Под числом понимают его величину, а не его символьную запись. цифрами

Теоретические положения
Число – фундаментальное понятие, как математики, так и информатики.
Под числом понимают его величину, а не его символьную запись.
Символы, при помощи которых записывается число, называются цифрами.
Под системой счисления принято называть совокупность приемов обозначения (записи) чисел.
Позиционный принцип в системе счисления
Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления.
Выбирая за основание системы счисления любое натуральное число k, то есть считая, что k единиц любого разряда
образует одну единицу соседнего более крупного разряда, придем к так называемой k-ной системе счисления.
Если требуется указать основание системы счисления, к которой относится число, то оно приписывается нижним
индексом к этому числу. Например, 100102, 37628.
Если k<10, то используют k первых арабских цифр. Если k>=10, то к десяти арабским цифрам добавляют буквы. Для 16ричной системы счисления:
—
A16
1110
—
B16
1210
—
C16
1310
—
D16
1410
—
E16
1510
—
F16
1010
Базис системы счисления — это последовательность ключевых чисел, каждое из которых задает значение цифры в ее
позиции или «вес» каждого разряда.
Базис двоичной системы счисления: 1, 2, 4, 8, 16, ..., 2n, ...
Базис восьмеричной системы счисления: 1, 8, 64, 512, ..., 8n, ...
Или в общем виде: q0=1, q1=q, q2=q2, q3=q3, ..., qn=qn, ..., где qN и q1. Число q называют основанием системы счисления.
Каждое число в любой из таких систем может быть записано в цифровой и многочленной форме:
Цифровая форма: Aq=(anan-1an-2...a2a1a0)q, где ai – цифра в диапазоне от 0 до q-1.
Многочленная форма: Aq=anqn+an-1 qn-1+an-2qn-2+...+a2 q2+a1q1+a0, где q – базис системы счисления.
Связь между системами счисления.
Перевод десятичных чисел в другие системы счисления.
Перевод целых чисел
1. Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия
производить в десятичной системе счисления.
2. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на основание новой системы
счисления до тех пор, пока не получим неполное частное, меньшее делителя.
3. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом
новой системы счисления.
4. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного.
Примеры:
278108
278
24
27810 = 4268
8
34
8
38
32
4
32
2
6
27810 = 1000101102
27810 = 11616
1
Перевод дробных чисел
1.
Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия
производить в десятичной системе счисления.
2.
Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы
счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая
точность представления числа в новой системе счисления.
3.
Полученные целые числа произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в
соответствие с алфавитом новой системы счисления.
4.
Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.
Примеры:
0,37510 = 0,0112
0,37510 = 0,38
0,37510 = 0,616
0,375*2 = 0,75
0,375*8 = 3,0
0,375*16 = 6,0
0,75*2 = 1,5
0,5 = 1,0
Перевод смешанных чисел
Такой перевод осуществляется в два этапа. Целая и дробная части исходного числа переводятся отдельно по
соответствующим алгоритмам. В итоговой записи числа в новой системе счисления целая часть отделяется от дробной запятой
(точкой).
Примеры:
278,37510 = 426,38 = 116,616
Перевод чисел из других систем счисления в десятичную
Такой перевод осуществляется записью числа в старой системе счисления в виде многочлена, полученная сумму и будет
это число в десятичной системе счисления.
Примеры:
43916 = 4*162+3*161+9*160 = 108110
10111012 = 1*26+0*25+1*24+1*23+1*22+0*2+1 = 9310
0,11012 = 1*2-1+1*2-2+0*2-3+1*2-4 = 0,812510
0,458 = 4*8-1+4*8-2 = 0,57812510
439,F0316 =4*162+3*161+9*160 +15*16-1+0*16-2+3*16-3 = 0,938232410
2
Взаимосвязь между системами счисления
с основаниями «2», «8» и «16»
Для записи целого двоичного числа в системе с основанием q=2n (4, 8, 16 и т.д.) достаточно данное двоичное число
разбить на грани справа налево (т.е. от младших разрядов к старшим) по n цифр в каждой грани. Если в последней левой группе
окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов. Затем каждую грань следует
рассматривать как n-разрядное двоичное число и записать его как цифру в системе с основанием q=2n.
«10»
«2»
«8»
«16»
0
0
0
0
1
1
1
1
2
10
2
2
3
11
3
3
4
100
4
4
5
101
5
5
6
110
6
6
7
111
7
7
8
1000
10
8
9
1001
11
9
10
1010
12
A
11
1011
13
B
12
1100
14
C
13
1101
15
D
14
1110
16
E
15
1111
17
F
16
10000
20
10
10111101100011128
101111011000111216
101
111
101
000
1112
0101
1110
1100
01112
5
7
3
0
78
5
E
C
716
Для замены целого числа, записанного в системе счисления с основанием p=2n, равным ему числом в двоичной системе
счисления, достаточно каждую цифру данного числа заменить n-разрядным двоичным числом.
35478A162
601282
3
5
4
7
8
A16
6
0
1
28
0011
0101
0100
0111
1000
10102
110
000
001
0102
Для перевода правильных двоичных дробей в систему счисления с основанием q=2n необходимо данную дробь разбить на
грани слева направо от запятой по n цифр в каждой. Если в последней правой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо
дополнить справа нулями до нужного числа разрядов. Затем каждую грань следует рассматривать как n-разрядное двоичное число и
записать его как цифру в системе счисления с основанием q=2n.
0,11011100128
0,110111001216
0,
110
111
0012
0,
1101
1100
10002
0,
6
7
18
0,
D
C
816
Для замены правильной дроби, записанной в системе счисления с основанием p=2n, равной ей дробью в двоичной системе
счисления достаточно каждую цифру данной дроби заменить n-разрядным двоичным числом.
0,A31162
0,70482
0,
A
3
116
0,
7
0
48
0,
1010
0011
00012
0,
111
000
1002
3
Расчетные примеры
№
Восьмеричная система
счисления
Двоичная система счисления
Шестнадцатеричная система
счисления
1.
764,26
= 111110100,01011
= 1F4,58
2.
532,47
= 101011010,100111
= 15A,9C
3.
374,062
= 11111100,00011001
= FC,19
Арифметика в позиционных системах счисления
Любая позиционная система счисления определяется основанием системы, алфавитом и правилами выполнения
арифметических операций. В основе правил арифметики лежат таблица сложения и умножения однозначных чисел. Например,
таблицы сложения и умножения в пятеричной системе счисления выглядят так:
+
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
10
Вычислить 342+23.
2
2
3
4
10
11
3
3
4
10
11
12
4
4
10
11
12
13
*
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
4
11
13
3
3
11
14
22
4
4
13
22
31
3
4 2
2 3
4 2 0
Рассуждения: 2+3 равно 10 по таблице сложения, 0 пишем 1 в уме. 4+2 равно 11, да еще 1 получится 12, 2 пишем, 1 в уме.
3+1 равно 4 по таблице. Получится 420.
Вычислить 213*3.
2 1 3
*
3
1 1 4 4
+
Рассуждения: 3*3 равно14 ( по таблице), 4 пишем 1 в уме. 1*3 равно 3, да +1, равно 4. 2*3 равно 11 ( по таблице), 1 пишем,
1 переносим влево. Получим 1144.
Двоичная система счисления
Арифметика двоичной системы счисления, как и всякой другой позиционной системы, основывается на использовании
таблиц сложения и умножения цифр.
+
0
1
*
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
10
1
0
1
+101110
+101111,001
*1101
1101
10101,110
11
1110111
1000100,111
1101
11010
100111
Расчетные примеры
1.
110111,1101+11101,1011=1010101,1
2.
110111,1101-11101,1011=11010,001
14.
AC7,3-4B8,4=60E,F
15.
999,9-FF,1=89A,8
4