Гильбертов куб однороден Дубна, 24 июля 2015 П. В. Семенов,

Гильбертов куб
однороден
П. В. Семенов,
.
Дубна, 24 июля 2015
ОГК -1

Q = Множество всех последовательностей чисел из
отрезка [0; 1]. Расстояние:
d (( x1 , x2 , x3 ,...); (y1 , y 2 , y3 ,...))  x1  y1 
x2  y2
2

x3  y3
4
 ...  2

Множество всех последовательностей чисел из (0; 1) –
псевдовнутренность P гильбертова куба Q, остальные
точки (=объединение граней) образуют псевдограницу,
которая плотна в Q.

Теорема (была) Q – выпуклый бесконечномерный
компакт, содержащий в себе гомеоморфные копии всех
метрических компактов.
Теорема (будет) Q – топологически однороден, т.е.
для любых двух его точек есть гомеоморфизм Q на
себя, переводящий одну точку в другую.

ОГК -2

Теорема 1. Для любых двух точек из
псевдовнутренности Р есть гомеоморфизм Q на
себя, переводящий одну точку в другую.
( x1, x2 , x3 ,...)  (y1, y2 , y3 ,...)
h : Q  Q,
h(t1, t 2 , t 3 ,...)  (h1(t1 ), h 2 (t 2 ), h 3 (t 3 ),...)
ОГК -3

Теорема 2. Для любой точки из псевдограницы есть
гомеоморфизм Q на себя, переводящий эту точку в
некоторую точку псевдовнутренности.
A  Q\ P, h : Q  Q,






h(A)  P
«вершину» (1,1,1,….) - во «внутреннюю» точку (1/2,1/2,1/2,..)
«Квадратное
вращение»
Остальные
координаты
не изменяются
ОГК -4
Будем поочередно делать квадратные
вращения R12 , R23 , R34 ,..... и
посмотрим на результат композиции
Rn  Rn 1,n ... R34 R23 R12
R23
R12
(1,1,1,...) 
(1 / 2,1,1,1...) 
R23
R34

(1 / 2,1 / 2,1,1,1...) 
...
n 1, n

(1 / 2,...,1 / 2,1,1,1...)
R
Ответ??
h  limn Rn
Чтобы брать предел последовательности отображений нужна
метрика во множестве отображений
ОГК -5
непр
Пусть
f , g : Q 
Q .
Тогда D( f , g )  max{d(f(A),g(A)) : A  Q}
будет метрикой во множестве С(Q,Q) непрерывных
отображений куба в себя, так как d – метрика в самом кубе Q.
Факт. (С(Q,Q);D) – полное метрическое пространство.
Проверим, что R1 , R2 , R3 ,... фундаментальна, для чего оценим
расстояние d( Rn k (A), Rn ( A))  d ( Rn k 1,n k ... Rn ,n 1 Rn ( A), Rn ( A))  ?
Композиция Rn  k 1,n  k ... Rn ,n 1 «задевает» координаты только с
n-ой до (n+k)-ой, т.е. меняет d не более чем на
1
1
1
1
 n 1  ...  n k  n 1
n
2 2
2
2
Значит, h  limn Rn действительно существует, непрерывно,
сюръективно (??) и h : (1,1,1....)
(1 / 2,1 / 2,1 / 2,....)
ОГК -6
К сожалению, h  limn Rn - не иньекция!!
(x, x, x,...) (1 / 2, x, x, x...) 
R23
R12
(1 / 2,1 / 2, x, x, x...) ...(1 / 2,1 / 2,1 / 2,...)
R23
R34
Открытый вопрос: можно ли так побрать различные
послойные скорости «квадратного вращения», чтобы всё
получилось?
??Придумать такое (одно) «квадратное вращение» R '
чтобыRn '  Rn 1,n ' ... R34 ' R23 ' R12 ' сходились к гомеом-му
??? Можно ли задать итог формулой
Попытка ответа есть, но не слишком ясная.
ОГК -7
ОГК -8
Общий вопрос. Какими должны быть автогомеоморфизмы
автогомеом
h1 , h 2 , h 3 ,..... : Q 

Q
чтобы предел
limn (h n h n1 ... h 2 h1 )
существовал и был также автогомеоморфизмом?
Вообще-то Auth(Q;Q) –
НЕ замкнуто в C(Q;Q)
ОГК 9
Критерий сжимаемости Бинга.
№1
H1 , H 2 , H 3 ,.....  разные множества
Пусть
Hn
автогомеоморфизмов Q и для любых   0, n 
в
есть элемент   близкий к id(entity). Тогда можно выбрать
так, чтобы
h  H , h  H , h  H ,.....
1
1
2
2
3
3
h  limn (h n h n1 ... h 2 h1 )  Auth(Q;Q)
и, более того, h можно считать сколь угодно близким к id
n 
id  [ H n ]   h1  H1, h 2  H 2 .... : limn (h n ... h1 )  Auth(Q;Q)
ОГК -10
Критерий сжимаемости Бинга.
№2
D(h n1;id) 
Пусть h1 , h 2 ,...  Auth(Q;Q) такие, что
1
min{dist(h i ... h1 , G1/i (Q;Q)) : 1  i  n}
(1)  n ; (2)
2
Тогда

h  limn (h n h n1
3n
... h 2 h1 )  Auth(Q;Q)
ОГК-11





Основная лемма. Пусть A(x1, x 2 ,...)  Q\ P, m  ,   0
Тогда существует h  Auth(Q) :
1) D(h;id)  
2) 0  h( A)m  1
3) координаты с 1-й по (m-1)-ю не
меняются, т.е.
h(y1, y2 ,...)i  yi , для любых B(y1 , y2 ,...)  Q, 1  i  m


При фиксированном m все такие h  Auth(Q)
по всем   0 образуют множество H m
и останется применить критерий Бинга №1
ОГК-12





Если 0  xm  1 , то делать не надо ничего: h  id
Пусть xm  1 ( xm  0 аналогично) . Тогда 1  
и см.
2n 4
рис.
Остальные
координаты
не меняются
ОГК-13


Условия (2) и (3) очевидно верны.
Проверим (1) D(h;id)   , т.е.
d(h(B); B)   ,




B( y1, y2 ,...)  Q
По построению надо оценить
изменения только по m-й и n-й
координатам
h ( B ) m  ym
h ( B ) n  yn
d(h(B); B) 

m 1
2
2n 1
1
1
 n 1  n 1
2
2

1
2
n 2



Спасибо за внимание.
Семенов Павел Владимирович, [email protected]