С целью построения макроэкономической производственной

С целью построения макроэкономической производственной функции были использованы
статистические данные за 1992-2013 гг.: Y – номинальный ВВП (GDP, current US$), K - основной
капитал (Gross capital formation, current US$), L - численность трудоспособного населения (% of total
population ages 15-64).
(а) В результате регрессионного анализа оценены модели (А)-(В):
ln Y  0,085  0,23  ln K  0,79  ln L
R 2  0,893 n  22
(А)
0,66
0,13
(S )
(4,17)
RSS  0,0117
ln(Y / L)  0,784  0,34  ln( K / L)
R 2  0,619 n  22
(В)
0,060
(S )
(0,044)
RSS  0,0144
Оцените статистическое качество и адекватность модели (А). Подробно объясните, как можно
обосновать переход от модели (А) к модели (В) (какие предположения должны были быть для этого
сформулированы)? Насколько это целесообразно на ваш взгляд (выполняются ли предположения и
какие результаты получены в результате перехода)?
Проверка гипотезы о статистической значимости коэффициентов регрессии и коэффициента детерминации:
H 0 : i  0

b
 0,085
T0  0 
 0,02
S b0
4,17


T  b1  0,23  0,35
~ t (0,05;22  2  1)  1,729; t (0,025;22  2  1)  2,093; t (0,005;22  2  1)  2,861
 1 Sb
0,66
1

b2
0,79

T2  S  0,13  6,08
b2

Общий вывод: коэффициент при переменной lnL сильно статистически значим (гипотеза H 1 ), т.е. даже при уровне
значимости α=0,01. Коффициент свободного члена и коэффициент при переменной lnK незначимы (гипотеза H 0 ), даже при
уровне α=0,10. В частности это может свидетельствовать о мультиколлинеарности в модели. В целом, коэффициенты
регрессии 1 ,  2 удовлетворяют ограничениям, накладываемым на параметры производственной функции.
H 0 : R(2A)  0
F
R2 / m
1  R /(n  m  1)
2

0,893 / 2
 79,29  F (0,01;2;19)  5,926
(1  0,893) /(22  2  1)
Общий вывод: коэффициент детерминации сильно статистически значим (гипотеза H 1 ).
Для того, чтобы перейти от модели (А) к модели (В), очевидно, необходимо использовать свойства
логарифмической функции, чтобы преобразовать переменные:
LnY   0  1  ln K   2  ln L  e 
 LnY  ln L   0  1  ln K  ln L   2  ln L  e  LnY L    0  1  ln K   2  1  ln L  e
Переход к переменной вида lnK / L возможен в том случае, если коэффициенты при экзогенных переменных
имеют противоположные знаки, т.е.  2  1  1 или 1   2  1 :
 LnY L   0  1  ln K  1  ln L  e 
 LnY L   0  1  lnK / L  e – уравнение (В) в общем виде, которое получено из уравнения (А) при
выполнении условия 1   2  1 , которое является линейным ограничением.
(b) Проверьте гипотезу 1   2  1 для уравнения (А), приняв cov(b1 ; b2 )  0,08 .
Проверка гипотезы о равенстве линейной комбинации двух коэффициентов регрессии заданному числу:
H 0 : 1   2  1 если cov b2 ; b3   0,08
T
b1  b2  1 0,23  0,79  1

 0,037  H 0
S b1 b2
0,541
S b1 b2  S b1 2  S b2 2  2 cov b1 ; b2   0,66 2  0,13 2  2  0,08  0,2925  0,541
Нулевая гипотеза не отклоняется, следовательно предположение о постоянной отдаче от масштаба для
производственной функции является верным. Возможно рассматривать для анализа модель регрессии при данном
линейном ограничении. Учитывая значения параметров, которые можно получить при выполнении H 0 из модели
(В), и сравнив их со значениями коэффициентов в (А), делаем вывод, что действительно в модели (А)
присутствует мультиколлинеарность, оценки параметров в ней смещены, как и дисперсии оценок.
(с) На основании анализа исходных временных рядов данных было выдвинуто предположение об
изменении уровня линии тренда в 2004 г., проверьте соответствующую гипотезу, используя:
ln(Y / L)  0,845  0,231  ln( K / L)
R 2  0,769 n  12
(S )
0,04
(0,029)
RSS  0,00258
ln(Y / L)  0,531  0,684  ln( K / L)
0,182
(S )
(0,143)
R 2  0,637 n  10
RSS  0,0031
Для проверки предположения будем использовать тест Чоу (Chow):
H 0 : RSS ( B )  RSS (3)  RSS ( 4)  между ПФ до и после 2004 г. нет различий
H 0 : RSS ( B )  RSS (3)  RSS ( 4)  есть различия между ПФ
Cоответствующая F-статистика имеет вид:
Fнабл 
Fнабл 
RSS ( В)  (RSS (3)  RSS (4) )/ (m  1) ~ F  ; m  1; n  2m  1
( RSS (3)  RSS ( 4) ) / (n  2m  1)
0,0144  (0,00258  0,0031) / (1  1)  13,82 ~ F  F 0,01; 2; 18  6,013
крит
(0,00258  0,0031) / (22  21  1)
Поскольку Fнабл  Fкрит , то есть основания для отклонения нулевой (основной) гипотезы, т.е. имеются различия
между производственными функциями при разбиении временного интервала, следовательно в 2004 г. Имеется
так называемая «точка разрыва», т.е. линия тренда претерпевала изменения.
Для справки: F 0,10; 2, 18  2,624 F 0,05; 2, 18  3,555
F 0,01; 2, 19  5,926 t 0,10
2
,19
 1,729 t 0,05
2
,19
F 0,01; 2, 18  6,013 F 0,10; 2, 19  2,606 F 0,05; 2, 19  3,522
 2,093 t 0,01
2
,19
 2,861 t 0,10
2
, 20
 1,725 t 0,05
2
, 20
 2,086 t 0,01
2
, 20
 2,845