ЗАДАЧИ, СВОДЯЩИЕСЯ К РЕШЕНИЮ ДУ I ПОРЯДКА С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ. 1. Найти уравнение линии, проходящей через точку (2;1) и имеющей касательную, угловой коэффициент которой равен 3х+1. Ответ: y 3 2 x x7 2 2. Тело, находящееся в состоянии покоя, начинает двигаться со скоростью, пропорциональной пройденному пути. Найти уравнение движения тела, если от начала отсчета времени оно проходит 10 м за 2 сек., а 40 м за 4 сек. Найти путь, пройденный телом за 6 сек. Ответ: s 5 2 t 1 ; 160 м. 3. При брожении скорость прироста действующего фермента пропорциональна его наличному количеству. Через 2 часа после брожения наличное количество фермента составляет 2 грамма, а через 3 часа- 3 грамма. Каково было первоначальное количество фермента? Ответ: 8 гр. 9 4. Металлический шар, имеющий в начале опыта температуру 120С, охлаждается струей воды температуры 00С. Через 8 минут шар охладился до температуры 90С. Считая скорость охлаждения пропорциональной разности между температурой тела и температурой окружающей среды, найти: 1) в течение какого времени шар охладится до температуры 70С? 2) какова будет температура шара через 30 минут после начала охлаждения? Ответ: 1) ∼15 мин; 2) ∼40С. 5. К началу радиоактивного распада имели 100 грамм радия. Сколько радия распадается за 200 лет, если период его полураспада равен 1590 годам? (скорость распада радия пропорциональна его количеству в данный момент времени) Ответ: 91,63 гр 6. Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа в данный момент времени пропорциональна его фактической стоимости. Начальная стоимость оборудования равна 100000 крон. Какова будет его стоимость через 10 лет, если через один год она составляла 90000 крон? Ответ: 34868 крон 7. Катер движется в спокойной воде со скоростью v0=20 км/ч. Определить скорость катера через 2 мин после выключения двигателя, если за 40 сек она уменьшилась до v1=8 км/ч. Сопротивление воды пропорционально скорости движения катера. Ответ: 1,28 км/ч. 9 Задачи, сводящиеся к решению ДУ I порядка с разделяющимися переменными 1. Найти уравнение линии, проходящей через точку (2;1) и имеющей касательную, угловой коэффициент которой равен 3х+1. Решение: Согласно условию, y 3 x 1 или dy 3 x 1 . Решив полученное уравнение, dx найдем общее решение, т.е. семейство интегральных кривых. Разделяем переменные: dy 3x 1dx dy 3x 1dx y 3x 2 x C - это общее решение ДУ. 2 Найдем С. Для этого подставим начальное условие х=2, у=1 в общее решение: 3 22 2C 2 1 8 C , откуда С= -7. 1 Следовательно, частное решение имеет вид y 3x 2 x7. 2 Семейством интегральных кривых, соответствующих общему решению ДУ, являются параболы y b 1 3x 2 . x C с вершинами, расположенными на прямой x 2a 3 2 Найденному частному решению соответствует парабола с вершиной, расположенной на прямой x 1 , проходящая через точку (2; 1) и пересекающая ось ОУ в точке (0;-7). 3 Ответ: y 3x 2 x7 2 2. Тело, находящееся в состоянии покоя, начинает двигаться со скоростью, пропорциональной пройденному пути. Найти уравнение движения тела, если от начала отсчета времени оно проходит 10 м за 2 сек., а 40 м за 4 сек. Найти путь, пройденный телом за 6 сек. Решение: Обозначим скорость движения материальной точки через v. Как известно, скорость равна производной пути по времени, т.е. v s (t ) пропорциональна пройденному пропорциональности. 10 пути, т.е. v ds ks , dt ds . По условию, скорость dt где k- коэффициент Задачи, сводящиеся к решению ДУ I порядка с разделяющимися переменными т.о. ДУ данной задачи имеет вид ds ks . dt Разделим переменные и найдем общее решение этого уравнения: ds ks dt ds kdt s ds s kdt ∣ dt s ln s kt C ln s ln e kt ln C ln s ln C e kt s C e kt s Ce kt s Ce kt Общее решение: Найдем частное решение, т.е. из всех возможных движений по этому закону найдем такое, при котором тело проходит 10 м за 2 сек. Найдем С. Для этого подставим начальное условие s 10, t 2 в общее решение: откуда Тогда 10 Ce 2 k , 10 C 2k . e 10 s 2 k e kt 10e kt 2 k 10e k (t 2 ) e (1) Найдем коэффициент пропорциональности k. Его можно определить из второго условия s=40, t=4, подставив в (1): 40 10e k ( 4 2) ∣ : 10 4 e 2k ∣ 2 1 2 e k -можно оставить так. Тогда подставим e k 2 в (1), получим частное решение: s 10 2 t 2 или s 5 2 2 t 2 5 2 t 1 Итак, закон движения тела определяется уравнением s 5 2 t 1 . (2) Чтобы найти путь, пройденный телом за 6 секунд, надо в уравнение (2) вместо t подставить 6, получим: s 5 2 61 5 2 5 5 32 160 м. Ответ: уравнение движения тела s 5 2 t 1 ; за 6 сек тело прошло 160 м. 11 Задачи, сводящиеся к решению ДУ I порядка с разделяющимися переменными 3. При брожении скорость прироста действующего фермента пропорциональна его наличному количеству. Через 2 часа после брожения наличное количество фермента составляет 2 грамма, а через 3 часа- 3 грамма. Каково было первоначальное количество фермента? Решение: Обозначим количество фермента в момент времени t через х=х(t), начальный момент – через х0=х(0). Тогда По условию, х(t) удовлетворяет ДУ Найдем общее решение ДУ: а в dx - скорость прироста действующего фермента. dt dx kx , где k- коэффициент пропорциональности. dt dx dt kx ∣ dt x dx kdt x dx x kdt ln x kt C ln x ln e kt ln C ln x ln C e kt x C e kt x Ce kt x Ce kt Общее решение: Найдем С: подставим в общее решение начальные условия x=2, t=2 Тогда Найдем к, если х=3, t=3 Тогда 2 Ce 2 k 2 C 2k e 2 x 2 k e kt 2e kt 2 k 2e k (t 2) e 3 2e k 3 ek 2 3 x 2 2 t 2 3 Итак, количество фермента в момент времени t определяется уравнением x 2 2 12 t 2 . Задачи, сводящиеся к решению ДУ I порядка с разделяющимися переменными Теперь надо узнать первоначальное количество фермента, т.е. количество фермента в момент времени t=0: 3 x0 x(0) 2 2 Ответ: первоначальное количество фермента было 2 2 4 8 2 2 2 гр. 9 9 3 8 гр. 9 4. Металлический шар, имеющий в начале опыта температуру 120С, охлаждается струей воды температуры 00С. Через 8 минут шар охладился до температуры 90С. Считая скорость охлаждения пропорциональной разности между температурой тела и температурой окружающей среды, найти: 1) в течение какого времени шар охладится до температуры 70С? 2) какова будет температура шара через 30 минут после начала охлаждения? Решение: Пусть Т=Т(t) – температура шара в момент времени t. Пусть Тс - температура окружающей среды. Скорость охлаждения шара будет равна производной условию dT . Согласно dt dT k T Tc , dt где k- коэффициент пропорциональности. т.к. Тс=0, то dT k T 0 dt dT dt kT ∣ dt T dT kdt T dT T kdt ln T kt C После необходимых преобразований, получаем общее решение ДУ: T Ce kt Найдем С: при t=0 температура шара Т=120С,тогда Подставляем в общее решение: 12 Ce 0 или С=12. T 12e kt 13 Задачи, сводящиеся к решению ДУ I порядка с разделяющимися переменными Найдем k: при t=8 температура шара Т=90С, тогда 9 12e 8 k 9 e 8k 12 3 e 8k 4 или ∣ 8 1 1 3 8 e 4 k t 3 8 T 12 4 Тогда (3) Получили закон изменения температуры шара в любой момент времени t. 1) Теперь ответим на первый вопрос: в течение какого времени шар охладится до температуры 70С? Положим Т=7 в уравнении (3): t 3 8 7 12 4 Чтобы выразить из уравнения t, надо прологарифмировать обе части уравнения и воспользоваться свойствами логарифма: t 3 8 log 7 log 12 4 t 3 8 log 7 log 12 log 4 t 3 log 7 log 12 log 8 4 t 3 log log 7 log 12 Выразим t: 8 4 t log 7 log 12 8 log 0,75 8 (log 7 log 12) 8 (0,8451 1,0792) 8 0,2341 1,8728 откуда t 15 мин. log 0,75 0,1249 0,1249 0,1249 2) Для ответа на второй вопрос ( какова будет температура шара через 30 минут после начала охлаждения?) положим в равенстве (3) t=30: 30 откуда T 12 0,753,75 3 8 T 12 4 12 0,3400 4,08 4 0 C Ответ: 1) в течение 15 минут шар охладится до температуры 70С; 2) через 30 минут после охлаждения температура шара будет ∼40С. 14 Задачи, сводящиеся к решению ДУ I порядка с разделяющимися переменными 5. К началу радиоактивного распада имели 100 грамм радия. Сколько радия распадается за 200 лет, если период его полураспада равен 1590 годам? (скорость распада радия пропорциональна его количеству в данный момент времени) Решение: Пусть R=R(t) - первоначальное количество. количество радия в момент t. Пусть Тогда скорость распада радия равна dR dt R0=R(0)- его и является отрицательной величиной, т.к. R с возрастанием t убывает. Согласно условию, имеем dR kR , где k- коэффициент пропорциональности. dt Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем: dR dt kR ∣ dt R dR kdt R dR R kdt ln R kt C и т.д. R Ce kt Общее решение Для определения произвольной постоянной С воспользуемся начальными условиями R=R0=100 в момент t=0: 100 Ce 0 , откуда С=100. Поэтому закон распада имеет вид R 100e kt . (4) Для нахождения k используем следующие условия: R 50 100e 1590k 1 e 1590k ∣ 2 отсюда 1 1 R0 100 50 при t=1590; 2 2 1590 1 1 e k e k 1 1590 2 2 1 1 1590 2 1 1590 t 1590 R 100 2 Подставляем e k в (4) и получаем (5) Теперь ответим на вопрос: сколько радия распадается за 200 лет? Подставляем t=200 в уравнение (5) и получим: R(200) 100 2 Ответ: 200 1590 100 2 0,126 100 0,9163 91,63 гр. количество радия, оставшегося нераспавшимся через 200 лет будет равным 91,63 гр. 15 Задачи, сводящиеся к решению ДУ I порядка с разделяющимися переменными 6. Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа в данный момент времени пропорциональна его фактической стоимости. Начальная стоимость оборудования равна 100000 крон. Какова будет его стоимость через 10 лет, если через один год она составляла 90000 крон? Решение: Пусть х=х(t)- стоимость оборудования в момент времени t. х0=х(0) - начальная стоимость оборудования. Тогда dx - скорость обесценивания оборудования и является dt отрицательной величиной, т.к. х с возрастанием t убывает. Согласно условию, имеем dx kx , где k- коэффициент пропорциональности. dt Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем: dx dt kx ∣ dt x dx kdt x dx x kdt ln x kt C Делаем необходимые преобразования и получаем общее решение x Ce kt Для определения произвольной постоянной С воспользуемся начальными условиями 100000 Ce 0 , откуда С=100000. х=х0=100000 в момент t=0: Поэтому уравнение по которому определяется стоимость оборудования, имеет вид x 100000e kt . (6) Для нахождения k используем следующие условия: x 90000 при t=1; отсюда 90000 100000e k 9 e k 10 Подставляем e k в (6) и получаем 9 x 100000 10 t (7) Теперь ответим на вопрос: какова будет стоимость оборудования через 10 лет? Подставляем t=10 в уравнение (7) и получим: 10 910 910 9 5 x(10) 100000 10 10 5 34867,84 34868 крон 10 10 10 Ответ: стоимость оборудования через 10 лет составит 34868 крон. 16 Задачи, сводящиеся к решению ДУ I порядка с разделяющимися переменными 7. Катер движется в спокойной воде со скоростью v0=20 км/ч. Определить скорость катера через 2 мин после выключения двигателя, если за 40 сек она уменьшилась до v1=8 км/ч. Сопротивление воды пропорционально скорости движения катера. Решение: Пусть скорость движения катера в момент времени t равна v=v(t). Тогда на движущийся катер действует сила сопротивления воды F= -kv. Но согласно закону Ньютона F ma m dv , а следовательно, dt dv dt kv ∣ dt mv dv k dt v m dv k v m dt k ln v t C m m или Делая необходимые преобразования, получим общее решение: v Ce k t m Постоянную С найдем из начального условия v(0)=20 км/ч: 20 Ce 0 , т.е С=20 Итак, скорость движения катера после выключения двигателя определяется формулой v 20e Найдем значение постоянной t 40 cåê e k m k t m . . Для этого воспользуемся условием, что при 1 ÷ скорость v=8 км/ч: 90 8 20 e - k 1 m 90 k 1 2 e m 90 5 e k m 2 5 ∣ 90 90 90t 2 v 20 Тогда 5 1 ÷ найдем искомую скорость Положив в равенстве (8) t 2 ìèí 30 1 2 v v 20 30 5 90 1 30 (8) 3 8 32 2 20 20 1,28 км/ч. 125 25 5 Ответ: через 2 минуты после выключения двигателя скорость катера будет 1,28 км/ч. 17