Двунаправленная модель со случайными эффектами

ЛЕКЦИЯ 4
МОДЕЛИ СО
СЛУЧАЙНЫМИ
ЭФФЕКТАМИ
Модели со случайными
эффектами
1.
2.
Однонаправленная модель со
случайными эффектами.
Двунаправленная модель со
случайными эффектами
Двунаправленная модель со случайными
эффектами. Постановка.
В модели предполагается, что 1) ошибка содержит
индивидуальные, временные эффекты и
идиосинкратическую компоненту и 2) индивидуальные и
временные эффекты являются случайными
переменными, поэтому они остаются в ошибке.
uit  i  t  it
yit  xitT   i  t  it
Пусть  i ~ 0,  2  и t ~ 0,  2  независимые одинаково
распределенные величины и  it~ 0,  2  независимые
одинаково распределенные величины. Все компоненты
ошибки не зависят друг от друга и от регрессоров.
Предполагаем, что константа содержится в X.
Двунаправленная модель со случайными
эффектами. Постановка.
Ковариационная матрица ошибки Ω.
Varuit   Var(i  t  it )   2   2  2
Cov(uit , uis )  Cov(i  t  it , i  s  is )   2
Cov(uit , u js )  Cov( i  t  it ,  j  s   js )  0
Cov(uit , u jt )  Cov(i  t  it ,  j  t   jt )   
2
Двунаправленная модель со
случайными эффектами. Оценка.
Спектральное разложение
  2 I nT   2 I n  JT   2 J n  IT  2Q  1Q1  2Q2  3Q3
Q  I nT
1
1
1
 I n  J T  J n  IT 
J nT
T
n
nT
1  1

Q1   I n  J n   J T
n  T

1
1 

Q2  J n   I T  J T 
n
T 

1   2  T 2
2   2  n 2
1
Q3 
J nT
nT
3  2  T 2  n 2
Двунаправленная модель со случайными
эффектами. Оценка.
Матрицы Q, Q1, Q2, Q3 – ортогональны
    Q  Q1  1Q2   2Q3
1
2


2
1 
   T 
2
2
 2
 2  n 2
1 1


2  2
    1
2
2
   T   n    1 
2
1
Двунаправленная модель со
случайными эффектами. Оценка.
Оценка обобщенного МНК
ˆGLS  ( X T 1 X )1 X T 1 y  ( X T21 X )1 X T21 y
ˆGLS  ( X T Q  Q1  1Q2  2Q3 X )1 X T Q  Q1  1Q2  2Q3 y
ˆ
GLS
 X QX  X Q1 X  1 X Q2 X   2 X Q3 X




T
T
T
T
* X T Qy  X T Q1 y  1 X T Q2 y   2 X T Q3 y
Преобразование в модели осуществляется с помощью
матриц Q, Q1, Q2 и Q3
1
*
Двунаправленная модель со случайными
эффектами. Оценка.
Преобразование означает модификацию
исходных регрессионных уравнений:

 
 

 x  1   x  1   x  1       x   
   1     1     1       
yit  1   yi  1  1 yt  1    1   2 y 
T
it
it
i
i
1
1
t
t
1
1
2
2
Оценка совпадает с оценкой простого МНК
на преобразованных данных.
Двунаправленная модель со
случайными эффектами. Оценка.
Чтобы перейти к доступной оценке обобщенного МНК
необходимо получить состоятельные оценки  2 ,  2 и  2 ,
а на их основе θ, θ1 и θ2.
1. Вариант оценивания.
С помощью within-регрессии
ˆ2 
RSS W ithin
nT  n  T  k  1
С помощью Between-individuals регрессии
1 T
   t
T t 1
yi  x   i    
T
i
ˆ 2 
ˆ2
T

1 RSS Between

T
nk
Двунаправленная модель со случайными
эффектами. Оценка.
Between-periods регрессия
yt  x     t  t
T
i
N
1
   i
n i 1
ˆ2
1 RSS Between periods
ˆ  
 
n n
T k
2
Between-periods регрессия требует достаточно
большого T.
Двунаправленная модель со случайными
эффектами. Оценка.
Объединяя полученные оценки получаем:
ˆ 
ˆ2
RSS W ithin
nk


2
2
ˆ  Tˆ  nT  n  k  T  1 RSS Betweenindividuals
ˆ1 
ˆ2
ˆ2  nˆ 2
ˆ2 

RSS W ithin
T k

nT  n  k  T  1 RSS Between periods
1 1

ˆ

    1
2
2
2
ˆ  Tˆ   nˆ   ˆ ˆ1 
2
1
Двунаправленная модель со
случайными эффектами. Оценка.
2. Вариант оценивания, с использованием OLS-оценки
n T
1
2
ˆ
ˆ   ˆ   ˆ 
u
 it
nT  k i 1 t 1
2
2
2
ˆ 2
ˆ2
ˆ 2
ˆ

1 n 1 T
2
ˆ
ˆ
 


  uit 

T
T
n  k i1  T t 1 
ˆ 2 
2
1

1
ˆ


  uit 

n
n T  k t 1  n i1 
2
T
n
2
Система включает три неизвестных и три уравнения
û it
Двунаправленная модель со
случайными эффектами. Оценка.
Доступная оценка обобщенного МНК:

ˆFGLS  X QX  ˆX Q1 X  ˆ1 X Q2 X  ˆ2 X Q3 X

T
T
T
T
T
T
T
ˆ
ˆ
ˆ
* X Qy  X Q1 y  1 X Q2 y   2 X Q3 y
T

1

*
Двунаправленная модель со случайными
эффектами. Тестирование.
Тестирование на индивидуальные эффекты
H a :  2  0
H 0 :  2  0
1. Точный подход:  i ~ N 0,  2  и  it ~
Отсюда следует:
F
RSS W itnin
 2

N 0,  2

2
RSS Betweenindividuals  2
~nT
 n T  k 1 и
~ nk
2
2
   T 
RSS Between n  k 
RSS W ithin nT  n  T  k  1
~ Fn  k ,nT  n T  k 1
2. Асимптотический подход:
nT  uˆ I n  J T uˆ 
2
1 

LM  



1
H0

2(T  1) 
uˆ T uˆ

T
2
Двунаправленная модель со случайными
эффектами. Тестирование.
Тестирование на временные эффекты
H 0 :  2  0
1. Точный подход
RSS W itnin
 2
t ~
2
~  nT
 n T  k 1
RSS Between periods T  k 

H a :  2  0


N 0,  2 и  it ~ N 0,  2
RSS Between periods
 2  n 2
2

~ T k
F
~
T  k ,nT  n T  k 1
RSSW ithin nT  n  T  k  1
2. Асимптотический подход
2
T
nT  uˆ  J n  I T uˆ 
1 
   2
LM 
F

2(n  1) 
uˆ T uˆ


H0
1

Двунаправленная модель со случайными
эффектами. Тестирование.
Тестирование на индивидуальные и временные эффекты
H 0 :  2   2  0
1. Точный подход t ~ N 0,  2 ,  i ~N 0, 2  и  it ~ N 0,  2 
F
( RSS Betweenindividuals  RSS Between periods ) n  T  2k 
RSS W ithin nT  n  T  k  1
~ FnT 2 k ,nT nT k 1
2. Асимптотический подход
2
LM  LM   LM  

2
H0
Фиксированные или случайные эффекты?
Общая рекомендация:
Если выводы касаются только объектов,
представленных в выборке, то лучше
пользоваться моделью с фиксированными
эффектами.
Если выборка рассматривается как часть, и
результаты исследования будут
распространяться на более широкий круг
объектов, тогда лучше применять модель со
случайными эффектами.
Фиксированные или случайные эффекты?
Статистический тест.
Выбор делается между методами оценивания: GLS-оценкой
и within-оценкой.
При GLS-оценивании делается предположение, что ошибка
µi не коррелирует с регрессорами xit. Если это
предположение не выполняется, то GLS-оценка является
несостоятельной.
При этом состоятельность within-оценки не требует такого
предположения, оценки модели с фиксированными
эффектами с помощью within-метода будут
состоятельными, если µi коррелирует с xit.
Фиксированные или случайные эффекты?
Отсутствие корреляции между ошибками и регрессорами
определяется тем, насколько правильно специфицирована
панельная регрессия.
Регрессионная функция должна быть действительно линейной и
содержать все значимые регрессоры.
Остаточная неоднородность, заложенная в индивидуальных
эффектах, должна быть действительно случайной и не должна
быть связана с характеристиками объекта, находящимися в
регрессорах.
Таким образом, речь фактически идёт о тестировании
спецификации модели, следовательно, можно воспользоваться
тестом на спецификацию Хаусмана.
Фиксированные или случайные эффекты?
Выбор между случайными и фиксированными эффектами сводится к
проверке, есть ли корреляция между компонентой ошибки,
включающей индивидуальные и/или временные эффекты и
регрессорами.
Более жёсткой гипотезой является нескоррелированность полных
ошибок с регрессорами, поэтому в качестве нулевой гипотезы
рассматривается:
H 0 : E[ui xi ]  0
В этом случае можно пользоваться GLS-оценкой.
Альтернативной гипотезой является:
H A : E[ui xi ]  0
Within-оценка является состоятельной, как при H0, так и при HA,
Фиксированные или случайные эффекты?
При H0 GLS-оценка и Within-оценка сходятся, при HA этого не
происходит из-за несостоятельности GLS-оценки.
P
qˆ  ˆGSL  ˆWithin 

0
qˆ  ˆGSL  ˆWithin 
   0
При HA :
Статистика Хаусмана :
P




T
1
1
d
  qˆ T Var(qˆ ) qˆ  ˆGLS  ˆWithin Var(ˆWithin)  Var(ˆGLS ) ˆGLS  ˆWithin 




T
1
1
  ˆGLS  ˆW ithin X T QX  X T QQX X T QX   ( X T 1 X ) 1
k – размерность вектора β.
 ˆ
1
GLS

d
 ˆW ithin 


Фиксированные или случайные эффекты?
 k2
1
Если
q
то спецификация модели со случайными эффектами не
может быть принята и следует работать с моделью с
фиксированными эффектами.
Если
  q1
то спецификацию модели со случайными эффектами можно
принять.
Так как тестируется спецификация модели в целом, то
модель может быть улучшена путем включения
дополнительных объясняющих переменных или
использования нелинейных форм зависимости
2
k