Вопросы для госэкзамена по курсу

1
Вопросы для госэкзамена по курсу
«Теория игр и исследования операций»
1. Многокритериальные задачи.
Модели исследования операций (40), которые содержат не одну, а несколько
характеристик, значение которых желательно максимизировать или максимировать,
являются достаточно распространенными, особенно при реализации сложных
проектов. При этом данные характеристики, как правило, противоречат друг другу, как
например, время отклика и стоимость системы, так что найти вариант, добавляющий
оптимальные значения сразу по всем характеристикам невозможно. В результате
возникает неопределенность целей, для преодоления которой существует несколько
способов.
Итак, в общем виде модель ИО со многими целевыми функциями можно записать
в виде:
i  1, m
max  fi(x)
(1)
x
где Х – допустимое множество, fi : X   - целевые функции. Основные способы
преодоления возникающие неопределенности следующие.
(а)
Свертка критериев.
Этот переход состоит в выборе чисел (весов) i  0
i  1, m ,
m
  =1 и замене задачи
i 1
(1) на задачу с одним критерием.
max  F x
x X
i
(2)
m
где F  x     i f i  x  . Достоинствами этого подхода являются чрезвычайная простота и
i 1
возможность сохранения полезных свойств функции f i , таких как выпуклость и
дифференцируемость, в функции F. Недостатком же этого подхода является трудность
назначения весов i , поскольку целевые функции f i могут быть совершенно
разнородными.
(b) Контрольные показатели.
Здесь предлагается для каждого критерия f i (x) определить контрольный показатель,
или пороговое значение  i , так чтобы у выбранного варианта x значения критериев
были бы не хуже  i . В результате вместо (1) получаем вполне определенную задачу
нахождения элемента из множества
X   x  X / f i   i i  1, m ,
которое, однако, может быть пустым. Тогда необходимо использовать процедурные
адаптации с целью подбора величин  i , обеспечивающих совместность. Вариантом
этого подхода является выбор одного критерия, скажем, f k x  , в качестве
оптимизируемого, и оставление для остальных контрольных показателей. В итоге
получаем задачу оптимизации
max  f k x 

2
при ограничениях x  X и f i x    i i  1, m , i  k .
Иначе, можно заменить (1) на задачу (2), где F x  
min
 f i x  /  i  ,
i  1, m
обеспечивая таким образом равномерное улучшение значение критериев по отношению
к их пороговым значениям.
(с)
Метрика в пространстве критериев.
Этот подход состоит в определение точки, ближайших по расстоянию до идеального
решения в пространстве критериев. А именно, если решить каждую задачу в (1), то
получим оптимальное значение f i * для каждой i  й задачи. После этого можно
сформировать функцию расстояния в пространстве критериев
1
2
2
 m
d ( x)    i f i x   f i *  ,
 i 1

где  i  0 - веса критериев (обычное расстояние соответствует выбору  i  1 для


i  1, m ). Теперь можно определить решение задачи
min  d x
x X
в качестве обобщенного решения задачи (1).
(d)
Оптимизация по Парето.
Все предыдущие подходы предусматривали сведение задачи (1) со многими
критериями к задачи со скалярным критерием. Однако можно непосредственно
определить понятие решения для задачи (1), используя отношения предпочтения в
пространстве критериев. Одно из наиболее известных бинарных отношений было
предложено В. Парето. Для двух векторов a, b  R m считаем, что a  p b (а лучше чем b
в смысле Парето), если ai  bi для i  1, m и a  b . Определим вектор функцию
f ( x),..., f m ( x) и тогда можно определить задачу:
 
Найти x *  X : x  X , f ( x)  p f x * .
(3)
Множество решений задачи (3) обозначим X *p . Нахождение решений задачи (3) с
m
F ( x)   i f i ( x) , i  0,
i 1
m

i 1
i
 1 есть точка из X *p . Таким образом, перебирая веса i ,
удовлетворяющие условиям
m
i  0, i  1, m;  i  1 ;
i 1
*
p
получаем аппроксимацию всего множества X .
(е) Последовательная оптимизация.
Другой подход к определению понятия решения векторной задачи состоит в
использование лексикографического отношения предпочтения. Для векторов a, b
 R m считаем, что a  lex b (а не хуже лексикографически, чем b), если найдется номер
K  n такой, что a k  bi для i  1, i  1 либо a  b .
3
В качестве решения предлагается брать решение задачи:
x *  X , f ( x * )  lex f ( x)
x  X .
(4)
*
*
 X m* , где
Множество решений задачи обозначим X lex
. Можно показать, что X lex

X k*  x *  X k*1 / f ( x * )  f ( x * )x  X k*1

(5).
для R  1, m , X  X .
Итак, решение задачи лексикографической оптимизации (4) можно найти, находя
решения скалярных задач оптимизации последовательно на множестве решений
*
предыдущей. Ясно, что множество X lex
содержится в X *p и что решение (4) может
составлять единственную точку. Для расширения множества решений Е.С. Вентцель
предложила метод последовательных уступок, который состоит в приближенном
решении задач в (5). А именно, определяются допуски  i  0 для каждого критерия,
x  X  / f (~
x )  f    , где
полагаем X   X , X   ~
*
0
k
0
f


k 1
 inf f ( x) для   1, m
xX k 1
и определяем X m как множество решений.

k
4
2. Матричные игры.
Матричную игру можно определить как игру двух лиц (игроков), в которой
игроки имеют конечные множества стратегий и противоположные интересы. Без
ограничения общности можно считать, что первый игрок имеет m стратегий, а второй
n стратегий. Выбор первым игроком i  й стратегий, а вторым
j  й стратегий
определяет ситуацию (i,j), в которой выигрыш первого игрока и одновременно
проигрыш второго есть число a ij . Таким образом, чтобы задать матричную игру,
достаточно задать матрицу выигрышей A  ( aij ) размером mxn . Если следовать
принципу гарантированного результата, то оптимальной для первого игрока будет
стратегия i * такая, что
V1  min ai* j  max min aij .
i 1, 4
i 1,m j 1, n
Аналогично, оптимальной для второго игрока
гарантированного результата будет стратегия j * такая, что
V2  max aij*  min max aij .
i 1,m
j 1, 4 i 1,m

стратегий
в
смысле

Однако при этом ситуация i * , j * не обязательно будет ситуацией равновесия, т.е.
соотношения
aij*  ai* j*  ai* j i  1, m;  j  1,4
(1)
необязательно выполняются. Гарантировать выполнение условий (1) можно только в
том случае, если игра имеет значение V, т.е.
V1  V2   .
Заметим, что в общем случае из определений следует только соотношение
V1  V2 и, как нетрудно показать, во многих случаях возможна ситуация V1  V2 . Для
обеспечения существования значения игры используется так называемое смешанное
расширение игры. Для смешанной игры множества стратегий игроков есть
n
m




X   x  Rm /  xi  1 и Y   y  Rn /  y j  1
i 1


j 1


- множество вероятностей векторов на множестве первоначальных (чистых) стратегий,
функция выигрыша первого игрока
m
n
H ( x, y)   ai ; xi y j
i 1 j 1
есть математическое ожидание выигрыша в ситуации, когда первый игрок выбирает
стратегию x  ( x1 ,..., xm ) , а второй y  ( y1 ,..., yn ) . Проигрыш второго игрока в этой же
ситуации равен выигрышу первого. Если первый игрок выбирает в качестве стратегий
i  й координатный вектор ei(m ) в R m , а второй j  й координатный вектор ei(n ) в R 4 , т.е.
чистые i  ю и j  ю стратегию соответственно, то выигрыш первого игрока есть
H (ei( m) , e (jn)  aij
это соответствует его выигрышу в исходной игре. Итак, игра в смешанных стратегиях
содержит игру в чистых стратегиях. При этом, как утверждает теорема фон Неймана о
минимаксе, такая игра всегда имеет значение, т.е.
~ ~ ~
V1  V2  V ,
~
где V1  max min H ( x, y ) . Поэтому смешанные стратегии x * и y * , оптимальные в смысле
xX
yY
гарантированного результата, образуют ситуацию равновесия:
5
x  X , y  Y .
H ( x, y * )  H ( x * , y * )  H ( x * , y)
В общем случае найти решение матричной игры можно сведением ее к паре
двойственных задач линейного программирования. Предварительно можно сократить
размерность задачи, исключая доминируемые чистые стратегии. В том случае, когда
один из игроков имеет не более двух чистых стратегий, решение может быть найдено
графически, а в случае m=n=2 – находится явным образом.
6
3. Кооперативные игры.
В кооперативных играх, в отличие от бескоалиционных, игроки могут вступать в
коалиции, увеличивая тем самым суммарный выигрыш. Если в игре участвуют и
игроков, то для задания кооперативной игры необходимо определить для любого
подмножества ISN={1,…,n} число V (I ) - значение характеристической функции игры,
равное гарантированному совместному выигрышу игроков, номера которых входят в
множество I, т.е. при это все оставшиеся игроки из N/I могут действовать против них.
Обычно функция V имеет следующие свойства:
V ( I1  I 2 )  V ( I1 )  V ( I 2 )
I1  I 2  Ø.
V (Ø)=0,
Отсюда следует,
V ( N )  V (i) ,
iN
при этом равенство показывает на невыгодность вступление игроков в коалиции, и игра
называется не существенной. В существенной игре V ( N )   V (i ) и основным
iN
вопросом является оптимальное распределение выигрыша. Возможные варианты
распределения называются дележами, а именно, вектор x  ( x1 ,..., xu ) называется
дележом, если
(а) xi  V (i) i  N ,
(b)
x
iI
i
 V (I ) .
Для определения наилучшего дележа вводят отношение предпочтения на множестве
дележей. Говорят, что дележ x доминирует дележу по коалиции I (что записывается
x  I y ), если
(а) xi  yi i  N ,
(b)
x
iI
i
 V (I ) .
Из определения следует, что доминирование невозможно ни по коалиции, состоящей из
всех n игроков. Далее, говорят, что дележ x доминирует дележ y (что записывается
x  y ), если ISN : x  I y .
В качестве решения можно принять дележ, недоминируемый никаким другим дележом.
Таким образом, в качестве множества решений предлагается выбрать множество
A  x *  R n / x * - дележ и  дележа y  x.
Для определения оптимальных дележей можно использовать следующее условие
оптимальности:
x  A   xi  V ( I )
ISN .

iI
В результате поиск оптимального дележа сводится к задаче решения системы
линейных неравенств.