Document 4880681

КОМПЬЮТЕРНОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
Курс лекций
Составитель: Киселева М.В.
каф. Автоматизированных систем
управления
2008
Лекция 6. Оптимизация
модельного эксперимента
Стратегическое планирование
Элементы теории факторного анализа
Тактическое планирование
Определение объема статистических
испытаний
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
3
Оптимизация модельного
эксперимента
 Оптимизация модельного
эксперимента является важным
очередным этапом общей технологии
разработки и эксплуатации
имитационной модели.
 Она базируется на использовании
методов планирования экспериментов.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
4
Оптимизация модельного
эксперимента
Моделирование на ЭВМ требует затрат труда
и времени исследователя, а также затрат
машинного времени.
Чем больше средств вложено в данное
исследование, тем меньше их остается на
остальное.
Поэтому всегда необходимо иметь план,
позволяющий извлекать из каждого
эксперимента максимально возможное
количество информации при минимальных
затратах.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
5
Оптимизация модельного
эксперимента
Планирование процесса эксплуатации
ИМ не только дает возможность
получить необходимую экономию, но и
обеспечивает формирование некоторой
структурной основы исследований,
позволяющей упростить и упорядочить
проведение анализа результатов
моделирования.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
6
Разделяют стратегическое и
тактическое планирование.
Стратегическое планирование –
планирование совокупности
экспериментов, различающихся по
исходным данным, в ходе которых
должна быть получена вся необходимая
информация о системе, т.е. определены
все интересующие исследователя
свойства.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
7
Тактическое планирование
обеспечивает оптимизацию
статистических испытаний в смысле
минимизации их объема при
выполнении заданных требований к
точности и достоверности для
фиксированных исходных данных (в
одной точке стратегического плана).
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
8
Можно заключить следующее:
стратегическое планирование есть
оптимизация проведения
экспериментов «в большом», а
 тактическое планирование есть
оптимизация процесса моделирования
«в малом» для каждой точки фазового
пространства исходных данных,
определяющих облик исследуемой
системы и характеристики внешней
среды.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
9
Стратегическое планирование
модельного эксперимента.
Элементы теории факторного
анализа
Теория планирования экспериментов исходит
из абстрактной схемы сложной системы,
называемой «черным ящиком»
Считается, что исследователь может
наблюдать входы и выходы «черного ящика»
(имитационной модели) и по результатам
наблюдений определять зависимость между
входами и выходами.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
10
Абстрактная схема системы
x1
x2
y
.
.
.
xk
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
11
Элементы теории факторного
анализа (1)
Эксперимент на имитационной модели
будем рассматривать состоящим из
наблюдений, а каждое наблюдение –
из прогонов модели.
Входные переменные х1, х2, ..., хk
называются факторами.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
12
Элементы теории факторного
анализа (2)
Выходная переменная у называется
наблюдаемой переменной (реакцией,
откликом).
Фактор является экзогенной или
управляемой (входной) переменной, а
реакция – эндогенной (выходной)
переменной.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
13
Элементы теории факторного
анализа (3)
Каждый фактор xi, i  1, k
имеет уровни.
Уровни – это значения, которые
устанавливаются для каждого фактора
при определении условий прогона
модели в наблюдении.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
14
Элементы теории факторного
анализа (4)
Факторы бывают контролируемые, т.е.
задаваемые разработчиком, и
наблюдаемые, независящие от воли
разработчика.
Каждому фиксированному набору
уровней соответствует определенная
точка в многомерном (k-мерном)
пространстве, называемом факторным
пространством.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
15
(5)
Целью эксперимента является нахождение
функции y, при этом предполагается, что
значение отклика складывается из двух
составляющих:
y = f (x1, x2, …, xk) + e (x1, x2, …, xk),
где
f (x1, x2, …, xk) – функция отклика
(неслучайная функция факторов);
e (x1, x2, …, xk) – ошибка эксперимента
(случайная величина);
x1, x2, …, xk – определённое сочетание
уровней факторов из факторного
пространства.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
16
(6)
Эксперимент, в котором реализуются все
возможные сочетания уровней факторов,
называется полным факторным
экспериментом (ПФЭ).
Общее число различных сочетаний уровней в
ПФЭ для т факторов можно вычислить по
формуле:
N = q1  q2  q3… qk,
где qi – число уровней i-го фактора.
Если число уровней для всех факторов
одинаково, то N = qk.
Каждому сочетанию уровней факторов
соответствует одно наблюдение.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
17
(7)
Недостаток ПФЭ – большие затраты на
подготовку и проведение, так как с
увеличением числа факторов и их уровней
число наблюдений в эксперименте растет.
Например, если имеется 6 факторов с 2
уровнями каждый, то даже при одном прогоне
модели в каждом наблюдении нужно
N = 26 = 64 наблюдения.
Очевидно, что каждый прогон удваивает это
число, следовательно, увеличивает затраты
машинного времени.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
18
(8)
На практике бывает необходимо
исследовать влияние на наблюдаемую
переменную, например, 10 факторов
(k = 10), каждый из которых имеет 4
уровня (q = 4).
В этом случае n = qk = 410 = 1 048 576.
Такого рода задачи и явились одной из
причин возникновения теории
планирования экспериментов.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
19
(9)
Планирование экспериментов – один из
разделов математической статистики,
изучающий рациональную организацию
измерений, подверженных случайным
ошибкам.
Планом эксперимента называется
совокупность значений факторов, при
которых находятся значения оценок функции
отклика, удовлетворяющих некоторому
критерию оптимальности, например,
точности.
Цель планирования экспериментов –
получение максимума необходимой
информации об исследуемой системе при
минимуме опытов.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
20
Особенности планирования
экспериментов
 В ходе планирования эксперимента должны
быть определены:
1. количество факторов хi, , влияющих на
искомую характеристику, и описание
функциональной зависимости;
2. количество уровней факторов и их значений
для проведения эксперимента;
3. оценить необходимое число реализации и
их порядок в эксперименте.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
21
В общем случае зависимость любого
отклика от факторов y = (x1, …, xk)
достаточно сложна и вид её заранее
неизвестен, тем более что речь идет о
процессах имитации, имеющих
вероятностный характер.
Поэтому в ходе эксперимента пытаются
искать приближенную зависимость
y  ~( x1 ,..., xk )
При поиске подобной зависимости
часто используют её аппроксимацию в
виде полинома.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
22
Методы регрессионного анализа
(1)
 Регрессией случайной величины Y на X в широком
смысле называется некоторая функция, приближённо
представляющая статистическую зависимость
Y = F(X) + (X,Y),
где F(X) является регрессией,
(X,Y) – случайная ошибка такого представления.
 Часто под регрессией случайной величины Y на X в
более узком смысле называют условное
математическое ожидание Y при фиксированном
значении X:

y  M [Y / X  x]  f ( x)
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
23
(2)
Регрессионный анализ – метод,
обеспечивающий подбор функциональной
зависимости заданного вида, при которой
экспериментальные точки ложатся на неё
наилучшим образом в смысле критерия
наименьших квадратов.
Задание вида кривой сводится к
определению класса функций, используемых
для аппроксимации исходных данных
(например, линейные функции или полиномы
третьего порядка);
собственно процедура подбора состоит в
определении параметров (коэффициентов
полиномов) функций выбранного класса.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
24
(3)
Итак, предполагаем, что изучается
влияние k количественных факторов хi на
некоторую реакцию y.
Допустим, что функцию реакции
φ(х1, ..., xk) можно с некоторой степенью
точности представить в виде полинома
степени d от k переменных
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
25
(4)
k
k
k
k
k
~ k ~
~
~
~
y  b0   bi xi    bij xi x j     bijl xi x j xl  ...  b12... k x1 x2 ...xk
i 1
i 1 j i 1
i 1 j i 1l  j 1
где b0, b1,…- искомые коэффициенты
регрессии общим количеством k = Ckk+d.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
26
(5)
Наиболее часто пользуются
полиномами первой и второй степеней.
 Например, полином первой степени,
описывающий функцию отклика при
двух факторах, может иметь вид
y = b0 + b1x1 + b2x2,
или
y =b0 + b1x1 + b2x2 + b12x1 x2,
а полином второго порядка
y = b0 + b1x1 + b2x2 + b12x1 x2 + b11x12 + b22x22.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
27
(6)
Аппроксимация полиномов второго
порядка функции реакции в
однофакторной модели планирования
может быть представлена в виде
y
2
= b0+b1x1+b2x1
Модель второго порядка в k-факторном
эксперименте будет иметь вид:
k
~ k ~
~ 2 k ~
y  b0   bi xi   bii xi   bij xi x j
i 1
i 1
i j
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
28
(7)
На практике часто стремятся к использованию
линейной модели планирования, преобразуя
исходные полиномиальные модели. Например,
модель второго порядка
k
k
k
~
~
y   bi xi   bij xi x j
i 0
i 1 j 1
может быть преобразована к линейному виду
путем введения фиктивных переменных xij = xixj.
k
k
k
~
~
y   bixi   bijxij
i 0
i 1 j 1
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
29
Рассмотрим постановку задачи
стратегического планирования
модельного эксперимента. (1)
Пусть общее количество экспериментов
равно N.
Тогда для решения задачи надо найти
оценки коэффициентов b0, … bk по
результатам наблюдения совокупности
откликов y1, …, yN, считая, что
полученные данные удовлетворяют
системе уравнений:
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
30
(2)
y1 = b0x01 + b1x11 + … + bkxk1 + 1
.
.
.
.
.
…
.
yN = b0x0N + b1x1N + … + bkxkN + N
где xij , i  1, k j  1, N – значения факторов в ходе
экспериментов,
j, j  1, N
– случайные погрешности
определения отклика
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
31
(3)
Введем векторы

b  (b0 ,..., bk )T , y  ( y0 ,..., yN )T
 и матрицу
X  xrs
где r  1, k - номера строк, s  1, N - номера столбцов.
 Матрица ХТ называется матрицей
планирования, а её размерность равна
N  (k' + 1)
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
32
(4)
x11 x21
…
xk1
x12 x22
…
xk2
Х= ………………………
x1N x2N
…
xkN
x01
x02
ХТ= …
x0N
x11
x12
…
x1N
…
…
…
…
,
xk1
xk2
…
xkN
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
xk+11
xk+12
…
xk+1N
….
….
…
….
xk1
xk2
… .
xkN
33
(5)
В результате перехода к векторному
представлению получим матричное
уравнение
вида:


T
T
XX b  Xy , C  XX , Cb  Xy
Решение этого уравнения и соответствующей
системы для компонентов b с учётом того,
что матрица C > 0 (положительно
определена), имеет вид:

1
b  C Xy
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
34
(6)
Значительного упрощения в вычислениях
можно достичь, если строки матрицы Х будут
ортогональны, т.е.
N
x x
j 1
lj rj
 0, l  r , 0  r , l  k
0
 c00
N


2
С  XX T  
...
,
c

x


ii
ij
j 1
0

ckk 

Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
35
(7)
Соответственно при ортогональной матрице
Х коэффициенты регрессии определяются по
формуле:
N
N

2
bi   xij y j /  xij , i  1, k
j 1
j 1
Условие ортогональности имеет понятный
физический смысл: значения факторов в
различных экспериментах должны быть
«некоррелированы», т.е. в условиях
проведения эксперимента они должны быть в
максимальной степени независимы друг от
друга.
36
(8)
Мы получили общее решение задачи. Если
теперь пронормировать факторы:
~
xi  ( xi  xi 0 ) / xi , xi 0  xi min  xi , xi  ( xi max  xi min ) / 2
то условия ортогональности будут выполняться,
если уровни факторов будут взяты
симметрично относительно начала координат
и равны +1 и -1.
Такой план эксперимента называют
ортогональным.
Для такого плана число экспериментов
N = 2 k.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
37
Полный факторный эксперимент
Эксперимент, в котором реализуются
все возможные сочетания уровней
факторов, называется полным
факторным экспериментом (ПФЭ).
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
38
Полный факторный эксперимент
Полный факторный план при двух
уровнях q = 2 называют ещё планом D
и планом – 2k, где N = 2k – число всех
возможных испытаний.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
39
Геометрическая интерпретация
ПФЭ типа 22
k = 2 (факторы), q = 2 (уровни)
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
40
ПФЭ
Так как каждый фактор принимает лишь два
значения
хiн = хi0 – xi и хiв = хi0 + xi
то для стандартизации и упрощения записи
масштабы по осям факторов выбираются так,
чтобы нижний уровень соответствовал -1,
верхний – +1, а основной – нулю. Это легко
достигается с помощью преобразования вида
~
xi  ( xi  xi 0 ) / xi , i  1, k
где ~xi – кодированное значение i-го фактора;
xi – натуральное значение фактора;
xi0 – нулевой уровень;
xi = (xiв – xiн)/2 – интервал варьирования фактора
41
ПФЭ
Пример
Пусть в качестве i-го фактора выступает такая
переменная, как интервал поступления заявок
в систему массового обслуживания, причем
выбраны основной уровень xi0 = 10 мин и
интервал варьирования xi = 2 мин.
Тогда кодированные значения соответственно
будут (8-10)/2 = -1 для нижнего и (12-10)/2 = +1
для верхнего, (10-10)/2 = 0 для основного.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
42
ПФЭ
Матрица планирования (ПФЭ типа 22)
будет иметь вид
№
испытания
1
2
3
4
x0
1
1
1
1
ПФЭ
x1
-1
-1
+1
+1
x1x2(x3)
x2
-1
+1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
Реакция y
y1
y2
y3
y4
Уравнение регрессии будет:
у = b0+b1x1+ b2x2+ b12x1x2
1
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
2
43
ПФЭ 23
Матрица планирования и
геометрическая интерпретация ПФЭ 23
№
испытания
1
2
3
4
5
6
7
8
ПФЭ
x1
-1
-1
-1
-1
+1
+1
+1
+1
x2
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
x3
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
Реакция y
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
y8
44
ПФЭ 23
Уравнение регрессии при этом будет
иметь вид:
у = b0+b1x1+ b2x2+ b3x3+ b12x1x2+ b13x1x3+ b23x2x3+ b123x1x2x3
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
45
Главным недостатком ПФЭ является
быстрый рост числа экспериментов с
увеличением числа k факторов.
Количество испытаний в ПФЭ
значительно превосходит число
определяемых коэффициентов
линейной модели регрессии, т. е. ПФЭ
обладает большой избыточностью
В ряде случаев можно реализовать
матрицу планирования, содержащую
часть полного факторного плана, т.е.
провести дробный факторный
эксперимент.
46
Дробный факторный эксперимент
Очевидно, что полный факторный
эксперимент дает возможность определить
не только коэффициенты регрессии,
соответствующие линейным эффектам, но и
коэффициенты регрессии, соответствующие
всем эффектам взаимодействия.
Эффект взаимодействия двух (или более)
факторов появляется при одновременном
варьировании этих факторов, когда действие
каждого из них на выход зависит от уровня,
на котором находится другой фактор.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
47
Дробный факторный эксперимент
Для этого план эксперимента D
расширяют до матрицы планирования Х
путем добавления соответствующей
«фиктивной переменной»: единичного
столбца x0 и столбцов произведений как
показано, например, в таблице для ПФЭ
типа 22.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
48
Дробный факторный эксперимент
Сущность дробного факторного
эксперимента в этом случае сводится к
сокращению числа членов
аппроксимирующего полинома за счет
смешивания основных факторов с
теми, которые на основании априорных
или интуитивных соображений слабо
влияют на изучаемый процесс.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
49
Дробный факторный эксперимент
Рассмотрим построение планов так
называемого дробного факторного
эксперимента на основе ПФЭ.
Используя матрицу планирования для
ПФЭ 22, можно вычислить
коэффициенты и представить
результаты в виде уравнения
у = b0+b1x1+ b2x2+ b12x1x2
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
50
Дробный факторный эксперимент
Если в выбранных интервалах варьирования
уровня процесс можно описать линейной
моделью, то достаточно определить три
коэффициента: b0, b1 и b2.
Таким образом, остается одна степень
свободы, которую можно использовать для
минимизации числа испытаний.
При линейном приближении b120 векторстолбец x1x2 можно использовать для нового
фактора x3
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
51
ДФЭ
В этом случае раздельных оценок,
которые имели место в ПФЭ типа 23 ,
уже не будет.
При применении плана, полученного
после подстановки x3 = x1x2, нет также
разницы между значениями x0 и x1x2x3,
x1 и x2x3, x2 и x1x3. В результате
происходит смешивание факторов
у = b0+b1x1+ b2x2+ b3x3+ b12x1x2+ b13x1x3+ b23x2x3+ b123x1x2x3 =
= b0+b1x1+ b2x2 + (b3 + b12) x1x2+ b13x12x2+ b23x22x1+ b123x32 =
= (b0 + b123) + (b1 + b23) x1 + (b2 + b13)x2 + (b3 + b12)x3
52
ДФЭ
Таким образом, на данном этапе находятся
вместо искомых оценок смещенные оценки:
b0 b0 + b123 , b1 b1 + b23, b2  b2 + b13,
b3 b3 + b12.
Но этим смещением пренебрегают, считая,
что при постулировании линейной модели все
парные взаимодействия незначительны.
 Таким образом, вместо 8 испытаний в
полном факторном эксперименте типа 23
необходимо провести только 4.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
53
ДФЭ
Правило проведения дробного
факторного эксперимента
формулируется так: для сокращения
числа испытаний новому фактору
присваивается значение вектор-столбца
матрицы, принадлежащего
взаимодействию, которым можно
пренебречь
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
54
ДФЭ
Формирование дробного эксперимента из
4-х испытаний для оценки влияния 3-х
факторов осуществляется на основе
половины ПФЭ 23.
Эта половина называется полурепликой.
Их может быть две. Первая получается,
если приравнять x3 и x1x2, при этом
получается x1x2x3 = 1
Вторая полуреплика получается, если
приравнять (– x1x2) и x3, тогда x1x2x3 = -1.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
55
Формирование дробных планов
№
испытания
1
2
3
4
№
испытания
1
2
3
4
x1
+1
-1
+1
-1
x1
+1
-1
+1
-1
x2
+1
-1
-1
+1
x3 = x1x2
x3
+1
+1
-1
-1
x1x2x3
+1
+1
+1
+1
x2
+1
-1
-1
+1
x3 = –x1x2
x3
-1
-1
+1
+1
x1x2x3
-1
-1
-1
-1
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
56
Таким образом, для выбора условий испытаний
в рамках стратегического планирования
необходимо
1. установить перечень существенных
факторов,
2. выбрать вид аппроксимирующего полинома,
для которого определяется матрица
планирования, реализующая различные
комбинации уровней факторов.
3. с учётом анализа взаимодействий провести
рациональное усечение матрицы с целью
сокращения объема экспериментов.
Полученная совокупность сочетаний уровней
факторов даёт полное представление о том,
каков должен быть стратегический план
эксперимента.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
57
Тактическое планирование
модельного эксперимента
Тактическое планирование сводится к
решению двух типов задач:
 определение начальных условий и их
влияния на достижение установившегося
результата при моделировании;
 снижение погрешности (дисперсии)
получаемых при моделировании оценок
реакции системы при одновременном
сокращении объёма испытаний.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
58
Тактическое планирование
Первая задача возникает вследствие
искусственного характера процесса
функционирования ИМ.
При этом используют три основных подхода:
 увеличение длительности каждого прогона так,
чтобы влияние переходного периода было
заведомо незначительным;
 исключение из рассмотрения начального периода,
т.е. введение этапа специальной предварительной
«раскрутки» процесса имитации случайных
величин и процессов;
 искусственный подбор близких к режимным
начальных условий для каждой реализации.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
59
Определение объема
статистических испытаний
В отличие от первой – вторая задача
тактического планирования может быть
решена строго математически.
Данная задача сводится к определению
гарантированного объема выборки для
получения требуемой точности оценивания
компонентов отклика системы, описывающих
её эффективность.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
60
Оценка непрерывнозначной
величины (1)
Оценка математического ожидания и
дисперсии некоторого компонента реакции
системы
1
~
mx
N
N
x
i 1
i
~
D
1 N
2
(
x

x
)

i
N  1 i 1
где xi – наблюдение случайной величины x в
i-ой реализации процесса испытаний,
N – количество повторяющихся испытаний
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
61
(2)
Мат. ожидание, как правило,
характеризует такие показатели, как
среднее время выполнения системой
своих функций, средний расход
энергоресурсов и т.п.
Дисперсия определяет разброс
показателя относительно среднего
значения, а кроме того, часто выступает
как самостоятельный показатель,
например как показатель точности
наведения ракеты.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
62
(3)
 Для оценок, определяемых формулами,
выполняются соотношения:
~ ]  m ,  2~  M [( m
~  m) 2 ] 
M [m
m
2
N
,
4



~
~
M [ D]  D ,  D2~  M [( D  D) 2 ]  4
N
где m и D – истинные математическое ожидание и
дисперсия случайной величины ;
4 – центральный момент четвертого порядка
случайной величины.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
63
(4)
В ходе модельного эксперимента
определение требуемого объема
испытаний, т.е. конкретного значения N,
проводится на основе метода
доверительных интервалов.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
64
Метод доверительных интервалов
При этом необходимо найти такой объем
выборки, который гарантировал бы
попадание истинных и оцениваемых
значений математического ожидания и/или
дисперсии внутрь некоторых заранее
заданных интервалов с вероятностью
~  m | d ]  1   ,
P[| m
m
~
D

D
P
 d   1   , 0  d  1
 D

где dm и d – величины, устанавливающие
границы интервалов, которые обычно
называют доверительными.
65
Оценка выборочного
математического ожидания (1)
Пусть наблюдения (отклики),
полученный в каждой реализации,
распределены по гауссовскому, или
нормальному, закону.
Тогда при оценке мат. ожидания
~  m | d
|
m
неравенство
m эквивалентно
следующему неравенству:
 dm
N
~
~
~
N / D  (m  m) ~  d m N / D
D
66
(2)
Отсюда следует, что величину
доверительного интервала, можно
определить, используя t-статистику или
распределение Стьюдента c k степенями
свободы
~
~
Можно увидеть, что величина (m  m) N / D
подчиняется распределению Стьюдента с N – 1
степенями свободы.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
67
(3)
Таким образом
~  m) N
 (m
 dm N 
dm N 


P

~
~   2S N 1 
~  1  1  
D
D 

 D 
где SN-1(t) – функция распределения
Стьюдента (t-распределения).
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
68
(4)
Отсюда получаем конечное уравнение, связывающее dm,
dm N
~  tкр ( ) , N 
D
~
t ( ) D
2
кр
d m2
~
D и N:
 
, tкр ( )  S 1  
 2
1
n 1
где величина tкр() – квантиль нормального
распределения вероятностей; вычисляется по
специальным таблицам, исходя из заданного
значения .
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
69
Оценка выборочной дисперсии (1)
~
( D  D) / D  d
Неравенство
можно переписать в виде:
~
D
( N  1)(1  d )  ( N  1)  ( N  1)(1  d ) , 0  d  1
D
~
D
( N  1)
D
Величина
, как уже отмечалось,
подчиняется 2 – распределение c N – 1
степенями свободы.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
70
(2)
Если N достаточно велико, то эту величину
можно рассматривать как распределённую по
нормальному закону с параметрами
M[X] = N – 1, D[X] = 2(N – 1).
Тогда перепишем неравенство:
~
 d ( N  1) ( N  1) D / D  ( N  1) d ( N  1)


2( N  1)
2( N  1)
2( N  1)
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
71
(3)

Где величина
распределена по стандартному
гауссовскому закону.
Отсюда

~
W  ( N  1) D / D  ( N 1) / 2( N  1)
~
D

D

d ( N  1) 
P
 d   P | W |
  2 0t кр ( )  1  
 D

2( N  1) 



Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
72
(4)
Окончательно получим следующие
уравнения:
d ( N  1)
1  1   
 tкр ( )   0 

2( N  1)
 2 
d  tкр ( ) 2 /( N  1) , N  1 
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
2tкр2 ( )
2
d
73
Оценка вероятности события (1)
В этом случае случайная величина x
может принимать два значения:
х1 =1 вероятностью р («хороший» исход)
x2 = 0 с вероятностью 1– p («плохой»)
В качестве оценки вероятности
выступает величина:
m 1
~
p

N N
N
x
i 1
i
где т – число положительных исходов в N реализациях
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
74
(2)
Требуется найти число испытаний, при
котором


P| ~
p  p | d p  1  
где dp – доверительный интервал
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
75
(3)
Математическое ожидание и дисперсия
случайной величины  будут:
M [ ]  x1 p  x2 (1  p)  1 p  0(1  p)  p;
D[ ]  ( x1  M )[ ]) 2 p  ( x2  M [ ]) 2 (1  p)  (1  p) 2 p  (0  ~
p ) 2 (1  p)  p(1  p).
В силу центральной предельной теоремы
теории вероятностей (или ее частного случая
– теоремы Лапласа)
M[m] = Np, D[m] = Np(1 – p).
m – количество положительных исходов.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
76
(4)
Отсюда можно переписать исходное
неравенство | ~p  p | d p в виде:

dp N
p( p  1)

dp N
m  Np

Np(1  p)
p(1  p)
 m  Np
dp N 
~
P | p  p | d p  P 

  2 0tкр ( )  1  
p(1  p) 
 Np(1  p)


Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
77
(5)
Уравнение, связывающее dp и N имеет
вид:
p(1  p)
d p  t кр ( )
, N
N
t кр ( )( p(1  p) ) 2
d p2
или
N
t кр ( ) p(1  p)
d p2
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
78
(6)
При отсутствии возможности получения
каких-либо априорных сведений о
вероятности р использование понятия
абсолютной точности теряет смысл.
В таких случаях можно заменить
произведение p(1 – p) на величину
max [ p(1  p)]  0,25
p
Тогда окончательно получим выражение для
гарантированных значений dp и N в виде:
d p2 
tкр ( )
2 N
, N2 
tкр2 ( )
4d p2
79
Таким образом, общий подход к оптимизации
процесса имитации в ходе тактического
планирования заключается в нахождении
уравнений, связывающих доверительные
интервалы, т.е. требуемую точность оценки
величин в ходе ИМ, с необходимым объемом
выборки.
При этом на основе использования
определённых приемов и приближений для
законов распределения оценок в этих
уравнениях должны исключаться значения
статистических характеристик этих законов,
которые являются недоступными
исследователю.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
80
Вопросы
1. Дайте содержательную трактовку принципов
оптимизации модельного эксперимента.
2. Сформулируйте постановку задачи стратегического
планирования.
3. Определите основные приближения и допущения,
используемые при решении задачи стратегического
планирования на основе факторного и
регрессионного анализа.
4. Поясните смысл процедуры «смешивания»
факторов при получении дробных факторных
планов.
5. Сформулируйте постановку основной задачи
тактического планирования.
6. Определите применяемый подход к решению задачи
тактического планирования.
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
81
Компьютерное моделирование сложных систем
АСУ, 2008
82