Элективное занятие по теме системы с двумя переменными ».

Элективное занятие по теме
«Симметрические выражения от двух переменных. Симметрические
системы с двумя переменными ».
Класс – 10
Учитель – Давыдова Марина Георгиевна
МОУ «Гимназия №5 г. Белгорода»
Учебная задача: 1. формирование системы по изучению симметрических
уравнений;
2. формирование системы фактов «симметрические
выражения от двух переменных», «симметрические
уравнения,
симметрические
системы
с
двумя
переменными» в курсе математики.
Цели:
Образовательные:
 Организовать деятельность учащихся по комплексному применению
знаний, умений и способов действия при решении симметрические
систем с двумя переменными;
 Обеспечить на занятии условия для продуктивной познавательной
деятельности учащихся при решении задач конструктивного уровня;
 Способствовать формированию познавательных и практических
умений учащихся на всех этапах урока.
Развивающие:
 Создать условия для развития учащихся исследовательской культуры:
 Содействовать быстрой актуализации и практическому применению
ранее полученных знаний, умений и способов действий в
нестандартных ситуациях:
 Обеспечить развитие у школьников умений сравнивать познавательные
объекты (разные решения одной и той же задачи)
 дидактическая: обобщение и систематизация сформированных ранее
математических понятий, определений, фактов;
 психологическая: формирование видов учебно-познавательной
деятельности;
 воспитательная: содействовать формированию у школьников чувства
ответственности за собственную и коллективную деятельность,
способствовать сплочению классного коллектива, проверка грамотной
устной и письменной математической речи учащихся.
Тип урока: комбинированный; урок – семинар.
Методы: обучении- диалогический;
преподавания – частично – поисковый; исследовательский.
Дидактическое и методическое оснащение урока: задачник; ПК;
презентации.
Знания и умения: продолжение совершенствование навыков решения задач
на симметрические выражения от двух переменных. Симметрические
системы с двумя переменными
Цели урока: систематизировать и обобщить знания о симметрических
системах с двумя переменными.
Ход занятия:
Тема учебного занятия: «Симметрические выражения от двух
переменных. Симметрические системы с двумя переменными». Сегодня мы
систематизируем и обобщаем знания о симметрических системах с двумя
переменными.
На I этапе занятия: устный опрос учащихся с целью установления
содержательных связей между ведущими линиями школьного курса
математики.
Вниманию учащихся предлагаются вопросы и задания.
1.Какие выражения называются симметрическими? Приведите примеры.
Выражения p(х; у) называется симметрическим, если оно
сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х.
Примеры: х2у+ху2- симметрическое выражение при одновременной
замене х на у и у на х получается выражение у2х+ух2, но это то же
самое, что х2у+ху2.
2.Назовите
основные
симметрические
выражения?
(основные
симметрические выражения ху и х+у)
3.Какие уравнения называются симметрическими?
Уравнения p(х; у)=0 называются симметрическим уравнением, если его
левая часть – симметрическое выражение. Например: х2+у2=( х+у) 2-2ху.
4.Какие системы называются симметрическими?
Систему двух уравнений с двумя переменными называют
симметрической системой, если она состоит из симметрических
уравнений.
5.Назвать основную идею решения симметрических систем уравнений с
двумя переменными.
Вводят две новые переменные u=x+y и v=xy, тогда все остальные
симметрические многочлены выражаются через основные. Решение
простейшей симметрической системы основано на теореме, обратной
теореме Виета. Необходимо составить квадратное уравнение с заданными
суммой и произведением корней и решить его. Найденные корни будут
значениями х и у.
6.Решить систему уравнений.
х  у  3
ответ: (4;-1),(-1;4). (t2-3t-4=0)

ху


4

 х 2  у 2  25
ответ: ( 3;4),(4;3)

х  у  7
На II этапе: защита реферата по теме «Симметрические выражения от двух
переменных. Симметрические системы с двумя переменными». Ученик
представляет презентацию. Какой вывод можно сделать из работы?
На III этапе: комплексное применение знаний, умений и способов действий
по теме.
Французский писатель Анатоль Франс заметил: «Что учиться можно
только весело…» последуем совету писателя: будем на уроке активны,
внимательны.
Решите системы уравнений.
 х 3 у  ху3  300
1. 
 ху  х 2  у 2  37
Решение.
 х 3 у  ху3  300
;

 ху  х 2  у 2  37
 ху( х 2  у 2 )  300

 ху  х 2  у 2  37.
Введем две новые переменные t=xу и a=x2+y2. Тогда заданная система
примет вид
t  a  300

t  a  37
t  a  300

t  37  a
Выразим t из второго уравнения. Подставим полученное выражение
вместо t в первое уравнение системы:
(37-а)а=300
37a-а2-300=0
а2-37а+300=0
а1=12 ,а2=25. Соответственно находим t1=25, t2=12.
Осталось решить совокупность двух простых систем уравнений:
 ху  12
 2
2
 х  у  25
 ху  25
 2
2
 х  у  12
Решим первую из этих систем методом алгебраического сложения. Решая
ее, получаем ответ: (4;3),(-3;-4),(3;4),(-4,-3) . Вторая система решений не
имеет.
Ответ: ( 4;3),(-3;-4),(3;4),(-4,-3)
 х 2  ху  у 2  7
2. 
 х  ху  у  5
Решение: Введем две новые переменные v=xу и u=x+y.
Тогда х2+у2=(х+у)2-2ху= u2-2 v
Заданная система примет вид
u 2  2v  v  7u 2  v  7


u  v  5
u  v  5
Решив эту систему находим u1=-4,v1=9; u2=3,v2=2.
Решим вторую из этих систем. Решая ее, получаем ответ: (1;2),(2;1).
Первая система решений не имеет.
Ответ: (1;2),(2;1).
 х 4  х 2 у 2  у 4  91
3.  2
2
 х  ху  у  7
Решение: это симметрическая система. Введем две новые переменные
v=xу и u=x+y и зная, что х2+у2=(х+у)2-2ху= u2-2 v, х4+у4= u4-4v u2+2v2
Запишем систему
u 4  4u 2 v  3v 2  91
 2
u  7  3v
Исключая из этой системы u2, (7+3v)2-4(7+3v)v+3v2=91
14v=42
v=3 тогда u2=16, u=  4.
Осталось решить совокупность двух простых систем уравнений:
Ответ: (1;3),(3;1),(-1;-3),(-3;-1).
На IV этапе: Содержательно – процессуальный.
Цель: проверить знания по теме, совершенствование вычислительных
навыков. Самостоятельная работа по карточкам. Каждый ученик класса
работают по определенным индивидуальным заданиям. Проверка решения
по таблице ответов.
Номер
карточки
1
2
3
ответ
(3;5),(5;3)
(-1;2),(2;-1)
(1;3),(3;1)
Номер
карточки
6
7
8
4
5
(5;1),(1;5) (3;2),(2;3)
(1;3),(3;1)
9
10
 10  97 10  97   10  97 10  97 

, 

;
;



3
3
3
3



ответ
(1;2),(2;1)
(-1;2),(2;-1)
(2;2),(2 8 ;2+ 8 ),
(2+ 8 ;2- 8 )
(1;4),(4;1)
(-2;-1),(-1;-2)
(1;2),(2;1)
VI этап. Подведение итогов занятия, рефлексия.
Закройте глаза, если вы взяли, что-то новое и это вам нужно. Если вам было
не интересно, смотрите на доску.
Карточка № 1
Решить систему уравнений.
Карточка № 6
Решить систему уравнений
 х 2  у 2  34

 х  у  2 ху  38
 х 2  у 2  ху  7

 х  у  3ху  9
Карточка № 2
Решить систему уравнений
Карточка № 7
Решить систему уравнений
х 3  у 3  7

 ху( х  у )  2
х 3  у 3  7

( ху  5)( х  у)  3
Карточка № 3
Решить систему уравнений
Карточка № 8
Решить систему уравнений
 х 3  х 3 у 3  у 3  55

 х  ху  у  1
 х 3  х 3 у 3  у 3  48

 х  ху  у  0
Карточка № 4
Решить систему уравнений
Карточка № 9
Решить систему уравнений
 х  ху  у  11
 2
2
 х у  ху  30
2 х  2 у  ху  6
 2
2
 х  у  3ху  5
Карточка № 5
Решить систему уравнений
Карточка № 10
Решить систему уравнений
 ху( х  20( у  2)  3

( х  1)( у  1)  8
 х 2  у 2  ху  3
 4
 х  у 4  х 2 у 2  21
Открытое элективное занятие
для аттестационной комиссии
гимназии№5
май 2007год
по теме:
«Симметрические выражения от двух переменных.
Симметрические системы с двумя переменными ».
Класс – 10