и его середину M проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках A1 , B1 и M 1 . Найдите длину отрезка MM 1 ,
если отрезок AB пересекает плоскость и AA`  a , BB 1  b .
25.4. На изображении прямоугольного треугольника ABC , длины катетов которого относятся как 3 : 4 , постройте изображение центра
вписанной окружности.
26.3. Даны три утверждения: 1) апофемы пирамиды равны; 2) двугранные углы при основании пирамиды равны; 3) вершина пирамиды проектируется в центр окружности,
вписанной в основание. Докажите, что из каждого из этих утверждений следуют
остальные.
26.4. В правильной шестиугольной призме АBCDEFА1B1C1D1E1F1 все рёбра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВD1.
27.3. Найдите геометрическое место точек середин отрезков с концами на двух скрещивающихся прямых.
27.4. На изображении треугольника, длины сторон которого пропорциональны числам
2,3, и 4 постройте изображение центра окружности, вписанной в треугольник.
28.3. Даны три утверждения: 1) боковые ребра пирамиды равны; 2) боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом; 3) вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около основания. Докажите, что
из каждого из этих утверждений следуют остальные.
28.4. В правильной шестиугольной призме АBCDEFА1B1C1D1E1F1 все рёбра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВE1.