Показательная функция, ее свойства и график

у
М
х
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ,
ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК
Муниципальное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа с.Киселевка
Ульчского муниципального района Хабаровского края
Учитель математики Бывалина Людмила Леонидовна
Некоторые наиболее часто
встречающиеся виды
трансцендентных функций, прежде
всего показательные, открывают
доступ ко многим исследованиям.
.
Л.Эйлер
Работаем устно

Какие функции являются показательными:
у2


у = х у;   5
х


;
х у ; 2 х  7
Какие из функций являются возрастающими, а какие
убывающими:
х
х

х
2
х
2
;
у 
 3
у 
у9
5


Есть ли среди всех значений
функции
у

х
наибольшее?
Сравните значения выражений:
8
1

4
и8
1

2
2
3
1
1
  и 
4
4
2
у7
у  3х
0,3
2
3
и2
2
Работаем устно
Укажите график функции
у  2х
у  0,5 х
у  2х
1 вариант
у2
у2
2 вариант
х
1
у 
 2   1  х 1
х
х 1
Задание 1
у 
2
у  2 1
х
Построить графики функций
1
у  
2
х
1
1 и 3 группы:
2 и 4 группы:
х
х
у 3
у 3
х 2
1
у 
3
Задание 3 (Групповая работа)
Построить графики функций
1
у 
3
у  3 2
х
х2
х
1
у    2
3
Проверяем построение графиков
х
у = ‌‌‌‌‫׀‬3х - 2‫׀‬
1
у    2
 3
Применение показательной функции
Диагностика заболеваний. При диагностике
почечных болезней часто определяют способность
почек выводить из крови радиоактивные изотопы,
причем их количество в крови падает по
показательному закону.
 Барометрическая формула. При постоянной
температуре давление воздуха убывает с убыванием
высоты над уровнем моря по закону
h

p  p0  e

H
где p0 – давление на уровне моря (h =0), p – давление
на высоте h, H - константа, зависящая от температуры
воздуха.
 Формула разрядки конденсатора. Если начальное
напряжение на конденсаторе равно U0, то конденсатор
будет разряжаться по закону
t
RC разряжается
в течение которого
0
R – сопротивление,
C – электроемкость
где t – время,
конденсатор,
конденсатора.
U U е

Применение показательной функции
Радиоактивный распад
Количество распадающегося за единицу
времени вещества всегда
пропорционально имеющемуся
количеству вещества.
Промежуток времени, в течение
которого распадается половина всех
имеющихся атомов называется
периодом полураспада данного
вещества.
Этот период различен для разных
веществ.
9
Например, за время равное 4,5 10
лет при распаде урана-238
распадается половина от начального
числа атомов, т.е. при увеличении
времени на 4,5 миллиарда лет число
атомов уменьшается в 2 раза.
Задание. Сделать аналитическую
запись формулы радиоактивного
распада, обозначив начальную массу
вещества М. Изобразить схематически
t
график функции.
n
1
y  M 
2
Ответ.
или
 1 T
y  M 
2
у
М
х
Применение показательной функции
Потери силы тока.
При передаче электроэнергии по
подводному кабелю потери в силе
тока за счет утечки в воду
пропорциональны длине кабеля.
Например, на каждом километре сила
тока уменьшается на 0,5%. Тогда при
увеличении расстояния от источника
энергии на 1 км сила тока будет
изменяться в отношении 1: 0,995
Задание. Сделать аналитическую
запись формулы, выражающей
зависимость силы тока от расстояния.
Изобразить схематически график
у
функции.
1
Ответ.
y  0,995 х
х
Применение показательной функции
Органический рост
При искусственном выращивании какихлибо микроорганизмов размножение
клеток идет так, что за некоторый
определенный промежуток времени
(длина митотического цикла) каждая
клетка делится на две дочерние клетки.
 Поэтому, когда время увеличивается на
длину митотического цикла, число клеток
увеличивается в два раза
 Задание. Сделать аналитическую запись
формулы размножения клеток.
Изобразить схематически график
функции.
 Ответ.

y2
х
Применение показательной функции
Органический рост



Если однолетнее растение
дает 100 семян и из них
прорастает половина, то за
каждый год, т.е. при
увеличении времени на
единицу, число растений
увеличивается в 50 раз.
Задание. Сделать
аналитическую запись
формулы размножения
растений. Изобразить
схематически график
функции.
Ответ.
y  50 х
у
1
0
х
Применение показательной функции
Рост вклада в банке
В XIV-XV веках в Западной Европе появляются банки –
учреждения, которые давали деньги в рост князьям и
купцам, финансировали за большие проценты дальние
путешествия и завоевательные походы. Чтобы облегчить
расчеты сложных процентов, взимаемых по займам,
составили таблицы, по которым сразу можно было узнать,
какую сумму надо было уплатить через п лет, если
была
n
взята взаймы сумма а по р% годовых. 
p 
s  a 1 
Эта сумма выражается формулой


100 
Пример. Банк выплачивает вкладчикам проценты по вкладам
в размере 4% в год, т.е. за каждый год вклад
увеличивается в 1,04 раза.
Задание. Сделать аналитическую запись формулы,
выражающей зависимость величины вклада от времени.
Изобразить схематически график функции.
у
y  1,04 х
1
0
х
 «3» - 7-10 баллов


«4» - 11-15 баллов
«5» - 16-19 баллов
Желаю удачи!
Критерии оценки за урок:
(по сумме баллов)
Домашнее задание

Стандарт математического
образования. Обязательный уровень
усвоения.

Продвинутый уровень. №257(2),
№263(3)
Список литературы





Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл.
общеобраз. учреждений/ Ш.А.Алимов, Ю.М. Колягин,
Ю.В. Сидоров и др.- М.: Просвещение, 2004.
Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике: Кн. для
внеклассного чтения IX-X кл. – М.: Просвещение,
1985.
Вопросы преподавания алгебры и начал анализа в
средней школе: Сб.статей / сост. Е.Г.Глаголева, О.С.
Ивашев-Мусатов. – М.: Просвещение, 1980.
Панишева О.В. Применение показательной функции.
Журнал «Математика в школе», №5 2001.
Удальцова А. Диктанты по алгебре и началам анализа.
Газета «Математика» №2, 2005 с.21; №3, 2005 с.20