симметрия в алгебре

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА НА
ТЕМУ:
«СИММЕТРИЯ В АЛГЕБРЕ»
Выполнил:
Ученик 10 класса «м»
Н.Д.Баженов
Ижевск, 2009
ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЫ:
•Исследовать
и доказать, что симметрия
является одним из способов решения задач
не только в геометрии, но и в алгебре.
•Доказать что симметрия в алгебре является
одним из самых рациональных способов для
решения некоторых видов уравнений, систем.
Не все уравнения можно так легко решать с помощью метода
исключения неизвестных:
Выражая одну из переменных, а после подставляя ее, у нас
получится сложное иррациональное выражение, которое
введет нас в заблуждение. Поэтому для решения подобных
систем необходим метод на основе симметрических
многочленов. Этот метод основан с помощью Симметрических
многочленов «x + y» и «xy», они являются самыми простыми.
Их называют элементарными симметрическими
многочленами от «x» и «y».
= x + y; = xy.
Кроме
и
нам часто будут встречаться так называемые
степенные суммы, т. е. многочлены
Принято обозначать многочлен. Таким образом
ВЫРАЖЕНИЕ СТЕПЕННЫХ СУММ
…….
………………………………………………………..
РЕШЕНИЕ ПРИМЕРОВ ПРИ ПОМОЩИ
СИММЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ
Итак попробуем решить такую систему :
Решая эту систему методом выражения одной переменной, мы усложним
себе задачу, приведя систему к иррациональному уравнению, с которым
могут быть проблемы. Самый рациональный способ решить этот пример-это
метод симметрических многочленов. При помощи этого метода мы
приведем систему к:
Находя из второго уравнения значение
и подставляя его в первое
уравнение, мы получаем следующее уравнение относительно не известного
.
Мы получаем:
уравнение которое мы можем
спокойно ре шить по теореме Безу, либо формулой решения уравнения
третьей степени.
ОТСЮДА СЛЕДУЕТ, ЧТО ЭТО САМЫЙ РАЦИОНАЛЬНЫЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ.
ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Возвратным уравнением называют уравнения, в которых коэффициенты
равноудалены от середины, совпадают. Например:
Подобно обычным уравнения возвратные уравнения можно решить с
помощью симметрических многочленов. В этом случае
- это
один многочлен,
- это второй многочлен.
…….
……………………………………………….
Замены на симметрические многочлены позволяют нам решать
возвратные уравнения. Например:
В результате замены возвратное уравнение преобразовалось
в обычное уравнение пятой степени, которое можно решить с
помощью схемы Горнера.
И опять же метод симметрических многочленов является
самым рациональным методом для решения подобного типа
задач.
УРАВНЕНИЯ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
В алгебре существуют системы не только с двумя
неизвестными, но и с тремя. К примеру
Это уравнение имеет три неизвестных,
его можно решить. Если внимательно присмотреться то мы
заметим, что эти многочлены- симметрические. Условия для
таких многочленов:
Симметричны и степенные суммы, т.е. многочлены
Наиболее простыми симметрическими много членами
являются:
Проверим правильность формулы
(с
помощью которой мы можем вывести степенную сумму) мы
просто подставим значения вместо обозначений. Из этого
следует :
Благодаря этой формуле мы можем вывести степенные суммы.
……
………………………………
Также симметрия используется для доказательств тождеств:
В целом ряде задач на доказательство тождеств также с успехом могут быть
применены элементарные симметрические многочлены. Рассмотрим
пример:
Доказать, что если «Х+Y+Z=0», то :
Но так как «Х+Y+Z=0», следует что:
Тождество доказано.
И в этом случае симметрические многочлены –самый рациональный способ
для решения и доказательства подобных тождеств.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИММЕТРИИ И
АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
В задачах которые мы рассмотрим ниже обязательно фигурирует
аналитическое выражение, геометрический образ которого имеет или ось
симметрии, или плоскость симметрии. Во всех задачах в той или иной
форме присутствует требование единственности решения. Если
описываемые аналитические выражения конструируют уравнения и
координаты точки М являются его решением, то обязательно найдется еще
одна точка N, симметричная точке М, координаты которой так же будут
являться решением. Следовательно, для выполнения требования
единственности решения необходимо, чтобы точки М и N совпадали, т.е. М
лежало на оси симметрии. Высказанные соображения и составляют
основу одного из приемов поиска необходимых условий, о котором будет
идти речь в настоящем
Решение задач
При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение?
Легко заметить, что если ( ; )— решение системы, то ( ; ) также является ее
решением. Поэтому условие = 0 — необходимое для существования единственного
решения. Важно понимать, что оно не является достаточным: наша система может
иметь несколько решений вида (0 ;
) и, более того, вообще не иметь решений.
Положим х = 0. Тогда :
Отсюда а = 0 или а = 2. Итак, искомые значения параметра следует выбирать в
множестве {0:2}. При а = 0 получаем :
откуда получается
Эта система имеет три решения (1 ; 0), (- 1 ; 0), (0 ; - 1). Следовательно, значение а = 0
придется исключить . При а=2 получается:
Тогда из первого уравнения имеем у 1(т.к.
). В то же время второе
уравнение позволяет сделать вывод, что у
1. Следовательно, у = 1, а значит, x=0.
Проверка показывает, что пара (0 ; 1) — решение, а в силу ограничения для
переменной у(у > 1 и у < 1) оно единственное.
Рассмотрим еще один пример использования симметрии и
аналитическихвыраженийю
При каких а система имеет единственное решение?
После раскрытия скобок:
Теперь становится очевидным, что х = О — необходимое условие
единственности решения системы. Если x= 0, то получаем
Это неравенство имеет единственное решение, если дискриминант
соответственного квадратного трехчлена равен нулю, т.е. 9-4а=0
ЛИНЕЙНЫЙ УРАВНЕНИЯ, МЕТОД
СИММЕТРИЗАЦИИ
Способ, позволяющий приводить уравнение четвертой степени к
трехчленному виду,- симметризация.
Решить уравнение:
Введем новую переменную
тогда
После замены получилось :
После ряда действий на
упрощение и раскрытия скобок,
а после нахождения корней
У нас получилось:
следует : x=9; x=2
ВЫВОД
Итак, исследовав симметрию в алгебре можно прийти к
выводу:
 Симметрические многочлены очень часто встречаются, и не
только в системах, но и в обычных линейных уравнениях, в
тождествах. Сфера применения симметрических
многочленов очень велика.
 Метод симметрических многочленов является одним из
самых рациональных методов, с помощью которого можно
легко ,без затруднений, выполнить поставленное задание.
 Одни из самых сложных уравнений и систем, с
параметром, решаются при помощи симметрии.